第九部分直线与圆锥曲线.doc

1、第九部分 直线与圆锥曲线70、直线的倾斜角是直线向上方向与 轴正方向所成的角，当直线是 轴或与 轴平行时，xx直线的倾斜角是 0，直线倾斜角的范围是 .当直线与 轴不垂直时，倾斜角的正切),0值称为直线的斜率.举例已知直线 的斜率是 ，直线 过坐标原点且倾斜角是 倾斜角的两倍，则直1l32l 1l线 的方程为.2l分析：由 的斜率是 ，知直线 的倾斜角为 ，所以直线 的倾斜角为 ，则 的斜1l31l62l32l率为 ，所以直线 的议程为 .32lxy371、若直线的倾斜角为 ，直线的斜率为 ，则 与 的关系是：k； .2),(),0,不 存 在 ， tgk 0,karctg举例已知直线 的方程

2、为 且 不经过第二象限，则直线 的倾l )0(,bcyaxl l斜角大小为（ ）A、 ； B、 ； C、 ； D、 .barctg)(brctgbarctgbarctg分析：注意到直线 的斜率 ，又直线不过第二象限，则 ，所以此直线的倾斜lak0k角为 ，选 B.arctk72、常见直线方程的几种形式及适用范围要熟悉：（1）点斜式 ，过定)(00xky点 与 轴不垂直；（2）斜截式 ，在 轴上的截距为 与 轴不垂直；),(0yx bkxyb（3）截距式 ，在 轴 轴上的截距分别为 与坐标轴不平行且不过坐标原点.1baxa,特别注意的是当直线过坐标原点（不是坐标轴）时，直线在两坐标轴上的截距也相

3、等，直线在两坐标轴上的截距相等，则此直线的斜率为1，或此直线过原点.举例与圆 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有（ 1)2()1(yx）A、2 条； B、3 条； C、4 条； D、5 条.分析：注意到截距与距离之间的区别，截距指的是曲线（直线）与坐标轴交点的一个坐标，它有正负（也可以是 0）之分.选 B.73、求直线的方程时要特别注意直线的斜率是否存在的情况，不确定时要注意分类讨论，漏解肯定是斜率不存在的情况.要明确解析几何是“用代数方法解决几何问题”的道理，所以做解析几何问题不要“忘形”.举例过点 与坐标原点距离为 2 的直线方程是.)3,2(P分析：若仅用点斜式设出直线方程，再用点到直

4、线的距离来求解，则会漏解，这是因为在设立方程的时候就排除了斜率存在的情况.考虑到直线 满足题义，故所求直线有两条，2x其方程为： 与 .0615yxx74、两直线位置关系讨论的主要依据是两直线的斜率，要注意斜率不存在时的情况.掌握点到直线的距离公式、两平行直线之间的距离公式、两直线的夹角公式.由一般式方程判断两直线之间的关系：直线 ： 不全为 0） 、 ：1l 11,(0BACyBxA2l， （ 不全为 0）.则 的充要条件是 且022CyBxA2, 2/l 011BA与11至少有一个不为零； 的充要条件是 ； 与 相交的充要条2 21l021BA1l2件是 .0121BA举例 1直线 斜率相

5、等是 的（ ,l21/l）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.分析：直线 斜率相等，两直线可能重合，不一定有 ；又两直线 ，考虑到21,l 21/l21/l特殊情况，若 都与 轴垂直，则它们的斜率不存在，就谈不上斜率相等了.选 D.x举例 2直线 过点 与以 为端点的线段 AB 有公共点，则直线l)3,(P)3,()2,BA倾斜角的取值范围是.l分析：直线与线段之间的关系可借助于数形结合的方法来解决，先确定出“极限”位置时直线的倾斜角（斜率） ，再从旋转的角度进行变化研究. .若直线 与线段2,1PBAklAB 有公共点，则其斜率 存在时的取值范围是

6、： 或 ，或其斜率不存在.因此kk直线 倾斜角的取值范围是 .l 43,2arctg利用数形结合解决这类问题时，困惑的是要求的直线斜率的取值范围问题.可以这样来确定：过定点 P 的直线（倾斜角为 ）与线段 AB 有公共点（PA、PB 与 轴不垂直） ，xPA、 PB 的倾斜角分别为 ，则 .若直线 的斜率为 k（存在的话） ，)(,lPA、 PB 的斜率分别为 ，当 时，则有 ；当212k021k21时，则有 或 .021kk在解这类问题时也可以利用线性规划的有关知识来求解.设直线 的方程为l， ，若 与线段 AB 有公共点（A 、B 两点在直线 的两侧),(yxf ),(),(21yxBAl

