第二十四章《圆》学案.doc

1、124.1、1圆学案编制人 刘同祥学习目标：【知识与技能】理解圆的定义及弧、弦、半圆、直径等相关概念。【过程与方法】经历动手实践、观察思考、分析概括的学习过程，养成自主探究、合作交流的良好习惯。【情感、态度与价值观】利用我国悠久的数学研究历史，对学生进行爱国主义熏陶；通过圆的完美性，让学生进行美的体验。【重点】与圆有关的概念【难点】圆的概念的理解学习过程:一、自主学习（一）复习巩固1、举出生活中的圆的例子 2、圆既是 对称图形，又是 对称图形。3、圆的周长公式 C= 圆的面积公式 S= （二）自主探究1、圆的定义 ：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转 ，另一个端点 1所形成

2、的图形叫做 固定的端点 O 叫做 ，线段 OA 叫做 以点 O 为圆心的圆，记作“ ” ，读作“ ”决定圆的位置， 决定圆的大小。圆的定义 ：到 的距离等于 的点的集合 22、弦：连接圆上任意两点的 叫做弦直径：经过圆心的 叫做直径3、弧： 任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧半圆：圆的任意一条 的两个端点把圆分成两条弧，每一条 都叫做半圆优弧： 半圆的弧叫做优弧。用 个点表示，如图中 叫做优弧劣弧： 半圆的弧叫做劣弧。用 个点表示，如图中 叫做劣弧等圆：能够 的两个圆叫做等圆等弧：能够 的弧叫做等弧4、 如果四边形 ABCD 是矩形，它的四个顶点在同一个圆上吗？如果在，这个圆的圆心在哪里？O C

3、AB2BA CDOM24、1、2 垂直弦的直径学案学习目标： 编制人 刘同祥【知识与技能】1 理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其他结论2 学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题3 了解拱高、弦心距等概念【过程与方法】经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其他结论的过程，锻炼思维品质，学习证明的方法【情感、态度与价值观】在学生通过观察、操作、变换、探究出图形的性质后，还要求对发现的性质进行证明，培养学生的新意识，良好的运用数学【重点】垂径定理及其推论【难点】垂径定理及其推论学习过程:一、自主学习（一）复习巩固判断：1、直径是弦，弦是直径。 （ ） 2、半圆是弧，弧是半圆。 （

4、）3、周长相等的两个圆是等圆。 （ ） 4、长度相等的两条弧是等弧。 （ ）5、同一条弦所对的两条弧是等弧。 （ ） 6、在同圆中，优弧一定比劣弧长。 （ ）7、请在图上画出弦 CD，直径 AB.并说明_叫做弦；_ 叫做直径.8、在图上画出弧、半圆、优弧与劣弧并填出概念及表示方法.弧：_ _ 半圆：_ 优弧：_ _ 表示方法：_ 劣弧：_ _,表示方法：_ 9、同心圆: _ _ _等圆: _ _. 10、同圆或等圆的半径_.等弧: _ （二）自主探究请同学按下面要求完成下题：如图，AB 是O 的一条弦，作直径 CD，使 CDAB，垂足为 M（1 ）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？圆

5、是 对称图形，其对称轴是任意一条过 的直线 （2 ）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？相等的线段： 3相等的弧： 这样，我们就得到垂径定理：垂直于 的直径平分弦，并且平分弦所对的两条 表达式： 下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径 CD、弦 AB 且 CDAB 垂足为 M求证：AM=BM，弧 AC=BC，弧 AD=BD.分析：要证 AM=BM，只要证 AM、BM 构成的两个三角形全等因此，只要连结OA、OB 或 AC、BC 即可证明：如图，连结 OA、OB，则 OA=OB在 Rt OAM 和 RtOBM 中Rt OAMRtOBM( )AM= 点 和点 关于 CD 对称O 关于 C

6、D 对称当圆沿着直线 CD 对折时，点 A 与点 B 重合，弧 AC 与 BC 重合， AD 与 CD 重合 ， ， 进一步，我们还可以得到结论：平分弦（ ）的直径垂直于 ，并且平分弦所对的两条 表达式： （三） 、归纳总结：1圆是 图形，任何一条 所在直线都是它的对称轴2垂径定理 推论 （四）自我尝试：1、辨析题：下列各图，能否得到 AE=BE 的结论？为什么？2、赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2m，你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗？BA COMDA BCDOE A BOE A BOEDA BOEDREDBAC4C BDOAC

