泰勒公式.doc

1、1第四章 数值微积分微积分在数学分析课程中已作了详细论述，但是在实际问题中所遇到的函数关系往往只知道一组离散数据，而解析表达式是未知的。有的函数关系虽然有解析表达式但很复杂，不便于计算。 对于定积分而言，有的函数其原函数不能用初等函数表示，而在科学技术和生产实践中又需要求出函数的微积分，这就产生了利用离散数据求函数的数值积分及数值微分的思想方法。本章主要介绍数据微积分的基本思想方法及常用的数值微分与数值积分公式。一、内容分析与教学建议本章内容是数值微积分。数值微分包括：用插值多项式求数值微分、用三次样条函数求数值微分和用 Richardson 外推法求数值微分。数值积分包括：常见的 Newto

2、n-Cotes 求积公式，如：梯形公式、Simpson 公式和 Cotes 公式；复化求积公式；Romberg 求积公式和Gauss 型求积公式等内容。一一一 数值微分1、利用 Taylor 展开式建立数值微分公式，实际上是利用导数的离散化，即用差商近似代替导数，在由 Taylor 公式的余项估计误差；由于当步长 很小时，回出现两个非常接h近的数相减，因此，在实际运用中往往采用事后估计的方法来估计误差。2、用插值多项式求数值微分，主要是求插值节点处的导数的近似值。借助第二章的Lagrange 插值公式及其余项公式，确定插值节点处的导数的近似值及其误差。常用的有三点公式和五点公式。3、阐明用三次

3、样条函数 求数值微分的优点：由第三章的三次样条函数 的性()sx ()sx质知：只要 的 4 阶导数连续，则当步长 时， 收敛到 ， 收敛到()fx 0h()sx()fx， 收敛到 . 因此，用三次样条函数 求数值微分，效果是很好的。指()fs()f出其缺点是：需要解方程组，当 很小时，计算量较大。h4、讲解用 Richardson 外推法求数值微分时，首先阐明方法的理论基础是导数的离散化，即用差商近似代替导数；然后重点讲解外推法的思想和推导过程，因为这种方法和思路在后面的数值积分和微分方程数值解中还要用到。一一一 数值积分的一般概念21、由定积分的几何意义引入数值积分的思想，介绍求积公式、求

4、积节点、求积系数、余项等基本概念。2、重点介绍代数精度以及如何求一个判定积公式的代数精度，并举例说明。3、介绍插值型求积公式以及插值型求积公式的代数精度的特点。一一一 等距节点的求积公式1、 简单介绍一般的等距节点的插值型求积公式Newton-Cotes 公式以及 Cotes 系数。 2、重点介绍几种常用的 Newton-Cotes 公式：梯形公式、 Simpson 公式和 Cotes 公式。要求学生掌握上述三种求积公式的表达式，并了解三种求积公式各自的余项。3、以 Simpson 公式为例，求出它的代数精度是 3；并要求学生课后自己求出梯形公式和 Cotes 公式的代数精度。一一一 复化求积

5、公式1、结合分段插值的思想阐明复化求积公式的思想。2、重点介绍复化梯形公式、复化 Simpson 公式和复化 Cotes 公式以及它们各自的余项，并举一、两个例子加以说明。3、简介事后估计和自适应 Simpson 方法。一一一 Romberg 求积法1、Romberg 求积法是一种逐步分半加速法，它是以复化梯形公式为基础构造高精度求积公式的方法，是一种快速、有效的求积法。2、阐明 Romberg 公式的建立过程：利用事后估计的思想，从复化梯形公式建立一整套递推算法，进而得到 Romberg 公式，整个过程实际上是一个加速的过程。3、可通过例子验证 Romberg 求积法的加速效果。一一一 Ga