7、 l或有一点在直线上） ，则 ；若 与 AB 没有公共点（A 、B 两点在0),(21ff l直线 的同侧） ，则 .这样可很方便地求出直线 的斜率.l),(21yxl75、点 A、B 关于直线 对称即 是线段 AB 的垂直平分线，垂直是斜率关系，平分说明llAB 的中点在 上.特别注意：当对称轴所在直线的斜率为 1 或1 时，对称点的坐标可用代l入的方法求得.即点 关于直线 的对称点是 ；点),(0yx0cyx ),(0cxy关于直线 的对称点是 .),(0yxc),(x举例 1将一张画有直角坐标系的图纸折叠使点 与点 重合，若点2A(,6)B与点 D 重合，则点 D 的坐标为；),3(C分

8、析：实际上这是一个对称的问题，对称轴是 AB 的垂直平分线 ： ，D 点l083yx是 C 点关于直线 的对称点.求点关于直线的对称点的坐标要紧紧抓住垂直（斜率关系）平l分（中点坐标）这两个方面列方程组求解.设 D 点的坐标为 ，则 ，且),(ba2，求得： .0523ba)53,4(举例 2抛物线 C1： 关于直线 对称的抛物线为 C2，则 C2 的焦点xy202y坐标为.分析：两抛物线关于一直线对称，则它们的焦点也关于此直线对称，只要求焦点关于此直线的对称点即可.抛物线 C1 的焦点坐标为 ，所以 C2 的焦点坐标为 .),21( )25,(76、直线与圆的位置关系的判断主要是利用点（圆心

9、）到直线的距离来判断.设圆 C 的半径是 ，圆心到直线 L 的距离是 ，当 时，直线 L 与圆 C 相离；当 时，直线 Lrdrrd与圆 C 相切；当 时，直线 L 与圆 C 相交.求直线被圆所截的弦长可用圆半径、弦心r距、弦长一半组成直角三角形来求解.举例 1已知点 是圆 外的一点，则直线 与圆的位置关系),(ba22ryx2rbyax是（ ）A、相离； B、相切； C、相交且不过圆心； D、相交且过圆心.分析：点 在圆 外，则 ，圆心到直线 的距离),(ba22ryx22rba2rbyax，又 .选 C.rd20d关注：若点 是圆 上的一点，则直线 是圆过此点的切线方),(ba22ryx2

10、rbyax程；若点 是圆 外的一点，则直线 是此圆过该点有两切线的切点弦的方程.举例 2若圆 O： 上有且只有两点到直线 的距离为 2，22ryx 01543:yxl则圆的半径 的取值范围是.r分析：如图：圆心 O 到直线 的距离为 3，与直线ll距离为 2 的点的轨迹是与 平行且与 距离为 2 的两l平行直线（图中虚线 ）.由题义知直线 与圆 O21,l1有两不同交点，而 与圆 O 没有公共点.因此圆 O 半径 的取值范围是 .r5r77、确定圆的方程可以利用圆的标准方程 ，即确定圆心坐标与半22)()(rbyax径；也可以利用圆的一般方程 ，即确定系数 D、E、F.要注意02FEDy的是方

11、程 表示圆的充要条件是 .确定一个圆02FEDxyx 042F的方程需要三个互相独立的条件（因为标准方程与一般方程中都三个待定的系数）.举例 1二次方程 表示圆的充要条件是022 yxCyBA；分析：注意到圆的一般方程中没有 这样的项，且二次项系数都为 1.则必有 ，且0B，此时方程可以化成： .与圆的一般方程比较可0CA2AFyExDyx以得出： .其充要条件为： .04)(2AFED 4,02AFEDC举例 2已知圆 C 被 轴截得的弦长是 2，被 轴分成的两段弧长之比为 ，求圆心y 3:1C 的轨迹方程.分析：如图，设圆心 ，圆半径为 .因圆被 轴截得的线段长为 2，圆心到 轴的),(x

12、ryyx1l2lO距离为 ，则根据直线与圆的位置关系，知 ，|x 12xr又圆被 轴所分成的两段弧长之比为 ，则 轴被所截得3:1的弦所对的中心角为直角，圆心到 轴距离为 ，则x|y.则 .即所求的轨迹方程为|2yr221yx.78、掌握圆的基本特征：圆上任意两点的垂直平分线是圆的直径所在的直线；直线平分圆的充要条件是此直线一定过该圆的圆心；与两定点连线所成角为直角的动点的轨迹是以定线段为直径的圆（或圆弧）等.举例 1直线 过定点 与圆 交于 A、B 两点，则弦 AB 中点 N 的轨l)0,4(M42yx迹方程为；分析：解决与圆有关的的问题要“对得起”圆.即要抓住圆的几何特征.如图： ，M、O

