微积分专业学习进步进修学习进步基础入门.doc

1、-_微积分入门1.微商（导数）1.用来分析变化的工具2.斜率=dy/dx3.极限：一个值无限接近另一个值的状态。表示：lim(x0)f(x)=b4.正向接近（+ ）与负向接近（-） 。当从两侧接近的结果不同时，不存在极限5.极限的模式：lim(xa)f(x) 不存在（如 lim(xa)1/x) lim(xa)f(x) 存在，但不 是 f(a)(如 lim(x1)（x2-3*x+2)/(x-1) lim(xa)f(x)存在，是 f(a).6.求导公式：lim(h0)( f(x+h) -f(x)/h2导函数1 对 f(x)求导得到的导函数也是函数。f (x)=lim(h0)( f(x+h) -f(

2、x)/h=lim(dx0)dy/dx2.导数表示的两种方式:A.如上 B.(莱布尼茨法）dy/dx df(x)/dx F(x)=(d/dx)*(d/dx)*y3.求导基本公式：p=C p=0(p 为常数）(px)=p f(x)+g(x)=f(x)+g(x)4.常用求导公式：（xn)=lim(h0)(x+h) n-xn)/h=n*x(n-1)f(x)*g(x)=f(x)*g(x)+f(x)*g(x) y=sinx y=cosx ; y=cosx y=-sinx y=ex y=ex ; y=Lnx y=1/xf(x)/g(x) =(f (x)*g(x)-f(x）*g(x)/g2(x) 5.y=f(

3、x)的一阶微商 f(x)=dy/dx=lim(dx0)(f(x+dx)-f(x)/dx二阶微商 f(x)=df (x)/dx d2*y/d*x2n 阶微商 （ x)=d (x)/dx=dn*y/d*xn)(nf)1(nf=dx/dt= ; =d /dt= =d2x/dt2=xvxavx3求导规则和公式1.函数 y= (x)是 y=f(x)的反函数，由 x 和 y 的互反关系，易得1fd (x)/dx=dy/df(y）=1/（df(y）/dy)=1/f (y)12.如果 y=f(u),u=g(x） ，则复合函数 y=f(g(x)的导数为dy/dx=(dy/du)*(du/dx)=f (u)*g(

4、x)3.如果 y 与 x 的函数关系由参数方程 y=y(t),x=x(t)给出，则有：dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)= /yx4.对于两个函数 u(x),v(x)的和与差的导数，则由 d(u+&-v)=du+&-dv 得的 du(x)+&-v(x) / dx=du(x)/d(x)+&-dv(x)/d(x)5.对于两个函数 u(x),v(x)的积的导数，则由 d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu 得du(x)v(x)/dx=u(x)dv(x)/dx+v(x)/dx=u(x)v (x)+v(x)u (x)4导函数的基本性质1.af(x) =af (x) 2.f(x

5、)+g(x) =f (x)+g(x) 1&2 af(x)+bg(x) =af (x)+bg (x) (a,b 为常数）3.f(x)*g(x) =f (x)*g(x)+f(x)*g(x)-_函数积求导的方法推导： f(x)*g(x) =f (x)*g(x)+f(x)*g(x) 推导： f(x)*g(x) =lim(h0)f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)/h=lim(h0)f(x+h)-f(x)*g(x+h)+f(x)*g(x+h)-g(x) /h=f (x)*g(x)+f(x)*g(x)4.(x+b)n=n(x+b)(n-1)5.(ax+b)n=an(ax+b)(n-1)5.二项式定理

6、（展开(x+h)n)1.(x+h)n= + h+ + +nxC1n2nx2h.nCh.nCk 表示 “从 n 个数中挑选 k 个数的组合数” （有几种组合方式）如 nC1=n.2.(x+h)1=x+h 1 1(x+h)2=x2+2xh+h2 1 2 1(x+h)3=x3+3x2h+3xh2+h3 1 3 3 1 (x+h)4=x4+4x3h+6x2h2+4xh3+h4 1 4 6 4 1（系数）杨辉三角 3. = )1(xkxk)!(/!=1/(1+x)=1-x+x2-x3+.1= =1+ x+ x2+.2/)(x21*)1/(系数 k.*1)(函数 的导数： （最初比）x ./. 11 xo

7、xox令 o=0,得最末比（流数） 导数 & 反流数（1/ +1） 1x1x六使用导数绘制图形 例 1：绘制 y=2x3+3x2-12x+6 的图像 y =6x2+6x-12=0 X1=-2 =26 x2=1 =-1 maxminyx . -2 . 1 .f (x) + 0 - 0 +f(x) 26 -1 要点：求导找到极值点 求极值点间的增减趋势-_例 1 图 例 2：判断曲线凹凸的方法求二次微分 f (x)的正负下凸切线斜率增大f (x)为增函数f (x)0 上凸切线斜率减小f (x)为减函数f (x)0 凹凸性增减表（f(x)=x3-3x f (x)=3x2-3)x . -1 . 0 .

