金融时间序列分析 第三次作业.docx

1、3.4模型为 AR(1)-GARCH(1,1)，假定 t 服从自由度为 v 的标准化的 t 分布，导出数据的条件对数似然函数。数据为 r=r1, r2, rn模型为rt=u+ 1rt-1+atat= t t t2= 0+ 1at-12+ 1 t-12由于 t 服从自由度为 v 的标准化的 t 分布，所以有 t 的概率密度函数为f( t)= -(v+1)/2 (+12) (2)(2)(1+ t22)其中 (x)为 Gamma 函数（ ） ()=0(1)由于 at= t t，a t 的条件似然函数为f(am+1,at)= -(v+1)/2=+1 (+12) (2)(2)1 t(1+ t2(2) t

2、2)所以对数条件似然函数为L=Tln( )-ln( )- ln(v-2)n- ln( t2)+(1+v)ln(1+ ) (+12) (2) 12 12=1 at2(2) t2带入实际的数据T=t， at=rt-u- 1rt-1，同时又有 t2= 0+ 1at-12+ 1 t-12，所以有了第一个 1 后就可以递推出其余的 t。3.5对 Intel 股票的对数收益率建立 GARCH 模型，并进行向前 1 到 5 步的波动率预测。数据的图形如下：同时 ACF 和 PACF 如下：可知模型的基本形式应该为 MA(1)。尝试对残差建立 ARMA(0,1)Garch(1,1)模型，结果为*-* GARC

3、H Model Fit *-*Conditional Variance Dynamics -GARCH Model : sGARCH(1,1)Mean Model : ARFIMA(1,0,0)Distribution : norm Optimal Parameters-Estimate Std. Error t value Pr(|t|)mu 0.025807 0.006441 4.00645 0.000062ar1 0.027009 0.054726 0.49353 0.621640omega 0.001235 0.000615 2.00819 0.044624alpha1 0.08918

4、6 0.033309 2.67753 0.007417beta1 0.836646 0.055546 15.06232 0.000000LogLikelihood : 238.1461检验残差的 ACF发现模型可以满足要求。所以最终拟合的 Garch 模型为(1-0.027009*B)yt=0.025807+ t t =ut*ht htN(0, n2)ut2=0.001235+0.089186*at-12+0.836646* t-12下面是向前 1 到 5 步的预测结果*-* GARCH Model Forecast *-*Model: sGARCHHorizon: 10Roll Steps:

5、 0Out of Sample: 00-roll forecast: sigma series373 0.1233 0.02426374 0.1236 0.02603375 0.1240 0.02607376 0.1243 0.02608377 0.1246 0.02608其中 372 就是 03 年 12 月的数据下图是预测结果趋势图3.6(a)利用对数收益率和 5%的显著性水平检验对数收益率中的相关性。观察对数收益率的 ACF 图形可以发现明显的一阶相关性。取 12 阶滞后的 Ljung&Box 检验的结果如下Box-Ljung testdata: mrk X-squared = 24.3

6、218, df = 12, p-value = 0.01838发现有显著的自相关性。尝试对序列建立 ARMA(1,0)模型arima(x = mrk, order = c(1, 0, 0)Coefficients:ar1 intercept-0.0911 0.0121s.e. 0.0380 0.0024sigma2 estimated as 0.004746: log likelihood = 868.06, aic = -1730.13残差 mrk$residuals=(1+0.0911*B)mrkt 没有序列相关。(b)利用 Ljung&Box 统计量，在 6 以及 12 个间隔下验证序列

7、的 ARCH 效应。令 arch=mrk$residuals2，进行 Ljung&Box 检验间隔为 6：Box-Ljung testdata: arch X-squared = 25.0263, df = 6, p-value = 0.0003376间隔为 12：Box-Ljung testdata: arch X-squared = 35.2562, df = 12, p-value = 0.0004263在 5%的显著性水平下无论是 6 还是 12 的间隔都是有显著的 ARCH 效应。(c)对数据识别一个 ARCH 模型，然后拟合*-* GARCH Model Fit *-*Condit

8、ional Variance Dynamics -GARCH Model : sGARCH(1,0)Mean Model : ARFIMA(1,0,0)Distribution : norm Optimal Parameters-Estimate Std. Error t value Pr(|t|)mu 0.012269 0.002411 5.0894 0.000000ar1 -0.080221 0.040635 -1.9742 0.048358omega 0.004433 0.000298 14.8977 0.000000alpha1 0.066349 0.043029 1.5420 0.1

9、23084模型形式为：(1+0.080221*B)mrkt=0.012269+ t t =ut*ht htN(0, n2)ut2=0.004433+0.066349*at-12下面是拟合的残差图以及置信区间，发现拟合是有效的。3.7(a)利用 Ljung&Box 统计量，在 6 以及 12 个间隔下验证对数收益率的 ARCH 效应。为了检验 3m 数据的 ARCH 效应，将 Ljung&Box 应用于 mmm2 序列6 个间隔：Box-Ljung testdata: mmm2 X-squared = 22.5644, df = 6, p-value = 0.000956312 个间隔Box-L

