1、1西南交通大学 2006-2007 学年第(一)学期考试试卷课程代码 课程名称 随机过程 B 考试时间 2007.1.24 题号 一 二 三 四 五 六 七 总成绩得分一、（14 分）设二维随机变量( , )的联合概率密度函数为：XY其 它0101(24), xyxyxf试求:在 时,求 。0)|(E解： ()Yfyfxyd(5 分)124010y其 它 2()01yy其 它当 时， (5 分)1y(,)Yfxy2()10xyx其 它 )|(XE(,)()Yfxfydxdy(4 分)2121()()3()y二、（14 分）设离散型随机变量 X 服从几何分布：,21)1(kpkXPk试求 的特征
2、函数，并以此求其期望 与方差 。)(E)(XD解： (2 分)1()()itXitkXtEe1 1()()()itkkitkkpep 1()()()ititkkpee2(4 分)1()1ititpeeq(2 分)2)()itXtqe 0221()1)()Xipeiiqp(2 分) 31)()ititXpt3()X所以：(2 分)(0)XEip221)(Xq(2 分)222()1()qDEp三、（14 分）请写出维纳随机过程的数学定义，均值函数，自相关函数与一维特征函数。答：1、设 W(t)是一个随机过程，满足：（1） (2 分)01P（2）W (t)是增量独立的随机过程 (2 分)（3） ，
3、(2 分)st()tWs2(0,)Nts则称 W(t)为维纳过程。2、 ， , ， (3 分)0t()t2)t(Et(3 分)2(,)min(,WRstEstst(2 分)2,tvte3四、（14 分）设随机过程 ，其中 是常数，),cos()(0tYtAtX0与 是相互独立的随机变量， 服从区间 上的均匀分布， 服从瑞利AYY2A分布，其概率密度为 00)(2xexfA试证明 为宽平稳过程。)(tX解：（1） )cos()(cos(00 YtEAYtAEtm与 无关 （4 分）20002)(dytdxet（2） )()(cos)()cos()()( 2022202 AEYtEAYtAEtXt
4、 ，dtetdxeAE02202321)( 202022 | ttt所以 （5 分）)()(22tXEt（3） )cos(cos, 201021 YtAYtAtRX )()( 2ttdytyt 21)(coscos20010 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。（5 分）)(12t(tX五、（14 分）某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟 2 人与每分钟 3 人的泊松过程。4（1） 试求到某时刻 时到达商场的总人数的分布；t（2） 在已知 时刻以有 50 人到达的条件下，试求其中恰有 30 位妇女的概率，t平均有多少个女性顾
5、客？解：设 分别为（0,t）时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及12(),()Nt总人数。（1） 由已知， 为强度 的泊松过程， 为强度 的泊松过程；1()t122()Nt23故， 为强度 的泊松过程；于是，()Nt125（5 分）5()()!ktPte0,12k（2） 22 ()3,()()30()5PNttNtt302021 5()()()/!()/!5/t ttPttee（5 分）3020302055()/!()/!()/t tteeC一般地， 0,1,)()(|)(50502 ktNktPk故平均有女性顾客 人 （4 分） 3| tE六、（15 分）设一个坛子中装有 4 个球，它们或是
6、红色的，或是黑色的。从坛子中随机地取出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过 次取球置换，n令 表示第 次取球后坛中的黑球数。1),(nX（1） 是否构成马氏链,是否为齐次的，为什么?（2）试写出其状态空间与一步转移概率矩阵。解： 的参数集为 ，状态集为 ，当1),(nX1,23,Tn 0,1234EX(n)的取值确定时，X(n+1)的取值完全由 X(n)确定，故 为马氏链，)(nX5（4 分） ()(1)()ijPnXjni（4 分）,03,4411,0jiijii或其 它与 n 无关，故为齐次马氏链。 （2 分）（2）一步转移概率矩阵为（5 分）010/43/2/1/400七、（15 分）设 是独立同分布随机变量序列，其分布律为：,21),(nX， 14.06npi（1）试给出 的一步转移矩阵，并画出概率转移图；,21),(n（2）令 ，计算概率 。kXY1, 0)4(,)3(,0)2(,)1YYP（1） 的一步转移矩阵为,2),(n（3 分）0.64转移图为： （4 分）61 10.40.60.40.6(2) X(1) X(2) X(3) X(4)由树杈图可得： 0)4(,)3(,0)2(,)1YYP 2 2 0.4048 （8 分）4(0.63.4(.6)