6、uss 型求积公式1、Gauss 型求积公式也是一种高精度的插值型求积公式， 但它的节点不是等距的，因3而 Gauss 型求积公式不属于 Newton-Cotes 公式的范畴。2、阐明 Gauss 型求积公式的代数精度是插值型求积公式的最大值，介绍 Gauss 点的概念，并说明 Gauss 点实际上是某个正交多项式的零点。3、讲清楚 Gauss 型求积公式的求积系数的特殊构造，并由此证明 Gauss 型求积公式是稳定的，以及 Gauss 型求积公式的收敛性。4、 介绍几种 Gauss 型求积公式 ：古典 Gauss 公式、Gauss-Tchebyshev 公式、Gauss-Laguerre 公

7、式和 Gauss-Hermite 公式。让学生了解上述四中 Gauss 型求积公式的表达式、表达式中的权函数、定积分的上、下限以及求积系数，并通过 23 个例子具体阐述上述Gauss 型求积公式是如何求数值积分的，并和以前的方法比较它们的精度。本章结束时，建议安排一次上机实习，让学生自己动手，根据书中的算法，编程计算各种数值积分的例子，加深和巩固学生对本章内容和方法的了解和掌握。41 数值微分由数学分析知 00()()lim,22()li .iiixiiii iixffxfxxfff很显然可以用差商近似替代微商而得到微分的近似计算公式。但是这种直接由定义得到的近似公式是比较粗糙的，而且没有误差

8、估计。为此，我们利用 Taylor 展开法、插值法及样条函数法,给出几个常用的数值微分公式。一、Taylor 展开法由导数定义知， ，当 h 较小时，用差商（向前差商）)()(lim0 iiix xfhff替代微商得(1.1)()(),iiifffx将 在 处 Taylor 展开)(hxfiix,10 ),(2)()( 1hxfxfhff iiii由上式及(1.1)得： (1.2).()() 1xfhffxf iiii 完全类似的方法可得(1.3)()iiifxfhf的误差为5(1.4).10 ),(2)()( 22 hxfhxffxf iiii而公式(1.5)hffxf iii )()()的

9、误差为(1.6).10 ),(62)()() 332 xfhffxf iiii从误差(1.2)、(1.4) 、(1.6)来看，误差大小除函数本身性质外，主要取决于 h 的大小。但当 h 很小时，会出现两个非常接近的数相减，这是在数值计算中不希望出现的情况，因此一般误差估计常采用事后估计办法，即用 h 计算一次差商，记为 ，然后再用 计)(D2算一次差商，记为 . 如果 （这里 是预先指定的量） ，计算停止，2hD2)(D否则继续上面过程，直到满足要求为止.二、用插值多项式求数值微分设已知数据： ix 0x1xnxiy yyy记 ，则0101mn,ma,.n ni inxxb (),0,1iif

10、xn的 n 次插值多项式为 ()f iilyp0)()(其中 , ，误差为()()iiixl0()()nxx (1)() (, (,).!nfRfpab故 (1) (1)()d()!n nnfxfx f 因为 是 的未知函数，所以无法对上式右端的第二项作出判断，故对于任意给定的点 ， x6误差 是无法预估的。但是，如果只是求某个节点 上的导数()nfxp (0,1)ixn值，这时有(1.7)(1)()()!nini iffxp以 为例，已知 ，设满足2n01020012,()hxhfxfx上述插值条件的 2 次多项式为 2()px020112 0 1 200211222)()() )()()(

11、xxxpf f fxxhhh则(1.8)02011220122()()()()xxxpfffx 于是(1.9)02001211222012()()3()4()()()()4()3)fxpfxffhfxpfxffxh对(1.8)再求导，得 201221()()()fff11 ()fxpxxh三、用三次样条函数求数值微分对于区间 上的一个分划： 记,ab ,: 1210 bxxaN. 若 ， 是 的满足插值条件及三10mxiiiN4(),fxCb3(),)NsS (f类边界条件之一的三次样条函数，若 ，则 .0limxf()()0li,23kksx于是可用三次样条函数 的导数来近似 相应的导数，并