7、 EDO F注：在半径 r,弦 a，弦心距 d,拱高 h 四个量中，任意知道其中的 个量中，利用 定理，就可以求出其余的量。3、如图，两圆都以点 O 为圆心，求证 AC=BD二、教师点拔1、圆是轴对称图形，经过圆心的 都是它的对称轴。由此可得出垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧。平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且 弦所对的两条弧。如果具备垂径定理五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个及其推论，可以概括如下，对于一个圆和一条直线来说，如果一条直线具备 经过圆心， 垂直于弦， 平分弦（不是直径） ，平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备了其他三

8、个。在圆的有关计算和证明中，常作圆心到 的垂线段，这样不仅为利用垂径定理创造条件，而且为构造直角三角形利用勾股定理，沟通已知与未知量之间的关系创造条件。2、本节学习的数学方法是数形结合和转化思想。三、课堂检测 P82 练习 1、2四、课外训练1 P 为 O 内一点，OP=3cm，O 半径为 5cm，则经过 P 点的最短弦长为_； 最长弦长为_2如图 5，OE、OF 分别为O 的弦 AB、CD 的弦心距，如果 OE=OF，那么_ （只需写一个正确的结论）(5) （6）3如图 6，O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=2，EB=6，DEB=30，则弦 CD 长 4.如图，一条公路的转弯处

9、是一段圆弦（即图中 CD，点 O 是 CD 弧所在圆的圆心，其中CD=300m，E 为 CD 弧上一点，且 OECD，垂足为 F，EF=45m，求这段弯路的半径5.AB 和 CD 分别是O 上的两条弦，圆心 O 到它们的距离分别是 OM 和 ON，如果 ABCD，OM和 ON 的大小有什么关系？为什么？BACEDOBACEDOFMMOABCD5BAOBBA AO24、1、3 弧、弦、圆心角学案编制人 刘同祥学习目标：【知识与技能】1 理解圆的旋转不变性，掌握圆心角的概念以及弧、弦、圆心角之间的相等关系，并能运用这些关系解决有关的证明、计算2 弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等

10、、角相等、线段相等的主要依据【过程与方法】经历探索发现圆的旋转不变性，证明圆心角、弦、弧之间的关系【情感、态度与价值观】学生通在探索圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间关系过程中体验其成立的喜悦【重点】弧、弦、圆心角之间的相等关系【难点】定理的证明学习过程:一、自主学习（一）复习巩固（1）圆是轴 图形，任何一条 所在直线都是它的对称轴 （2）垂径定理 推论 （二）自主探究如图所示，AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做 请同学们按下列要求作图并回答问题：如图所示的O 中，分别作相等的圆心角AOB和AOB将圆心角AOB 绕圆旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？相等的弦： ；相

11、等的弧： 理由： 结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的弦也 表达式： 同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，所对的弦也 表达式： 6OBA CE DF 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 ，所对的 也相等表达式： 注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也 。 新|课| 标|第| 一|网（三） 、归纳总结：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的弦也 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，所对的弦也 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 ，所对

12、的 也相等（四）自我尝试：1、如图，在O 中，AB=AC ACB =60 ，求证AOB=BOC=AOC2、如图，AB，CD 是O 的两条弦。（1）如果 AB=CD，那么 ， （2）如果 AB=CD，那么 ， （3）如果AOB=COD，那么 ， （4）如果 AB=CD，OEAB 于点 E，OFCD 于点 F，OE 与 OF 相等吗？为什么？3、如图，AB 是O 的直径，BC=CD=DE，COD=35 ，求AOE 的度数。二、教师点拔 新 课 标 第 一 网1、根据圆的旋转不变性，可以得出关于圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，反过来也成立，也就是说：在同圆或等圆中

13、，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等。特别注意的是：运用本知识点时应注意其成立的条件：“同圆或等圆中” ；本知识点是证明弦相等、弧相等的常用方法。在同圆或等圆中，圆心角和弧间的倍分关系可以互相转化，但OB CAOA BE D C7 与弦之间倍分关系就不能互相转化2、本节学习的数学方法是归纳、化思想。三、课堂检测1、已知O 的半径为 2，弦 AB 所对的劣弧为圆的 ，则弦 AB 的长为 ，AB 的弦心距为 .312、如图 5，在半径为 2 的O 内有长为 的弦 AB,则此弦所对的圆心角 AOB= .23、如图 6，在O 中，弦 AB=CD。求证：（1）