13、 都是定点，ABN所以 N 在以线段 OM 为直径的圆上，其方程为 2)(x.注意到点 N 在圆 内，则弦 N 的轨迹方程为 （42y42yx 4)2(yx.)10x举例 2直线 过定点 与圆l)0,(M2yx交于 A、B 两点，O 是坐标原点，则AOB 面积的最大值为；分析：由圆的性质知，AOB 是等腰三角形，所以当 为直角时，其面积最大，最大值为 2.2|AB举例 3已知 A 是圆 上任意一点，点 A 关于直线0642yaxyx的对称点也在圆上，那么实数 的值为.01yx分析：圆上的点关于直线的对称点仍然在圆上，则此直线必过圆心 ，代入知：)2,(a.3a79、两圆之间的位置关系的判断主要

14、是利用两圆的半径的差或和与两圆的圆心距之间的大小关系.设圆 A 的半径为 ，圆 B 的半径为 （不妨设 ） ，则有：（1）1r2r2r，两圆外离；（2） ，则两圆外切；（3）1|rB1|AxyOCrAB MNOxyAB MOx，则两圆相交；（4） ，则两圆内切；（5）2121|rABr 21|rAB，则两圆内含.关注：两圆的位置关系也可以由两圆的公切线的条数上来分.|举例 1已知动圆 C 与定圆 M： 相切，且与 轴相切，则圆心 C 的轨)2(yxy迹方程是；分析：如图：（1）当两圆外切时，设动圆的半径为 ，r则 ，C 到 轴的距离为 ，则 C 到直|rMyr线 的距离 ，那么 C 到直线x1

15、|rN1x的距离与 C 到 M 的距离相等，所以点 C 的轨迹是以M 为焦点，直线 为准线的抛物线.其方程为：x.)21(62y（2）当两圆内切时，可得 C 到 M 的距离与 C 到直线的距离相等，所以此时点 C 的轨迹是以 M 为焦点，x直线 为准线的抛物线.其方程为： .123()yx所以圆心 C 的轨迹方程为： 与 .)1(62 2举例 2已知 ，一动圆 I 过点 M 与圆 N： 内切.)3,0( 16)3(2yx（1）求动圆圆心 I 的轨迹 C 的方程；（2）经过点 作直线 交曲线 C 于 A、B 两点，设 ，当四边形(,)Ql OBAPOAPB 的面积最大时，求直线 的方程.分析：（

16、1）如图，动圆 I 与定圆 N 内切，设动圆半径为 ，则 .那么rrIMIN|,4|有：， ，所以 I 点的轨迹是以 M、N 为焦点 4 为长轴长的椭圆.4|IMN|23其方程为 .12yx（2）由 知，四边形 OAPB 是平行四边形.要OBAP使得四边形 OAPB 面积最大，则OAB 的面积最大，注意变化中的定值条件.OAB 的面积是AOQ 的面积与BOQ 的面积之差.设 A ，则 .),(),(21yx12|AOBSy可在联立方程组时，消去变量 ，保留 .设直线 的方程为 ，lmCM xON1xMNIO xyABPO Q xyCM xyONx由 .由221(4)1620yxmy= ，得 .

17、22(6)()243由韦达定理得：知 .则 =12122,4yym021y12|AOBSy|21y.令 ，那么：2121243()()()mt，当 时等号成立.此时 ，2 18826(4)6tSt16t 274m即所求的直线方程为 .742xy80、椭圆的定义中要注意隐含的条件：定值大于两定点之间的距离.掌握椭圆基本量之间的关系，分清长轴、短轴、焦距、半长轴、半短轴、半焦距.椭圆最基本的几何性质是定义的逆用：“椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴的长”.举例 1已知复数 满足 ，则 对应点的轨迹是；z4|2| iziz分析：根据复数的几何意义，复数 对应点到 与 对应点的距离之和为 4，看

18、似椭圆，i但注意到两定点之间的距离为 4.所以 对应点的轨迹是以 与 对应点为端点的线段.2i举例 2设 P 是以 为焦点的椭圆 上的一点，若点 P 满足：21,F)0(12bayx，则椭圆的焦距与长轴的比值为（ ,02121tgF）A、 ； B、 ； C、 ； D、 .33135分析：由题知 ，又 ，则 .由21PF21tg|2|1PF得 .则 .则 .选 D.aPF|213|,4|1a35|21ac352c81、椭圆中一些常见的结论要记住，这对解决选择填空等客观性问题时比较方便，如：椭圆的基本量 蕴含在焦点、中心、短轴端点所构成的直角三角形中；椭圆的短轴的端cb,点对两焦点的张角是椭圆上点

