第九天(正弦定理、余弦定理).doc

1、正弦定理、余弦定理1三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180 ，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos =sin , sin =cos2CBA2BA（2）面积公式：S= absinC= bcsinA= casinB11S= pr = (其中 p= , r 为内切圆半径)(cpbap2cba（3）射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA2正弦定理： sinisinRA外证明：由三角形面积得11iii22SabcacBsinisinabcABC画出三角形的外接圆及直径易得： 2si

2、nibcR3余弦定理：a 2=b2+c2-2bccosA, ； 2oaAc证明：如图 ABC 中，sin,cs,sCHABHb2222in(co)oaBbAbc当 A、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题4利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinAab 时有两解； a=bsinA 或 a=b 时有 解；absinA 时无解。5利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和

3、它们的夹角，求第三边和其他两角。一、求解斜三角形中的基本元素例 1 中， ，BC3，则 的周长为（ ）ABCABCA Bsin4 36sin34C D3i6iB分析：由正弦定理，求出 b 及 c，或整体求出 bc ，则周长为 3bc 而得到结果cb aHCBA正弦定理、余弦定理解：由正弦定理得： ，3 2sinisini sin()3bcbcbcBCB 得 bc sinBsin( B) 故三角形的周长为：3bc ，故选(D)2236i() 36sinB评注：由于本题是选择题也可取ABC 为直角三角形时，即 B ，周长应为 3 3，故排除(A)、(B)、(C)而选(D)6例 2) 在 ABC 中

4、，已知 ，AC 边上的中线 BD= ，求 sinA 的值cos,364AB5分析：本题关键是利用余弦定理，求出 AC 及 BC，再由正弦定理，即得 sinA解：设 E 为 BC 的中点，连接 DE，则 DE/AB，且 ，设 BEx 奎 屯王 新 敞新 疆3621BDE在 BDE 中利用余弦定理可得： ，EDBcos22，解得 ， （舍去） 奎 屯王 新 敞新 疆xx632852137x故 BC=2，从而 ，即 奎 屯王 新 敞新 疆 又 ，28cos22 BCABAC21A630sinB故 ， 奎 屯王 新 敞新 疆13sin06470sin二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断

5、此三角形的形状例 3 在 中，已知 ，那么 一定是（ ）ABCCBAsicosi2ABA直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形解法 1：由 sin(AB)sinAcosBcosA sinB，nsi即 sinAcosBcosAsin B0，得 sin(AB)0，得 AB故选(B)解法 2：由题意，得 cosB ，再由余弦定理，得 cosB si2ca22acb ，即 a2b 2，得 ab，故选(B)2acb三、 解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题例 4 在 中，若 ， ， ，ABC1205AB7C则 的面积 S_ 奎 屯王 新 敞新 疆分析：本

6、题只需由余弦定理，求出边 AC，再运用面积公式 S ABACsinA 即可解决21正弦定理、余弦定理解： 由余弦定理，得 cosA ，解得 AC3222549110BCAC S ABACsinA ABACsinA ACh，得 hAB sinA ，故选(A)214352122四、求值问题例 5 在 中， 所对的边长分别为 ，BCC、 cba、设 满足条件 和 ，求 和 的值cba、 22bc31Btan分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理解：由余弦定理 ，因此， 2os2bcaA60A在ABC 中， C=180AB=120 B.由已知条件，应用正弦定理 BCsin)12(

7、si31解得 从而,cot2sinsi0co120si B,cot.21tanB五、交汇问题是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体几何(特别是求角与距离) 、解析几何、实际问题等知识交汇例 6 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，已知 a，b，c 成等比数列， .43cos（）求 cotA+cotC 的值； （）设 ，求 ac 的值.32ABC分析：本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理、余弦定理等解：（）由 ,47)(1sin,43cos2B得由 b2=ac 及正弦定理得 .sini2CA则 cosicosincottanti

8、iACAC22si()si147.nB（）由 ，得 cacosB ，由B ，可得 ac2，即 b22 3B3由余弦定理 b2=a2+c22ac+cosB，得 a2+c2=b2+2accosB=5. 3,945)(22 caac易错题解析 例题 1 在不等边ABC 中，a 为最大边，如果 ，求 A 的取值范围。b22错解： 。则bc2220， ，由于 cosA 在（0，180）上为减函数cosAc正弦定理、余弦定理且 cos9090， A又A 为ABC 的内角，0A90 。辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是 为最大边，而错解中只把 a 看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。a正解：由上

9、面的解法，可得 A90 。又a 为最大边，A 60 。因此得 A 的取值范围是（60，90） 。例题 2 在ABC 中，若 ，试判断ABC 的形状。abB2tn错解：由正弦定理，得 sita2即 sinicosinsisin2 0ABBAB， ，。 ， 即i ii22A2B，即 AB 。故ABC 是等腰三角形。辨析：由 ，得 2A2B 。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。sini2正解：同上得 ，2A 或 。s2kB22AkBkZ() 或 。故ABC 为等腰三角形或直角三角形。00Ab， ， ， 则例题 3 在ABC 中，A 60 ，b1， ，求 的值。SABC 3abcCsinisn错解：A60，b1 ， ，又 ，ABC 12cA ，解得 c4。2csin60由余弦定理，得 ab21680oscos13又由正弦定理，得 。sininCB39329， 。abcABsiis142396辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。正解：由已知可得 。由正弦定理，得ca41，。 。236029RAsini abcABCRsinisn239