1、题型二：平面向量的共线问题1、若 A(2,3)， B(x, 4),C(3,y),且 AB=2 C,则 x= ， y= 2、已知向量 a、b，且 =a+2b , = -5a+6b , =7a-2b,则一定共线的三点是 （ ）ADAA、B、D BA、B、C CB、C 、D DA 、C 、D3、如果 e1、 e2 是平面 内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有 （ ）e 1e 2(, R)可以表示平面 内的所有向量；对于平面 中的任一向量 a,使 a=e1e 2 的 , 有无数多对；若向量 1e1+1e2 与 2e1+2e2 共线,则有且只有一个实数 k,使 2e1+2e2=k(1e1+1e
2、2)；若实数 , 使 e1 e2=0，则 =0.A B C D仅4、若向量 a=(1,1),b=（1,-1) ,c=(-2,4) ,则 c= ( )A-a+3b B3a-b Ca-3b D-3a+b5、已知 A(2,-2),B(4,3),向量 p 的坐标为(2k-1,7)且 p AB,则 k 的值为 ( )A. 109B.109C. 109D.1096、已知 a是以点 (3,)为起点，且与向量 (3,4)b平行的单位向量，则向量的终点坐标是 7、 给出下列命题：若| a| |，则 a= ；若 A， B， C， D是不共线的四点，则 ABDC是四边形 AB为平行四边形的充要条件；若 a=b， =
3、c，则 a= ； =b的充要条件是|=|b|且/ ；若 / ， /c，则/ ，其中正确的序号是 8、平面向量， 共线的充要条件是（ ）A a， b方向相同 B a， b两向量中至少有一个为零向量C R， aD存在不全为零的实数 1， 2，1209、如图在三角形 ABC 中,AMAB=13,ANAC=14,BN 与 CM 相交于点 P，且aAB， b，试用 a、 b表示 AP10、已知 a， b 是不共线的向量， a b， a b( ， R)，那么AB AC A， B， C 三点共线的充要条件是( )A 2 B 1 C 1 D 111、在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 =2 ， =
4、 ,则=ADBCBA31(A) (B) (C) - (D) -323131212、设 a、b 是不共线的两个非零向量,(1)若 2,OABabOC=a-3b,求证:A、B、C 三点共线;(2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值.13、如图点 G 是三角形 ABO 的重心,PQ 是过 G 的分别交 OA、OB 于 P、Q 的一条线段，且 mOAP， nBQ,（ m、 Rn） 。求证31n6、解：方法一：设向量 a的终点坐标是 (,)xy，则 (3,1)axy，则题意可知224(3)10xy（ ） （ ），解得：12,5xy 或89，故填12,5或89,5方法二：与向量 (3,
5、4)b平行的单位向量是(3,4)，故可得34,a，从而向量 a的终点坐标是 (3,1)xya，便可得结果归纳小结：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念；与 a平行的单位向量 |ea7、解析：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确 ABDC， |且 /ABDC，又 ， B， ， D 是不共线的四点，四边形 为平行四边形；反之，若四边形 A为平行四边形，则， /且 |，因此， 正确 a=b， 的长度相等且方向相同；又 b c， 的长度相等且方向相同， ， c的长度相等且方向相同，故 a 不正确当
6、/ 且方向相反时，即使| a|=| |，也不能得到 = ，故|a|=|b|且/ 不是 a=b的充要条件，而是必要不充分条件不正确考虑 =0这种特殊情况综上所述，正确命题的序号是归纳小结：本例主要复习向量的基本概念，向量的基本概念较多，因而容易遗忘，为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联系，帮助理解，加深记忆8、解析：若 ,ab均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数12,使 120；若 a，则由两向量共线知，存在 0，使得 ba，即 ，符合题意，故选归纳小结：概念定理性的问题往往是看似简单，实则处处陷阱，所以应加强对基础概念、定理的深入
7、理解，明确问题关键之处，体会本质9、分析：本题是以向量为载体的平面几何题，所以我们很容易联想到点M、P、C 三点在一条直线上，可用共线定理的充分必要条件求解。解AMAB=13,ANAC=14, aAB31， bCN41，M、P、C 三点共线，可设 )(RMP于是 abAM31 baA)31(12、解:(1)证明: B (3a+b)-(2a-b)=a+2b.而 BC=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2 , A与 共线,且有公共端点 B,A、B、C 三点共线.(2)8a+kb 与 ka+2b 共线,存在实数 使得 8a+kb=(ka+2b)(8-k)a+(k-2)b=0,a 与 b 是不共线的两个非零向量,Error!8 2 2 2， k2 4.13、分析：本题是一道典型的平面几何证明，如果用平几方法则过程很复杂，如果我们将题目中的已知条件作向量处理便能使证明过程简单得多。因为注意到 P、G、Q 三点在一条直线上，所以我们可以考虑 PQ与 G共线，于是可以用共线定理得方程组求解。证明：设 aOA， bB，则 amOP， bn )(21(D， )(312DG PG)(3，即 ambnOPQ，又 P、Q、G 三点在同一直线上，则 P与 共线存在一个实数 使得 Q ambna31)(，即： 0)31()31(bnam a与 b不共线， 0消去 得 n