8、 1 .f (x) + 0 - - - 0 + f (x) - - - 0 + + +f(x) 2 0 -2 增加上凸 减小上凸 减小下凸 增加下凸例 2 图 由上凸下凸拐点坐标（0 , 0）拐点处切线:y= - 3x f(x)=ax3+bx2+cx+d f (x)=3ax2+2bx+c 7积分（面积）与导数（斜率）的关系1.积分是导数的逆向运算，即 f(x)=(d/dx) (关于 t 求 f(t)积分）xdtf0)导数(xn)=? 积分（?)=nx(n-1)为积分符号（ Summation 合计)2.对 f(x)求不定积分得到的函数为原函数，如 =(1/3)x3+C(C 为积分常数）dx2求

9、导函数（导数算式）+初始条件（信息） 基础函数（原函数）3. )()()()( xbGaFgbdxfaxbgaf证明：设 F(x)=f(x) , G(x)=g(x)aF(x)+bG(x) =aF(x)+bG(x)=af(x)+bg(x) )()()()( xdxxfxf-_例： dxcbxa)(23= xd=(a/4)x4+(b/3)x3+(c/2)x2+dx+K(K 为积分常数）4.不定积分的原函数有无数个证明：F(x)和 G(x)均为 f(x)的不定积分F(x)=f(x) g(x)=f(x) (F(x)-G(x)=F(x)-G(x)=0 F(x)-G(x)=C81.定积分 （从 a 到 b

10、 )ba FbaxFdf )()()(.定积分的结果不是函数，而是常数x 与 dx 的最大区别在于是否引入了极限的概念 2.定积分的性质 bababa dxgdxfdxgxf )()()( 0)( baabxfxf)( abxFcbaFcbxFacdffdfbcbaca )()()()()()()()( Cnaxnn 1)(/1()(3.常用初等函数积分公式 )()/(1dnnCxcossi in edx CI)/(九-_lim(n0) 长 方形 1+长方形 2+.+长方形 n=lim(n0)宽*（长 1+长 2+.+长 n）=lim(n0)宽* 长(n)=lim(n0)(b-a)/n)f(x

11、1)+f(x2)+.+f(xn)1.S1 S2S1=lim(n0)(b-a)/n) S2=lim(n0)(b-a)/n)10)(nkxf nkxf1)(如果长方形宽无限缩小，那么 S1 S2 bak bfaff )(.)1()(2.例：求函数 f(x)=x2 在0 ，1之间，函数图象与 x 轴围 成的图形面积S=lim(n0) 1-n0k2102 )lim()3/()/(nnk=lim(n0)(1/n3)(n-1)n(2n-1)/6)=lim(n0)(1/6)(1-1/n)(2-1/n)=1/3公式： f(xk)=f(a+k(b-a)/n)=(k/n)26)1(102kn十定积分的推导xfxS

12、nk10)()lim( Ff )(li)S=lim(x0)(F(xn)-F(xn-1)+(F(xn-1)-F(xn-2)+.+(F(x1)-F(xo)=F(b)-F(a)=F(xn)-F(x0)-_S=S(x+x)-S(x) & S=f(x)x S(x)=f(x)对 S(x),由 S(x)=f(x)得：S(x)= f(x)dx=F(x)+C当 x=a 时：S(a)=0 S(a)=F(a)+C=0 S(x)=F(x)-F(a)当 x=b 时:S=F(b)-F(a)面积函数：F(x)= xdtf0)(微积分的基本定理：f(x)=(d/dx) xdtf0)(证明：设 f(x)和其产生面积 S(x)

13、dS(x)=f(x)dx)()/(fxSdt0)()(xffdx11积分所求面积为负：f(x)值为负 积分方向相反（ 与 ）abxF)()(例 1：若 f(x)=(x-1)(x+1),求函数 y=f(x)与 x 轴围成的部分面积 （负） 1)(dxx1)(dxf343FS例 2：求 y=(x-1)(x-2)(x-3)和 x 轴围成的图形面积 321 )3(2)1()(2)( dxxdxS=1/4+1/4=1/2-_121. 二次函数图象与 x 轴所围面积公式（ )(xydxdfS)()(2= x2311= 223)(6)( 2. dxgfS例：求 f(x)=x2, g(x)= - x2+2x+

14、4 所围成的图形面积9)42(21 dxxS十三1.换元积分若 x=g(u) , 则 dx=g (u)du ,则 dugff )()(2.分步积分由 d(uv)=udv+vdu 可得： vduu十四.1.微商在函数逼近中的应用：泰勒级数和小量展开在 x=xo 附近可以把函数 y=f(x)展开为泰勒级数 .)(!21)()()(!1)( 2)(0 xofxofxofxofnxf n-_. (x1)2!)1(1)(xnxn.3si .!cos2.!31tanx(x1).!21xex2.物理公式中的微积分F=ma (位移二次求导得 a）2dtmF (加速度） (关于 t 求积分） （速度） 2txg dtxmmgtCtmx(位移）=(1/2)mgt2+D设 t=0 时，x=0, 则：mx=(1/2)mgt2 x=(1/2)gt2以初速度 Vo 将球斜向上抛出水平方向（x）: F(x)=0 x= tvDtxx)()(21212xyxyx gtvgytv= (运行轨迹）bxaxdtvx xdtvtxx2