线性代数公式必记[1].doc

1、1线 性 代 数 公 式 必 记1、 行 列 式1. 行列式共有 个元素，展开后有 项，可分解为 行列式；n2n!n2n2. 代数余子式的性质：、 和 的大小无关；ijAija、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 ；A3. 代数余子式和余子式的关系： (1)(1)ij ijiji ijiMAM 4. 设 行列式 ：nD将 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 ，则 ；1D()21nD将 顺时针或逆时针旋转 ，所得行列式为 ，则 ；90 2(1)2将 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 ，则 ；33将 主副角线翻转后，所得行

2、列式为 ，则 ；D445. 行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积 ；(1)2n、上、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积； 、 和 ：副对角元素的乘积 ； (1)2n、拉普拉斯展开式： 、AOCABB(1)mnOABC:、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6. 对于 阶行列式 ，恒有： ，其中 为 阶主子式；nA1()nknESkS7. 证明 的方法：0、 ；、反证法；、构造齐次方程组 ，证明其有非零解；0Ax、利用秩，证明 ；()rn、证明 0 是其特征值；2、 矩 阵1. 是 阶可逆矩阵：An（是非奇异矩阵）；0（是满秩矩阵）(

3、)r的行（列）向量组线性无关；齐次方程组 有非零解；0x， 总有唯一解；nbRAb与 等价；E2可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为 0；是正定矩阵；T的行（列）向量组是 的一组基；nR是 中某两组基的过渡矩阵；nR2. 对于 阶矩阵 ： 无条件恒成立；A*AE3. 1*111*()()()TTA *11TBBB4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 、 可逆：若 ，则：12sA、 ；12、 ；1121sA、 ；（主对角分块）11OB、 ；（副对角分块）1A、 ；（拉普拉斯）11CCBOB、 ；（拉普拉斯）111AOA

4、3、 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组1. 一个 矩阵 ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的： ；mn rmnEOF等价类：所有与 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；A对于同型矩阵 、 ，若 ；B()rAB:2. 行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非 0 元素必须为 1；、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、若 ，则 可逆，且 ；(,)(,)rAEX:A1XA、对矩阵 做初等行变化，当 变为 时， 就变成 ，即： ；BEB1A 1(

5、,),)cBEA、求解线形方程组：对于 个未知数 个方程 ，如果 ，则 可逆，且 ；nxb(,)rbx:1xb4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；3、 ，左乘矩阵 ， 乘 的各行元素；右乘， 乘 的各列元素； 12nAiiA、对调两行或两列，符号 ，且 ，例如： ；(,)Eij1(,)(,)ijEij1、倍乘某行或某列，符号 ，且 ，例如： ；()ik1()()iki 1(0)kk、倍加某行或某列，符号 ,且 ，如： ；()Eijk1()()ijEijk1(0)k5. 矩阵秩的基本性质：、 ；0()min(,)rA、

6、；T、若 ，则 ；B:()r、若 、 可逆，则 ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）PQ()()rPAQrPA、 ；（）ax(),(,AB、 ；（）)rr、 ；（）()min(,B、如果 是 矩阵， 是 矩阵，且 ，则：（）ns0A、 的列向量全部是齐次方程组 解（转置运算后的结论）；X、 ()rA、若 、 均为 阶方阵，则 ；B()()rBrn6. 三种特殊矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量） 行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；、型如 的矩阵：利用二项展开式；0acb二项展开式： ；01 10() nnnmnnmnCabCababCab 注：、 展开后有 项；ab、 0(1

7、)()!123() :m nnmCn、组合的性质： ；11 0 2 nnmmrnrrn nCCCC、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：、伴随矩阵的秩： ；*()()110nrArAn4、伴随矩阵的特征值： ；*1*(, )AAXX、 、*1A1*n8. 关于 矩阵秩的描述：、 ， 中有 阶子式不为 0， 阶子式全部为 0；（两句话）()rn1n、 ， 中有 阶子式全部为 0；、 ， 中有 阶子式不为 0；()A9. 线性方程组： ，其中 为 矩阵，则：xbAmn、 与方程的个数相同，即方程组 有 个方程；mxb、 与方程组得未知数个数相同，方程组 为 元方程；nAn10. 线性方程组 的