19、与两焦点张角（与两焦点连线夹角）的最大值；短半轴、长半轴的几何意义是椭圆上点与中心距离的最小值与最大值；焦点到椭圆上点的距离的最大值与最小值分别是 与 ；过椭圆焦点的弦长最大值是长轴长，最小值是垂直于长ca轴所在直线的弦（有时称为通径，其长为 ）.ab2举例 1一直线 过椭圆 的左焦点，被椭圆截得的弦长为 2，则直线 的方l124yx l程为；分析：注意到此椭圆的通径长为 2，所以此直线的方程为 .x举例 2椭圆 上有 个不同的点 ，椭圆的右焦点为 F，1342yx072071,P数列 是公差为 的等差数列，则 的取值范围是.),|(| nFPdd分析：注意到 的取值范围是 ，若数列是递增数列

20、，有 ，| 3,1 3|,1|207F此时 .若数列是递减数列则 .所以 .103d 0 ,()82、椭圆 上任意一点 P 与两焦点 构成的三角形可称为椭圆)0(2bayx 21,的焦点三角形.焦点三角形的周长为定值 ，利用解三角形的方法可以得出：当)2(ca 时，此三角形的面积为 （引起注意的是此结论的推导过程要掌握）.21PFtgb举例已知点 ，点 C 在直线 上满足 ，则以 A、B 为焦)0,2(,BA1yCA点过点 C 的椭圆方程为 .分析：注意到ABC 的面积为 2，且 ，即 ，则 .所以所求的2A242tgb2b椭圆方程为 .162yx另解：由图，因为ABC 是直角三角形，AB4，

21、 ，22ACB|24ABCAS可求得 .所以所求的椭圆方程为 .|6()a 126yx83、双曲线的定义中的隐含条件是“两焦点之间的距离大于定值（实轴长） ”，双曲线基本A BO xy1C量之间的关系要与椭圆基本量的关系区分开来，从定义上来说椭圆与双曲线的定义是一字之差，方程是一符号之差，但两者之间的几何性质完全不同.举例一双曲线 C 以椭圆 的焦点为顶点，长轴顶点为焦点，则此双曲线的124x方程为.分析：由题知双曲线的实轴在 轴上，可设其方程为 .注意到双曲线的其本量x12byax关系可得： ，所以所求双曲线方程为 .4,2ca84、渐近线是双曲线特有的几何性质，要特别注意双曲线的渐近线方程

22、，理解“渐近”的意义.双曲线 的渐近线的方程为 ，与双曲线 共渐近12byax 02byax12byax线的双曲线可以设成 （其中 是待定的系数） ，双曲线的焦点到双曲线的2渐近线的距离是虚半轴长 .b举例 1一双曲线与 有共同渐近线且与椭圆 有共同焦点，则此132yx 132yx双曲线的方程为；分析：由题可设所求双曲线的方程为 ，因其焦点在 轴上，则 .则标准23yxx0式为 ，那么 .得所求双曲线为 .132yx2132y举例 2若关于 的方程 有两个不等的实数根，则实数 的取值范围x)(12xk k是.分析：若从代数角度入手讨论比较麻烦.从数形结合入手，借助于双曲线的渐近线，则很容易得解

23、.在同一坐标系中作出 （双曲线 的上半部分）与12xy12yx（过定点 的直线）的图像.如图：可)(k)0,(得 .085、记住双曲线中常见的结论：（1）过双曲线焦点的直线被双曲线同支截得的弦长的最小值是通径（垂直于实轴的弦长） ，被两支截得的弦长的最小值是实轴的长；（2）双曲线焦xyO2点到同侧一支上的点的距离最小值是 ，到异侧一支上点的距离最小值是 ；acac（3）双曲线 的焦点为 ，P 是双曲线上的一点，若 ，则12byax21,F21PF的面积为 （仿椭圆焦点三角形面积推导）.21PFctg举例 1已知双曲线的方程为 ，P 是双曲线上的一点，F 1、F 2 分别是它的两1692yx个焦

24、点，若 ，则 ；7|2PF分析：由双曲线的定义 ，知 或 13.注意 P 点存在的隐含条件|1 1|2，所以 .0| 2121PF3|2举例 2椭圆 和双曲线 的公共焦点为 ，P 是它们的一个6yx1xya21,F公共点，则 ；21cos分析：由椭圆与双曲线有公共焦点，可得 ，所以 由.又由椭圆的焦点三角623a形的面积知PF 1F2 的面积为 ，由双曲线的焦点三角形的面积知PF 1F2 的面1PFtg积为 ，则 .解得 ，由万能21Pctg 2121ctt21Ptg公式得 .3os21另解：也可以由 （不妨设 ） ，求得 ，21|63FP12|PF1|63F，又由 ，利用余弦定理可得 .2|63PF2|43cos21举例 3双曲线 的两焦点为 是此双曲线上的一点，且满足)1(nyx PF,21 ，则 的面积为.|21PF21P分析：由题可以得出点 P 在椭圆 上，设 ，由焦点三角形的面ynx21积公式可知对于椭圆 ，对于双曲线 ，则必有 ，所以 的2tgSctgS21FP面积等于 1.