1、例 1.电报发射台发出和的比例为 5:3，由于干扰，传送（）时失真的概率为 2/5，传送 时失真的概率为 1/3，求接受台收到时发出信号恰是的概率。解 设 收到 ， 发出 ，AB由贝叶斯公式 53()| 8(|) 1|(|)4PAPBB例 2.若随机变量 与 的联合分布律为XYYX -1 0 10 0.07 0.18 0.151 0.08 0.32 0.20求：（1） 与 的联合分布函数与密度函数；（2） 与 的边缘分布律；YXY（3） 的分布律；（4） 与 的相关系数。ZXXY解：（1） ,0.7,10.8,0.15,83221,Fxyuxyuxyuxy,.,.,.,01010,fxyxyx
2、y（2）的分布律为X.78.5.4103206PX的分布律为Y.18510.20.3YP（3） 的分布律为ZX11,10.800,.4032.7,.2PZXYPYX（4）因为 .410.6.5350.EXY.8.7212则 ov, 0.6.0CXYEXY与 的相关系数 ，可见它们无关。XY0例 3.给定随机过程 ，其中 和 是常数，tAt0sinA0在 区间内为均匀分布的随机变量。现定义一个新的随机过程,。tXtY2求： （1） 的自相关函数；tY（2） 与 的互相关函数；t（3） 与 是否为宽平稳；tXY（4） 与 是否为联合平稳。t解：（1） tXEtRY2, 0202sinsintAtA
3、04co1YR（2 ） tXEtXY2,020sinsintAtEXYR（3 ） 0sin0tAEtttX, 00sinsintAtXR02co1所以 为宽平稳过程。tX210ARtYEX所以 为宽平稳过程。t例 4.简述宽平稳随机过程的自相关函数的性质，并判断下面图形所表示的函数可否作为实的宽平稳随机过程的自相关函数。答：宽平稳随机过程的自相关函数的性质为：1. 平稳过程的自相关函数在 上的值是非负值。2. 即自相关函数在是变量 的偶函数。3. 即自相关函数在 上具有最大值。4. 若平稳过程 X ( t )满足条件 X( t+T ) = X( t ) ，则称它为周期平稳过程，其中 T 为过程
4、的周期。周期平稳过程的自相关函数必为周期函数，且它的周期与过程的周期相同。22(0)()0XXREt0()|05. 若平稳过程 X(t) 含有一个周期分量，那么 Rx() 也可能含有一个同周期的周期分量。6. 若平稳过程中不含有任何周期分量，则有上图中所表示的函数都不可作为实的宽平稳随机过程的自相关函数。例 5.已知平稳过程 的物理功率谱密度为 ，()Xt ()4XF求 的功率谱密度 和自相关函数 ？画出 的图形。()Xt ()GR(),XGR判断过程 是白噪声还是色噪声？给出理由。t 1()()2,()2()0()XXXXGFFREttU解 ： 物 理 功 率 谱 密 度 ， 是 定 义 式
5、 白 噪 声 。例 6.随机电压信号 在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函Ut数是高斯的、均值为 0，方差为 2，试求：（1）密度函数 、 和 ，k 为任意;fut12,;ft1212,.;,.kfutt整数；（2） 的平稳性。Ut解：(1) 21(;)exp4fut211,21,2,(;)()exp4uftfutft2|lim()XXRm211,212,1(,;,)()exp4(2)kik ik i ki ufuttfut (2)由于任意 k 阶概率密度函数与 t 无关，因此它是严平稳的。例 7.随机信号 与 的实测样本函数如下题图(a)与(b)所示，试说明它们是否均值1Yt2各
6、态历经。(a) (b)解：由均值各态历经信号的物理意义：只要观测的时间足够长，每个样本函数都将经历信号的各个状态，结合题图可见：（a）不可能是均值各态历经信号；（b）很可能是均值各态历经信号。例 8.具有自相关函数 的白噪声通过下图所示的理想带通滤波器，20NRX求输出的总噪声功率 P。 H000解： 20NRX0GX， 20NHGXY2012100200dP例 9. 是 的 Hilbert 变换，请证明若 ，则tx txttx证明： dtxdtxtx11 ttttx例 10.对于窄带平稳随机过程 ，若已知ttAttYSC00sincos，求证： 。0cosaRY aRAsc证明： 0cosaY0inR00sincosYYAsc R22iaa
