高一向量积知识归纳及习题.doc

1、 1教师姓名 陈桂芳 学生姓名 填写时间年级 高一 学科 数学 上课时间阶段 基础（） 提高（） 强化（ ） 课时计划 第（ ）次课共（ ）次课教学目标1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.教学重难点1.平面向量数量积的综合应用.2.灵活运用平面向量数量积的重要性质及其运算律解决问题教学过程1、知识点1.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹ab角是 ，则数量| | |cos叫 与 的数量积，记作 ，即 abab= | | |cos， 并规定 与任何向量的数量积为 0 奎 屯王 新 敞新 疆 ab(0)02平面向量

2、的数量积的几何意义：数量积 等于 的长度与 在 方aba向上投影| |cos的乘积. 3两个向量的数量积的性质 设 、 奎 屯王 新 敞新 疆 为两个非零向量， 是与 同向abe的单位向量 奎 屯王 新 敞新 疆 = =| |cos； = 0ea当 与 同向时， = | | |；当 与 反向时， = | |bababab| 奎 屯王 新 敞新 疆 ,特别地 = | |2 cos = ； | | | | |baab4.平面向量数量积的运算律 交换律： = 数乘结合律：( ) = ( ) = ( )abab 分配律：( + ) = + cc5.平面向量数量积的坐标表示2已知两个向量 ， ,则 .)

3、,(1yxa)(2yxbba21yx设 ，则 .),(2|平面内两点间的距离公式 如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为、 ，那么 .),(1yx),(2 2121)()(| yxa向量垂直的判定 两个非零向量 ， ，则,2xb.ba021yx两向量夹角的余弦 cos = 221yx（|ba）.0小结1. 掌握平面向量数量积的定义及几何意义，熟练掌握两个向量数量积的五个性质及三个运算率.2. 灵活应用公式 = | | |cos , , abba21yx.2|yx3. 平面向量数量积的综合应用2、典型例题1. 平面向量数量积的运算例题 1 已知下列命题: ; ; ; ()0a()()a

4、bc()()abcA bcA其中正确命题序号是 、 .点评: 掌握平面向量数量积的含义,平面数量积的运算律不同于实数的运算律.例题 2 已知 ; (2) ;(3) 的夹角为 ,5(1)|abab若 ab与 03分别求 .A解(1)当 时, = 或 =|A0cos2510A.0cos1825(1)0ab3(2)当 时, = .abA0cos9250ab(3)当 的夹角为 时, = .与 033cs352变式训练:已知 ,求0000(cos2,67),(o68,cs)ab abA解: = 0cs368sabA0002o2ini2coin45点评: 熟练应用平面向量数量积的定义式求值,注意两个向量夹

5、角的确定及分类完整.2.夹角问题例题 3 若 ,且 ,则向量 与向量 的夹角为 1,2abcabcab( )A. B. C. D. 006012015解:依题意 2()cosababcs2故选 C012学生训练: 已知 ,求向量 与向量 的夹角 .,37abab已知 , 夹角为 ， (1,2)(4)与 (cos.解: 7ab227abA,故夹角为 .31cos,06依题意得 .)(,4)ab( ()385cosabA变式训练:已知 是两个非零向量 ,同时满足 ,求, 的夹角 .ab与法一 解 :将 两边平方得 , ab21abbA4223ababaA则 , 故 的夹221() 3cosAab与

6、角.为 .03法二: 数形结合点评:注意两个向量夹角共起点,灵活应用两个向量夹角的两种求法.3.向量模的问题例题 4 已知向量 满足 ,且 的夹角为 ,求,ab6,4ba与 06.3ab和解: ,且 的夹角为 6,与 012A; 22769ababA3691083.变式训练 :已知向量 ,若 不超过 5,则 的取值范围 (2,)(5)abkabk( )A. B. C. D. 4,66,46,22,6 已知 的夹角为 , , ,则 等于( )ab与 0123a1bA 5 B. 4 C. 3 D. 1解: , 故选 C2(3,)()95k62k , ,解2ababA0cos13ab得 ,故选 B4

