矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明.doc

1、 矩形、菱形和正方形的性质定理和判定定理及其证明一、知识概述1、矩形的性质定理定理 1：矩形的四个角都是直角说明：(1)矩形具有平行四边形的一切性质(2)矩形的这一特性可用来证明两条线段互相垂直定理 2：矩形的对角线相等说明：矩形的这一特性可用来证明两条线段相等推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半说明：与中位线定理及在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半一样，这一推论可用来证明线段之间的倍数关系2、矩形的判定定理定理 1：对角线相等的平行四边形是矩形定理 2：有三个角是直角的四边形是矩形3、菱形的性质定理定理：菱形的四条边都相等说明：(1)菱形具有平行四边形的一切性质，并且具有

2、它特殊的性质(2)利用该特性可以证明线段相等定理 2：菱形的对角线互相垂直并且每条对角线平分一组对角说明：根据菱形的特性可知，其对角线将它分成四个全等的直角三角形，再由直角三角形的相关性质，证明线段或角的关系，这样就将四边形问题转化为三角形问题来处理4、菱形的判定定理定理 1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形定理 2：四条边都相等的四边形是菱形说明：菱形的两个判定定理起点不同，一个是平行四边形，一个是四边形，判定时的条件不同，一个是对角线互相垂直，一个是四条边都相等5、正方形的性质普通性质：正方形有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质特有性质：(1)边：四条边都相等，邻边垂直，对边平行；(

3、2)角：四个角都是直角；(3)对角线：相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角说明：正方形这些性质根据定义可直接得出特殊性质正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是 45，正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形6、正方形的判定(1)判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等；先证它是菱形，再证有一个角为直角(2)判定正方形的一般顺序；先证明是平行四边形；再证有一组邻边相等(有一个角是直角)；最后证明有一个角是直角(有一组邻边相等)说明：证明一个四边形是正方形的方法很多，但一定注意不要缺少条件二、重难点

4、知识归纳1、特殊的平行四边形知识结构三、典型例题讲解例 1、如图所示，M，N 分别是平行四边形 ABCD 的对边 AD，BC 的中点，且 AD=2AB，求证四边形PMQN 为矩形错解：连接 MN四边形 ABCD 是平行四边形，AD BC又M，N 分别为 AD，BC 的中点，AM BN四边形 AMNB 是平行四边形又AB= AD，AB=AM， 口 AMNB 是菱形ANBM，MPN=90同理MQN=90，四边形 PMQN 为矩形分析：错在由MPN=MQN=90，就证得四边形 PMQN 是矩形这一步，还需证一个角是直角或证四边形 PMQN 是平行四边形，证四边形 PMQN 是平行四边形这种方法比较好

5、正解：连接 MN，四边形 ABCD 是平行四边形，AD BC又DM= AD，BN= BC(线段中点定义)，四边形 BNDM 为平行四边形BM DN，同理 AN MC四边形 PMQN 是平行四边形AM BN，四边形 ABNM 是平行四边形又AD=2AB，AD=2AM，AB=AM，四边形 ABNM 是菱形ANBM，即MPN=90，四边形 PMQN 是矩形例 2、如图所示，4 个动点 P，Q，E，F 分别从正方形 ABCD 四个顶点同时出发，沿着AB，BC，CD，DA 以同样的速度向 B，C，D，A 各点移动(1)试判断四边形 PQEF 的形状，并证明；(2)PE 是否总过某一定点?并说明理由；(3

6、)四边形 PQEF 的顶点位于何处时，其面积有最大值和最小值?最大值和最小值各是多少?分析：(1)猜想四边形 PQEF 为正方形，先证它为菱形，再证有一直角即可；(2)此问是动态问题，紧紧抓住运动过程中的不变量，即 AP CE，四边形 APCE 为平行四边形，易知 PE 与 AC 平分于点O；(3)此问中显然当点 P，Q，E，F 分别运动至与正方形 ABCD 各顶点重合时面积最大，分析最小值时的情形可根据 S 正 = PE2，而 PE 最小时是 PEAB，此时 PE=BC解：(1)四边形 PQEF 为正方形，证明如下：在正方形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA，AP=BQ=CE=DF，BP