8、求解：、对增广矩阵 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；B、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由 个未知数 个方程的方程组构成 元线性方程：nmn、 ；121122212nmnmaxaxb 、 （向量方程， 为 矩阵， 个方程， 个未知数）112122nmmmaaxbAx Amnn、 （全部按列分块，其中 ）；1212nxaa 12nb、 （线性表出）12nxx、有解的充要条件： （ 为未知数的个数或维数）(),)rAn4、 向 量 组 的 线 性 相 关 性1. 个 维列向量所组成的向量组 ： 构成 矩阵 ；mn12,m n12(,)mA个 维行向量所组成的

9、向量组 ： 构成 矩阵 ；B12,TT 2TTmB含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. 、向量组的线性相关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组）0Ax、向量的线性表出 是否有解；（线性方程组）b、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程）XB3. 矩阵 与 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 和 同解；( 例 14)mnAlB 0AxB10P4. ；( 例 15)()Trr10P5. 维向量线性相关的几何意义：、 线性相关 ；、 线性相关 坐标成比例或共线（平行）；,5、 线性相关 共面；,6. 线性相关与无关的两套定理：若 线性相关，则 必线性相关；12,s 121,s若

10、 线性无关，则 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若 维向量组 的每个向量上添上 个分量，构成 维向量组 ：rAnrnB若 线性无关，则 也线性无关；反之若 线性相关，则 也线性相关；（向量组的维数加加减减）BBA简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组 （个数为 ）能由向量组 （个数为 ）线性表示，且 线性无关，则 (二版 定理 7)；rs rs4P向量组 能由向量组 线性表示，则 ；（ 定理 3）()rA86P向量组 能由向量组 线性表示A有解；XB（ 定理 2）(),)r85P向量组 能由向量组 等价 （ 定理 2 推论）()(,)rBr858. 方阵 可逆

11、存在有限个初等矩阵 ，使 ；12,lP 1lAP、矩阵行等价： （左乘， 可逆） 与 同解rAB0xB、矩阵列等价： （右乘， 可逆）；cQ、矩阵等价： （ 、 可逆）；9. 对于矩阵 与 ：mnl、若 与 行等价，则 与 的行秩相等；、若 与 行等价，则 与 同解，且 与 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；AB0AxBAB、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵 的行秩等于列秩；10. 若 ，则：msnC、 的列向量组能由 的列向量组线性表示， 为系数矩阵；、 的行向量组能由 的行向量组线性表示， 为系数矩阵；（转置）BTA11. 齐次方程组 的解一定是 的解，考试中可以直接作为定理使

12、用，而无需证明；0x0Ax、 只有零解 只有零解；AB、 有非零解 一定存在非零解；12. 设向量组 可由向量组 线性表示为：（ 题 19 结论）12:,nrrb 12:,nssa 10P（ ）12(,)(,)rbK BA其中 为 ，且 线性无关，则 组线性无关 ；（ 与 的列向量组具有相同线性相关性）KsB(r（必要性： ；充分性：反证法）()(,),)rBrAKr注：当 时， 为方阵，可当作定理使用；s13. 、对矩阵 ，存在 ， 、 的列向量线性无关；（ ）mnnmQmE(AQ87P、对矩阵 ，存在 ， 、 的行向量线性无关；Pn)rnP14. 线性相关12,s存在一组不全为 0 的数

13、，使得 成立；（定义）12,sk 120skk有非零解，即 有非零解；1212(,)sx 0Ax，系数矩阵的秩小于未知数的个数；12(,)sr15. 设 的矩阵 的秩为 ，则 元齐次线性方程组 的解集 的秩为： ；mnArn0xS()rSnr616. 若 为 的一个解， 为 的一个基础解系，则 线性无关；（ 题*Axb12,nr 0Ax*12,nr 1P33 结论）5、 相 似 矩 阵 和 二 次 型1. 正交矩阵 或 （定义），性质：TE1TA、 的列向量都是单位向量，且两两正交，即 ；A 1(,12,)0Tij ijan、若 为正交矩阵，则 也为正交阵，且 ；1T A、若 、 正交阵，则

14、也是正交阵；B注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2. 施密特正交化： 12(,)ra；1ba122,b: ;1211,rrrr rababb :3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. 、 与 等价 经过初等变换得到 ；ABAB， 、 可逆；PQ， 、 同型；()r、 与 合同 ，其中可逆；TC与 有相同的正、负惯性指数；xx、 与 相似 ；AB1AB5. 相似一定合同、合同未必相似；若 为正交矩阵，则 ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；CT:6. 为对称阵，则 为二次型矩阵；7. 元二次型 为正定：nTx的正惯性指数为 ；An与 合同，即存在可逆矩阵 ，使 ；ECTAE的所有特征值均为正数；的各阶顺序主子式均大于 0；(必要条件 )0,ia