7、点评:涉及向量模的问题一般利用 ,注意两边平方是常用的22方法.4.平面向量数量积的综合应用例题 5 已知向量 .(sin,1)(,cos),2ab(1) 若 ; (2)求 的最大值 .,求 a5解:(1)若 ,则 ,absinco0.t1()24(2) = =2si)cs3(sinco)32in(43, ,42sin()(,14, 的最大值为 .4当 时 ab 22例题 6 已知向量 ,且 满足(cos,in),(cos,in)bab,3kkR(1) 求证 ; ()()ab(2)将 与 的数量积表示为关于 的函数 ;k()f(3)求函数 的最小值及取得最小值时向量 与向量 的夹角 .()fk

8、ab解:(1) cos,in,(cos,in)ab，故 22()|10baA ()()a(2) ,3kk2222 2, 136,abkabkbAA又故 .1,(0)4kbA1(),(0)4f(3) ,此时当 最小值为2()2kkfA1,()kf. ,量 与向量 的夹角 121cosabAb36课后作业： 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)1在矩形 ABCD 中，O 是对角线的交点，若=（ ）CeDBC则213,A B C D)5(2)5(21)53(12e)3(12e2对于菱形 ABCD，给出下列各式： |BA 2|DCAB |4|22AB其中正确的个数为（ ） （ ）A1 个 B2

9、个 C3 个 D4个3.在 ABCD 中，设 ，则下列等式中dcAba,不正确的是（ ）A B C Dcbadbba4已知向量 反向，下列等式中成立的是( ) （ ）与A B|a |C D|b |ba5已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（1，0） ， （3，0） ， （1，5） ，则第四个点的坐标为( ) （ ）A （1，5）或（5，5） B （1，5）或（3，5）C （5，5）或（3，5） D （1，5）或（3，5）或（5，5）6与向量 平行的单位向量为( ) （ ）,2dA B C 或 D),13(135)13,2()13,2(57若 ， ，则 的数量积为 204|ba5|,4|baba与

10、（ ）A10 B10 C10 D103328若将向量 围绕原点按逆时针旋转 得到向量 ,则 的坐标)1,2(a4b为 ( ）7A B C D)23,()23,( )2,3()2,3(9设 kR，下列向量中，与向量 一定不平行的向量是 （ ）)1,QA B),(kb ),(kcC D12d 12e10已知 ，且 ，则 的夹角为 |,0|a36)5(baba与（ ）A60 B120 C135 D150二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)11非零向量 ，则 的夹角为 |baba满 足 ,.12在四边形 ABCD 中，若 ,则四边形|, baADB且ABCD 的形状是 13已知 ， ，若 平行，

11、则 = )2,3(a)1,(bba与.14已知 为单位向量， =4， 的夹角为 ，则 方向上的e|e与 32ea在投影为 .三、解答题(每题 14 分,共 84 分)15已知非零向量 满足 ,求证: ba|bab16已知在ABC 中， ， 且ABC 中C 为直角，)3,2(AB),1(kC求 k 的值.17、设 是两个不共线的向量，21,e，若 A、B、D 三点共线，2121,3eCDeBkA求 k 的值.818已知 , 的夹角为 60o, , ,2|a3|ba与 bac35bkd当当实数 为何值时， kcd19如图，ABCD 为正方形，P 是对角线 DB 上一点，PECF 为矩形，求证：PA

12、=EF；PAEF. 20如图，矩形 ABCD 内接于半径为 r 的圆 O，点 P 是圆周上任意一点，求证：PA 2+PB2+PC2+PD2=8r2.9必修 4 第二章平面向量单元测试参考答案一选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A C B C D C A B C B二、填空题： 11 120； 12 矩形 13、 14 12三、解答题：15证： 2222 bababa02为 非 零 向 量又 , 16解： )3,1(),2,1(kkABC00RT为 230312kk17 212114eeCBD若 A，B，D 三点共线，则 共线，与设即 21214eek由于 可得： 不 共 线与 21k故 8,k18.若 得 若 得cd59dc14919.解以 D 为原点 为 x 轴正方向建立直角坐标系C则 A(0,1), C:(1,0) B:(1,1)10)2,(,rPrD则设 1,A)0,2(:),(rFrE点 为)2,1(rEF1|P22)()(| rr故 EFAEFPA0而20.证: PACBD,2222 |)(|CABDB0, PCA故为 直 径 22222 | PCPAD即 84rDBr