12、能保证所需的精度。()sx()优点：用样条函数建立的数值求导公式具有可靠性。7缺点：用样条函数建立的数值求导公式需要解方程组，当 很小时， 计算量较大。四、变步长中点方法因为 ，所以若精度要求不高，我们可以简单地取差商作0()()limhfaff为导数的近似值：(1.10)()()fahff(1.11)(1.12)()()2fffah并称(1.12)为中点方法。就精度而言，中点方法是最好的。记(1.13)()()2fafGhh分别将 ， 在 处作 Taylor 展开，得()fah(fx2345()()(4)(5)()() ,!()( ,hfffaffaffahah 代入(1.13)式得(1.1

13、4)24(5)()()3!hGhfaffa从截断误差的角度来看，步长 越小，计算结果越精确；但从舍入误差的角度来看，步长很小时，由于 与 很接近，直接相减回造成有效数字的严重损失，因此h()fa()f步长 又不宜太小。综上所述，步长 太大，截断误差显著；但步长 太小，又回导致舍入误差的增长。hh在实际计算中，希望在保证截断误差满足精度要求的前提下，选取尽可能大的步长。然而事先给出一个合适的步长往往是困难的，通常在变步长的过程中实现步长的自动选择。例 1 用 变步长的中点方法求 在 处的导数值 的近似值。设取()xfe1(1)f起算。0.8h8解 采用计算公式 ()()2kkkfahfG其中 ，

14、计算结果见下表，其中 表示0.8,12kh二分的次数。二分 9 次的结果为 ，990.8()2.71hG它的每一个数字都是有效数字。五、Richardson 外推加速法Richardson 外推表(1.15)12132()()2()4()864GhhhGG其中 12113224()()(1.6)36 .754()()(1.8)3hGGh 事实上，由(1.14)知(1.19)24(5) 2()()()3!hGfaffafOh 24(5)11()()24!6!hfffa 则k()kGh01239103.017652.791352.736442.722812.718282.718289(1.20)4

15、(5) 41411()() ()32!hhGGfafafOh 同理可得(1.21)62116()()()52hhf(1.22)83224()()()3GGfaOh由(1.20)、(1.21)及(1.22) ，可以明显地看出 加速的原因。123,h例 2 用 Richardson 外推加速公式加工例 1 的结果。解 利用公式(1.16)、(1.17) 及(1.18) ，计算的结果见下表kh()kGh1()kh2()kGh3()kh0.8 0 3.017650.4 1 2.79135 2.7159170.2 2 2.73644 2.718137 2.7182850.1 3 2.72281 2.71

16、8267 2.718276 2.71828从表中可以看出，加速的效果是很明显的。102 数值积分的基本概念一、数值求积公式及代数精度1. 定义 1 设 ，函数 在 上可积， 对给定的权函数01,nxab ()fx,ba，称()0,)xab(2.1)0()()nbiiaxfdAfx为数值求积公式，简称求积公式 。称(2.2)()(fIfRn为求积公式(2.1)的余项，或 误差。 及 （ ）分别称为求积公式(2.1)的求积节点ixiA,10及求积系数。这里求积系数 （ ）只与权函数 及积分区间 有关，而与i, )(x,ba无关。)(xf2. 特点 数值 求积公式直接利用某些节点处的函数值计算积分值

17、，而将求积分的问题转化为函数值的计算。这就避免了 Newton-Leibniz 公式需要 寻求原函数的困难。3. 需要解决的问题：(1) 衡量求积公式“好”与“ 坏 ”的标准；(2) 求积公式的构造；(3) 误差估计。现在来解决第一个问题。定义 2 如果当 （ ）时 ，求积公式(2.1) 精确成立；而当kxf)(m,10时，求积公式(2.1)不精确成立，那么称求积公式(2.1)具有 次代数精度。1)(mxf注 1) 因为 次多项式的一般形式是 ，所以由定积分的k kxaxa210线性性质知，定义 2 中的“ （ ）”与“ 是次数不超过 的多项式” 是kxf)(m, )(fm等价的。2) 代数精度为什么能衡量求 积公式的精确性？事实上，由最佳一致逼近的理论知，用 次代数多项式 近似 ，如果 越)(xpm)(f大，那么近似程度越好，即 越小。当求积公式(2.1)具有 次代)(ax)(xfpmbm m