7、=QC=ED=FA又BAD=B=BCD=D=90，AFPBPQCQEDEFFP=PQ=QE=EF，APF=PQB，FPQ=90四边形 PQEF 为正方形(2)连接 AC 交 PE 于点 OAP EC，四边形 APCE 为平行四边形又O 为对角线 AC 的中点，对角线 PE 总过 AC 的中点(3)当 P 运动至与 B 重合时，四边形 PQEF 面积最大，等于原正方形面积，当 PEAB 时，四边形 PQEF 的面积最小，等于原正方形面积的一半小结：探索动态问题，解答的关键是抓住它不动的一瞬间和运动中的不变量，即动中求静，这类题目是中考的热点考题例 3、如图所示，在ABC 中，ACB=90，AC=

8、2，BC=3，D 是 BC 边上一点，直线 DEBC 于D，交 AB 于 E，CF/AB，交直线 DE 于 F，设 CD=x(1)当 x 取何值时，四边形 EACF 是菱形?请说明理由；(2)当 x 取何值时，四边形 EACD 的面积等于 2？分析：本题考查菱形的判定、解直角三角形等知识的综合运用，有一定的探究性解：(1)ACB=90ACBC又DEBC，EF/ACAE/CF，四边形 EACF 是平行四边形当 CF=AC 时，四边形 ACFE 是菱形 此时 CF=AC=2，BD=3x，tan B= ，ED=BDtan B= (3x) DF=EFED=2 (3x)= x在 RtCDF 中，CD 2

9、DF 2=CF2， x 2( x)2=22， (负值不合题意，舍去) 即当 时，四边形 ACFE 是菱形(2)由已知条件可知四边形 EACD 是直角梯形，例 4、如图所示，在等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，M、N 分别是 AD，BC 的中点，E，F 分别是BM，CM 的中点(1)求证四边形 MENF 是菱形；(2)若四边形 MENF 是正方形，请探索等腰梯形 ABCD 的高和底边 BC 的数量关系，并证明你的结论分析：由题中条件根据三角形中位线的性质可证明四边形 MENF 的四边相等当四边形 MENF 是正方形时，则有 NEMB，NFMC，所以需连接 MN(梯形的高)进行探究证明：(1)四

10、边形 ABCD 是等腰梯形，AB=CD，A=DM 为 AD 中点，AM=DM，ABMDCM，BM=CME，F，N 分别为 MB，MC，BC 的中点，EN= MC，FN= MB，ME= MB，MF= MC，EN=FN=MF=ME，四边形 ENFM 是菱形解：(2)结论：等腰梯形 ABCD 的高等于底边 BC 的一半理由如下：连接 MN，BM=CMBN=CN，MNBCAD/BC，MNAD，即 MN 为梯形 ABCD 的高，又四边形 MENF 是正方形，BMC 为等腰直角三角形，N 为 BC 中点，MN= BC小结：梯形的高是指端点在两底上并且与两底垂直的线段例 5、如图所示，在梯形 ABCD 中，

11、AD/BC，AB=CD，M，N 分别是 AD，BC 的中点，AC 平分DCB，ABAC，P 为 MN 上的一个动点若 AD=3，则 PDPC 的最小值为_分析：本题综合考查等腰梯形的性质、轴对称图形和解直角三角形等知识由 M，N 为 AD，BC 中点可知，直线 MN 为等腰梯形的对称轴，故点 A 与点 D，点 B 与点 C 关于直线 MN 对称所以连接BD，交 MN 于点 P，则 PCPD 的最小值为线段 BD 的长(由三角形三边的关系说明)因为 AC平分DCB，且 AD/BC，所以 AD=DC=AB=3，易知ACB= DCB=30又BAC=90，所以BC=2AB=6，因此 答案：例 6、用反证法证明：一个梯形中不能有三个角是钝角分析：要用反证法证明文字叙述的命题，需写出已知、求证，根据命题要求画出图形，再经过推理论证，得出与所学过的知识相矛盾的结论从而否定原来的假设如图所示，已知梯形 ABCD，AD/BC求证：A，B，C，D 中不能有三个角是钝角证明：假设A，B，C，D 中有三个角是钝角，不妨设A90，B90，C90AB180，BC180，AC180又ADBC，AB=180“AB180”与“AB=180”矛盾AB180不成立，即假设A90，B90不成立梯形中不能有三个角是钝角