14、DB=AC;（2）BOD=AOC.（7 ）4、如果两个圆心角相等，那么（ ）A这两个圆心角所对的弦相等; B这两个圆心角所对的弧相等C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D以上说法都不对5、在同圆中，圆心角AOB=2COD，则两条弧 AB 与 CD 关系是（ ）A AB=2CD B AB2CD C AB2AC7、 P83 练习 1、2 四、课外训练1、一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_2、圆内接梯形 ABCD 中，ABCD，O 半径为 13，AB=24，CD=10，则梯形面积为 3、如图，在O 中，C、D 是直径 AB 上两点，且 AC=BD，MCAB，NDAB，M、N在O上（1）

15、求证： AM=BN；（2）若 C、D 分别为 OA、OB 中点，则 AM=MN=NB 成立吗？4、如图，AOB=90，C、D 是 AB 三等分点，AB 分别交 OC、OD 于点E、F，求证：AE=BF=CD OBAC图5OA B 图6 BDOAC824、1、4 圆周角学案（1）编制人 刘同祥学习目标：【知识与技能】理解圆周角的概念及其相关性质，并能运用相关性质解决有关问题【过程与方法】经历探索圆周角的有关性质的过程，体会分类、转化等数学思想方法，学会数学地思 考问题【情感、态度与价值观】在探求新知的过程中学会合作、交流体会数学中的分类转化等方法。【重点】圆周角及圆周角定理【难点】圆周角定理的应

16、用学习过程 图 1一、自主学习 （一）复习巩固1、 叫圆心角。2、在同圆或等圆中，圆心角的度数等于它所对的 度数。（二）自主探究1、如图 1，点 A 在O 外，点 B1 、B 2 、B 3在O 上，点 C 在O 内，度量A、B 1 、B 2 、B 3 、C 的大小，你能发现什么？ B 1 、B 2 、B 有什么共同的特征？。归纳得出结论，顶点在_，并且两边_的角叫做圆周角。强调条件：_，_。识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？并说明理由92、如图，AB 为O 的直径，BOC、BAC 分别是 BC 所对的圆心角、圆周角，求出图（） 、（） 、 （）中BAC 的度数图 2通过计算发现：BAC

17、BOC试证明这个结论：3、如图 2，BC 所对的圆心角有多少个？BC 所对的圆周角有多少个？请在图中画出 BC 所对的圆心角和圆周角，并与同学们交流。4、思考与讨论（1）观察上图，在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心 O 有几种位置（2）设 BC 所对的圆周角为BAC，除了圆心 O 在BAC 的一边上外，圆心 O 与BAC 还有哪几种位置关系？ ，对于这几种位置关系，结论BAC BOC 还21成立吗？试证明之通过上述讨论总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 相等，都等于这条弧所对的 表达式： 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定 表达式： （三） 、归纳总

18、结：1圆周角与圆心角的相同点是 ，不同点是 2一条弧所对的圆周角与圆心角有三种位置关系，即圆心角的顶点在圆周角的“ ”， “ ”， “ ”；OCBA10（四）自我尝试：1、如图 1，点 A、B、C、D 在O 上，点 A 与点 D 在点 B、C 所在直线的同侧，BAC=35 0(1)BDC=_,理由是(2)BOC=_,理由是OAB CD图 1 图 2 图 32、如图 2，点 A、B、C 在O 上，(1) 若BAC=60，求BOC=_;(2) 若AOB=90,求ACB=_.3、如图 3，点 A、B、C 在O 上，点 D 在圆外，CD、BD 分别交O 于点 E、F，比较BAC 与 BDC 的大小，并

19、说明理由。二、教师点拔圆周角的性质：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的 。对于这一结论要掌握同一条弧所对的圆周角与圆心角的三种位置关系，即圆心角的顶点在圆周角的“ ”、 “ ”、 “ ”； 在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于这条弧所对的圆心角的 ；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。该结论是证明 相等或 相等的常用方法：“由角找弧” “由弧找角” ； 半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90的圆周角所对的弦是 ，这一结论：一是用来确定圆心，二是为在圆中确定直角、构成垂直关系创造条件，并为在圆中证明直径提供了理论依据。三、课堂检测1、如图 4，点 A、B、C 在O 上，点 D 在O 内，点 A 与点 D 在点 B、C 所在直线的同侧，比较BAC 与BDC 的大小，并说明理由图 4 图 5 图 62、如图 5，AC 是O 的直径，BD 是O 的弦，ECAB，交O 于 E。图中哪些与 BOC 相21等？请分别把它们表示出来.3、如图 6，在O 中，弦 AB、CD 相交于点 E，BAC=40，AED=75，求ABD 的度数.