第四天(导数).doc

1、导数一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。1 32()fx在区间 1,上的最大值是 2 题型二：利用导数几何意义求切线方程 2求下列直线的方程（1）曲线 3xy在 P(-1,1)处的切线； （2）曲线 2xy过点 P(3,5)的切线；解：（1） 13|k 3 1)1,( x/2/23 上上上上 xyxyP所以切线方程为 0 （2）显然点 P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为 ),(0yxA，则20x又函数的导数为 xy2/，所以过

2、 ),(0yxA点的切线的斜率为 0/2|xyk，又切线过 ),(0yx、P(3,5)点，所以有3520，由联立方程组得， 5 1y上，即切点为（1，1）时，切线斜率为;1xk；当切点为（5，25）时，切线斜率为 02xk；所以所求的切线有两条，方程分别为 2 )5(102)( xyxyy 上上上题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1、函数的单调性(1)设 那么2121,bax、上是增函数；,)()(baxfff 在上是减函数.0在(2)设函数 在某个区间内可导，若 ，则 为增函数；若 ，则y0)(xf)(xf 0)(xf为减函数 .)(xf2、函数 在点 处的导数的几何意义)(xf0

3、函数 在点 处的导数是曲线 在 处的切线的斜率 ，相应)(fy)(,0fP)(0f的切线方程是 .)(0xfy4、导数的运算法则（1） . （2 ） . （3） .()uvuv2()()uv5、会用导数求单调区间、极值、最值 6、求函数 的极值的方法是：解方程 当 时：yfx0fx0fx(1) 如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是极大值；00f(2) 如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是极小值xxfx0fx3.【2012 高考陕西文 9】设函数 f（x）= +lnx 则 （ ）2导数Ax= 为 f(x)的极大值点 Bx= 为 f(x)的极小值点1212Cx=2 为 f(x)的极大值点 Dx

4、=2 为 f(x)的极小值点【解析】 ，令 ，则 ，当 时xfxf)(,ln)( 20)(f2x0x，当 时 ，所以 为 极小值点，故选 D.0xf204.【2012 高考辽宁文 8】函数 y= x2 x 的单调递减区间为1（A） （ 1,1 （B） （0,1 （C.）1，+） （D） （0，+）【解析 故选 B21ln,0,0yxyyxxx由 ， 解 得 -1 ,又 6.【2012 高考辽宁文 12】已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点，点 P,Q 的横坐标分别为 4， 2，过 P,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D)

5、 8【解析】因为点 P， Q 的横坐标分别为 4， 2，代人抛物线方程得 P， Q 的纵坐标分别为 8,2.由所以过点 P， Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4， 2，所以过点 P， Q22,xyxy则 的抛物线的切线方程分别为 联立解得 故点 A 的纵坐标为 48,x1,xy7.【2012 高考新课标文 13】曲线 y=x(3lnx+1)在点 处的切线方程为_)1(【解析】函数的导数为 ，所以在 的切线斜率为4ln3ln3)( xf ),(，所以切线方程为 ，即 .4k)41xyy8.【2012 高考上海文 13】已知函数 的图像是折线段 ，其中 、 、(fABC(0,)1(,)2B，函数

6、（ ）的图像与 轴围成的图形的面积为 (1,0)C()yxf0x【解析】 ，,2,)(xf ,1,2,2xy,1,0围成的面积 = + = 。21210)(dxdS2103123)5(41 （2009 江西卷文）设函数329()6fxa 导数（1）对于任意实数 x， ()fm恒成立，求 的最大值；（2）若方程 ()0f有且仅有一个实根，求 a的取值范围 【解析】：(1) 23963(1)2xx, 因为 (,),fm, 即 9(6)0m恒成立, 所以 812(6)0, 得 4，即 的最大值为34(2) 因为 当 x时, f;当 12x时, ()0f;当 2x时, ()0f;所以 当 1时, ()

7、f取极大值 5()fa; 当 2x时, 取极小值 2f;故当 ()0f 或 (1)f时, 方程 ()0fx仅有一个实根. 解得 2a或5.2.（2009 陕西卷文）已知函数31,xa， 求 ()fx的单调区间； 若()fx在 1处取得极值，直线 y=m 与 ()yfx的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围。【解析】：（1） 22()3,fx当 0a时，对 R，有()0,f当 a时， ()fx的单调增区间为 (,)当 时，由()fx解得 或 x；由()f解得 a，当 0a时， ()fx的单调增区间为 (,)(,)a； ()fx的单调减区间为 (,)a。（2）因为 ()f在 1处取得极大值，所

8、以 230,1.a所以 2(),()3,fxfx由0解得 12。导数由（1）中 ()fx的单调性可知， ()fx在 1处取得极大值 (1)f，在 处取得极小值 1)3f。因为直线 ym与函数 (yx的图象有三个不同的交点，又 (3)9f，(3)17f，结合 x的单调性可知， 的取值范围是 (3,1)。例 2已知函数 )1(2)(2xf判断 f(x)在 x=1 处是否可导？错解： 1)(,)1(lim20 fxx。分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 解：)(21)(2lili00 xxy f(x)在 x=1 处不可导.注： 0x，指 x逐渐减小趋近于 0； x，指 x逐渐增大趋近于 0。总结：函数在某一点的导数，是一个极限值，即 ffx)(lim0，x0，包括x0 ，与x0 ，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.例 3求抛物线 2xy上的点到直线 02yx的最短距离. 解：根据题意可知，与直线 xy2=0 平行的抛物线 y=x2的切线对应的切点到直线 xy2=0 的距离最短，设切点坐标为（ ），那么 1| 0 00xx, 20 切点坐标为 )41,2(，切点到直线 xy2=0 的距离 87|4|d，