1、1分段函数一、分段函数定义分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数,它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集。二、分段函数的考查点1、 求分段函数的定义域和值域例 1求函数 的定义域、12,0;()()3,;xf值域. 【解析】作图, 利用“数形结合”易知 的定义()fx域为 , 值域为 . 1)(1,3练 1、设函数 ， ，则 的值域)2(Rxxg)(,)(4( xgxgxf )(f是（ ）A B C D),(0,49),0),49),2(0,492求分段函数的函数值例 2已知函数 求 . 2|1|,(|)()xf12(
2、)f【解析】因为 , 所以 . 3122()|f 31222314()()ff练 2、定义在 R 上的函数 满足 =0),()(,4logxfxf ，)(xf)f则 的值为（ ） )3(fA B. C. 1 D. 21-2-3、给出函数 ，则 （ ）)4()1()xfxfx )3(log2f11o322-1yx-12A. B. C. D. 823-1192414、函数 ,若 ,则 的所有可能值为（ ）21sin(),0().xxfe2afA. B. C. ， D. ,21123求分段函数的最值例 3求函数 的最大值. 43(0)()15xf【解析】当 时, , 当 时, , 当0xmax()0
3、3ff1xmax()14ff时, , 综上有 . 1514max()44求分段函数的解析式例 4在同一平面直角坐标系中, 函数 和 的图象关于直线()yfx()g对称, 现将 的图象沿 轴向左平移 2 个单位, 再沿 轴向上平移 1 个单yx()ygx y位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数 的表达式为（ ()fx） 2(10).()2xxAf2().()0xBfx2(12).()4xCf26().()3xxDf【解析】当 时, , 将其图象沿 轴向右平移 2 个单位, 再沿 轴012yxy向下平移 1 个单位, 得解析式为 , 所以112()y -1 2 13 1o-
4、2 y x3, 当 时, , 将其图象沿 轴向右平移 2()2(10)fxx01x21yxx个单位, 再沿 轴向下平移 1 个单位, 得解析式 , 所以y ()24, 综上可得 , 故选 A. 12()(02)fxx20()()xxf5作分段函数的图像例 5函数 的图像大致是（ ）|ln1|xyeA11oyxByx1 1OCyxO 11DyxO 116判断分段函数的奇偶性例 6判断函数 的奇偶性. 2(1)0()xf【解析】当 时, , , 0x22()(1)()(fxxfx当 时， , 当 , , ()0ff0因此, 对于任意 都有 , 22()1()(fxxxfxR()fxf所以 为偶函数
5、. 7判断分段函数的单调性（考查具有隐含性，例如：与分段函数不等式有关的问题）例 7判断函数 的单调性. 32(0)()xf4【解析】显然 连续. 当 时, 恒成立, 所以 是单调递()fx0x2()31fx()fx增函数, 当 时, 恒成立, 也是单调递增函数, 所以0()2f()fx在 上是单调递增函数; 或画图易知 在 上是单调递增函数. ()fxR()fxR例 8写出函数 的单调减区间. ()|1|fx【解析】 , 画图易知单调减123()()fxx区间为 . 12(,练 5、已知 是 上的减(3)4,1)logaxfx(,)函数，那么 的取值范围是a（A） （B）(0,1) 1(0,
6、)3（C） （D）7376、设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ )0(log)(21xxf )()aff）A B C D),0(,1),1(),(),1()0,(8解分段函数的不等式例 9设函数 , 若12(0)()xf, 则 得取值范围是（ ）0()1fx0.A.(1,)Byx52o-1252xy1-1 15.(,2)(0,)C1D【解析 1】首先画出 和 的大致图像, 易知 时, 所对应的()yfx10()1fx的取值范围是 . 0x(,【解析 2】因为 , 当 时, , 解得 , 当0)fx0x02x0x时, , 解得 , 综上 的取值范围是 . 故选 D. 0x1201(,1)(,
7、)例 10设函数 , 则使得 的自变量 的取值范围为（ 2()()4xffxx）A B. (,20,1(,20,1C. D. 【解析】当 时, , 所以 , x2()(1)fxx或 21xx或 0当 时, , 所以 , 综114310上所述, 或 , 故选 A 项. 2x0x练 7、 （2009 天津卷）设函数 0,64)(2xf，则不等式 )1(fxf的解集是（ ）A. ),3()1, B. 1, C. ),3()1, D. 3,8、设函数 ，则 的取值范围是（ ）102(),xf fx若 0xA B),( ),1-(C D),0(,(8解分段函数的方程（包括函数零点问题）例 11、设函数 , 则满足方程 的 的值为 812()log)xf 1()4fx6【解析】若 , 则 , 得 , 所以 （舍去）, 若142x2x(1x2x, 则 , 解得 , 所以 即为所求. 184log83(1)3练 9、设 ，若 有且仅有三个解，则实数 的取值范围是)0(13)(xfaxf xf)( a（ ）A B C D2,12,110、函数2x+-3,0)=lnf（的零点个数为 ( )A0 B1 C2 D311.函数 的图象和函数 的图象的交点个数是（ 24()3fxx， ， 2()logx）A4 B3 C2 D1