10、jung testdata: mmm2 X-squared = 29.9574, df = 12, p-value = 0.002834无论是 6 或者 12 个间隔，都是在 5%的水平下有显著的 ARCH 效应的。(b)用收益率平方的 PACF 识别一个 ARCH 模型并拟合。PACF 图形为序列平方项有 2 阶的偏自相关，所拟合的应该是一个 ARCH(2)模型。*-* GARCH Model Fit *-*Conditional Variance Dynamics -GARCH Model : sGARCH(2,0)Mean Model : ARFIMA(0,0,0)Distributio

11、n : norm Optimal Parameters-Estimate Std. Error t value Pr(|t|)mu 0.012084 0.002294 5.2671 0.000000omega 0.003195 0.000273 11.6992 0.000000alpha1 0.094952 0.048639 1.9522 0.050916alpha2 0.134261 0.056703 2.3678 0.017894模型为：yt=0.012084+ t t =ut*ht htN(0, n2)ut2=0.003195+0.094952*at-12+0.134261* at-22

12、(c)利用前 690 个数据重新拟合，并对 691 到 695 的数据进行预测*-* GARCH Model Fit *-*Conditional Variance Dynamics -GARCH Model : sGARCH(2,0)Mean Model : ARFIMA(0,0,0)Distribution : norm Optimal Parameters-Estimate Std. Error t value Pr(|t|)mu 0.011836 0.002297 5.1527 0.000000omega 0.003169 0.000274 11.5532 0.000000alpha1

13、 0.098426 0.049248 1.9986 0.045653alpha2 0.137802 0.057628 2.3912 0.016792yt=0.011836+ t t =ut*ht htN(0, n2)ut2=0.003169+0.098426*at-12+0.137802* at-22预测结果为*-* GARCH Model Forecast *-*Model: sGARCHHorizon: 10Roll Steps: 0Out of Sample: 00-roll forecast: sigma series691 0.06068 0.01184692 0.06510 0.0

14、1184693 0.06398 0.01184694 0.06447 0.01184695 0.06436 0.01184下面是预测图：(d)对 3M 股票的对数收益率建立 ARCH-M 模型，并在 5%的水平下检验风险溢价为 0 的假设。考虑到数据的 PACF 图形中有 2 阶的回归，建立 ARCH(2)-M 的模型：rt=u+c* t2+atat= t t t2= 0+ 1at-12+ 1 t-12拟合结果为：*-* GARCH Model Fit *-*Conditional Variance Dynamics -GARCH Model : sGARCH(2,0)Mean Model :

15、 ARFIMA(0,0,0)Distribution : norm Optimal Parameters-Estimate Std. Error t value Pr(|t|)mu 0.030460 0.021888 1.39164 0.164033archm -0.297533 0.352062 -0.84511 0.398046omega 0.003172 0.000273 11.60546 0.000000alpha1 0.093721 0.047570 1.97017 0.048819alpha2 0.141510 0.056890 2.48744 0.012867rt=0.03046

16、0-0.297533 t2+atat= t t t2=0.003172+0.093721at-12+0.141510 at-22下面是拟合结果的检验图：可知拟合是有效的。同时关注系数 archm 的 t 值，可以发现对应的 P 值大于 5%，所以系数是显著的，也就是说风险溢价为 0 的假设不成立。(e)利用前 690 个数据建立一个 EGARCH 模型，并进行向前 1 到 5 步的预测。由于数据的一阶自相关性，对数据建立 AR(1)EGARCH(1,1)的模型。*-* GARCH Model Fit *-*Conditional Variance Dynamics -GARCH Model :

17、 eGARCH(1,1)Mean Model : ARFIMA(1,0,0)Distribution : norm Optimal Parameters-Estimate Std. Error t value Pr(|t|)mu 0.010652 0.002204 4.83244 0.000001ar1 -0.064397 0.040323 -1.59705 0.110254omega -0.929434 0.454867 -2.04331 0.041022alpha1 -0.018260 0.031722 -0.57563 0.564866beta1 0.831434 0.082353 10

18、.09601 0.000000gamma1 0.198772 0.062164 3.19754 0.001386所以模型为：rt=0.010652-0.064397*rt-1+atat= t tln( t2)= 0+ *g( t-1)11+0.018260*Bg( t)= 0.831434* t +0.198772*| t |-E(| t |)预测结果为：*-* GARCH Model Forecast *-*Model: eGARCHHorizon: 10Roll Steps: 0Out of Sample: 00-roll forecast: sigma series691 0.05690 0.005967692 0.05796 0.010954693 0.05886 0.010633694 0.05961 0.010653695 0.06025 0.010652走势图为：3.8(a)建立一个带高斯新息的 GARCH 模型并检验首先检查数据 GM 的 ACF 和 PACF 图形