1、不等式一不等式的性质：1同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若 ,abcd，则 acbd（若 ,acd，则 acbd） ，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若 0,，则 acbd（若 0,cd，则 ） ；3左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若 ab，则nb或na；4若 0ab， ，则1ab；若 0， ，则1。二不等式大小比较的常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2作商（常用于分数指数幂的代数式） ；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函数的单
2、调性； 7寻找中间量或放缩法 ；8图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。三.需要记忆的常用不等式有：（1）2 21abab(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、c R，22cc（当且仅当 abc时，取等号） ；（3）若 0,m，则ba（糖水的浓度问题） 。四证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1 的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有：211()()nnn五、常用不等式：（1） (当且仅当 ab 时取“=”号),abR2b（2） (当且仅当 ab 时取“=”号)（3） 30,
3、.cac（4）柯西不等式 222()(),abdbdR（5） .例题 1、已知二次函数 满足 ， ，求2()(0)fxa1()2f(1)5f的取值范围。(3)f错解： ， ，()fb(1)fb不等式又1225ab3721ab(3)9fab9(3)0f正解：设 ，则有 ，即(1)(mfnf93()()abmnab9633mnn()6(1)(fff又 ， ， 1()2f(1)5f237剖析：在多次应用不等式样性质的时候，若等号不能同时成立时，会使所求范围扩大，因此在解不等式范围的题时务必要检查等号能否成立。例题 3、已知 ，求 的最大值。703x2()7)fxx错解： 2 311274(3()5x
4、A，即 的最大值为 。4)5fx()fx45正解 1： 243173729)37(239)7() 32 xxxf因此，当且仅当 时， 的最大值为 。142x()f124正解 2：（用导数知识解） ，223()(73fxx，令 ，得 或2()149fx014909x又 ，且当 时， ；当 时，703(,)()fx7(,)3()0f当 时， 的最大值为 。9xfx3724剖析：在应用均值不等式解题时，忽视了均值不等式中等号成立的条件：“一正、二定、三相等”中的第三个条件，因为无论 在 中取何值，等式x0都不成立。273xx例题 4、已知 且 ，关于 的不等式 的解集是 ，解关于 的不等0a11xa
5、0xx式 的解集。log()x不等式错解： 21115log()002axxxx正解：因为关于 的不等式 的解集是 ，所以 ，故aa或10115log() 2xax x 152x原不等式的解集是 。5(,)(,)2剖析：其一、忽视了所给条件的应用和对数的真数大于 ，其二、忽视了分式不等式正确0解法。例题 5、已知： 、 都是正数，且 ， ， ，求 的最小ab1aba1b值。错解： 、 都是正数， 2,2ba，即 的最小值为 4。124ab正解： 、 都是正数，且 ，1a21()ba()ab 5当且仅当 时， 的最小值为 。12a5剖析： 中等号成立的条件是当且仅当 ，而 1a中等号成立的条件是
6、当且仅当 。这与 矛盾，21b b1b因此解题中忽视了条件 ，从而造成错误。a总结：不等式证明的错解的成因及分析策略不等式的证明方法有很多,如:基本不等式法、比较法、综合法、分析法、反证法、判别 式法、换元法、数学归纳法、放缩法、导数法、公式法(向量公式、方差公式、斜率公式等)、数形结合法等等.不等式的证明过程,是常规的证明方法及构造性思维在新的领域中的移植和运用,以及局部的创新.但在实际教学活动中我们发现,学生对于不等式证明上存在着一定的思维障碍,并仍有不少学生沉醉于“题海战术”之中,阻碍着创造性思维能力的发展.例 1设 0,.ab若 是 与 的等比中项，则 的最小值为 _.3ab1ab解析
7、: 因为 ，所以 ，不等式，当且仅当 即 时11()224babaabba12“=”成立,故最小值为 .4练习 1.若直线 经过圆 的圆心,则 的最10(,)axbyab2810xy1ab小值为_.例 2已知关于 的不等式 2xc的解集为 1(,)3,则 2cx的解集为_.解析：由 20axc的解集为 1(,)3知 0a, 为方程 20ac的两个根,由韦达定理得 12,3ca,解得 2c, 2cx即 1x,其解集为 (3).练习 2.已知不等式 的解集为 ,试用 表示不等式20abc|x的解集.20cxb例 3已知 且 ，则 的取值范围为_.134a23ab解析：设 ，()()()()axbyxyxyb,解得23xy512 55(),()12abab ， 即 .913()2932b错解：解此题常见错误是：1a+b3， 2ab4. +得 12a 7. 由得4ba2. +得52b 1， 3b . 25+得 2a+3b .37另:本题也可用线性规划来解.
