第二章《因式分解》教案.doc

1、第二章分解因式教案1第二章 分解因式第一课时 2.1 分解因式一、教学目标（一）教学知识点使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系。（二）能力训练要求通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力。（三）情感与价值观要求通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系。二、教学重点：1.理解因式分解的意义；2.识别分解因式与整式乘法的关系。教学难点：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.三、教学方法：观察讨论法四、教学手段：讲练结合五、教学过程：.创设问题情境,引入新课师大家会计算（a+b） （ab）吗？生会.（a+b）

2、 （ab）= a2b 2.师对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的.从式子（a+b）（ab）=a 2 b2 中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即 a2b 2=（a+ b） （a b）是否成立呢？生能从等号右边推出等号左边，因为多项式 a2b 2 与（a+b） （ab）既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立.师很好，a 2b 2=（a+ b） （ab）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题.讲授新课1.讨论 99399 能被 100 整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.生99 399 能被 100 整除.因为 993

3、99=9999299=99（99 21）=999800=9998100其中有一个因数为 100，所以 99399 能被 100 整除.师99 399 还能被哪些正整数整除？生还能被 99，98,980,990,9702 等整除.师从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式.2.议一议你能尝试把 a3a 化成 n 个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.师大家可以观察 a3a 与 99399 这两个代数式.生a 3a=a（a 21）= a（a1） （a+1 ）3.做一做（1）计算下列各式：（m+4） （m4）=_;（y3） 2=_;3x（x1）=_;m（a+b+ c） =

4、_;a（a+1） （a1）=_.生解：（m+4） （m4）=m 216;（y3） 2=y26y +9;第二章分解因式教案23x（x1）=3x 23x;m（a+b+ c） =ma+mb+mc;a（a+1） （a1）= a（a 21）= a3a.（2）根据上面的算式填空：3x 23x=（ ） （ ）;m 216=（ ） （ ）;ma+ mb+mc=（ ） （ ）;y 26y+9= （ ） 2.a 3a=（ ） （ ）.生把等号左右两边的式子调换一下即可.即：3x 23x=3x（x1）;m 216=（m+4 ） （m4）;ma+ mb+mc=m（a+b+c ）;y 26y+9= （ y3） 2;a

5、3a=a（a 21）= a（a+1） （a1）.师能分析一下两个题中的形式变换吗？生在（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式.师在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（factorization）.4.想一想由 a（a+1） （a1）得到 a3a 的变形是什么运算？由 a3a 得到 a（a+1） （a1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？生由 a（a+1） （a1）

6、得到 a3a 的变形是整式乘法，由 a3a 得到 a（a+1）（a1）的变形是分解因式，这两种过程正好相反.生由（a+b） （ab）= a2b 2 可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2b 2=（a+b） （ab）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反.师非常棒.下面我们一起来总结一下.如：（1）m（a+b+ c）= ma+mb+mc（2）ma+mb+ mc=m（a+b+c ）联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解

7、.即 ma+mb+mc m（a+b+c）.所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形.5.例题投影片（2.1 A）下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？（1）4a（a+2b）=4 a2+8ab;（2）6ax3ax 2=3ax（2x）;（3）a 24=（a+2 ） （a2）;（4）x 23x+2=x（x3）+2.生 （1）左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法，而不是因式分解；（2）左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；（3）和（2）相同，是因式分解；（4）是因式分解.第二章分解因式教案3师大家认可吗？生第（4）题不对，因为虽然 x23

8、x=x （x3） ，但是等号右边 x（x3）+2 整体来说它还是一个多项式的形式，而不是乘积的形式，所以（4）的变形不是因式分解.课堂练习连一连解：.课时小结本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.课后作业习题 2.11.连一连解：2.解：（2） 、 （3）是分解因式.3.因 19992+1999=1999（1999+1）=19992000，所以 19992+1999 能被 1999 整除，也能被 2000 整除.（2）因为 16.9 +15.1 81= （16.9+15.1）81= 32=4所以 16.9 +15.1

9、 能被 4 整除.814.解：当 R1=19.2,R2=32.4,R3=35.4,I=2.5 时，IR1+IR2+IR3=I（R 1+R2+R3）=2.5（19.2+32.4+35.4）=2.587=217.5.活动与探究已知 a=2,b=3,c=5.求代数式 a（a+bc）+b（a+bc）+c（cab）的值.解：当 a=2,b=3,c=5 时，a（a+bc）+b（a+ bc）+ c（cab）=a（a+bc）+b（a+bc ）c（a+bc）=（a+ bc） （a+ bc）=（2+35） 2=0六、板书设计2.1 分解因式一、1.讨论 99399 能被 100 整除吗？2.议一议第二章分解因式教

10、案43.做一做4.想一想（讨论整式乘法与分解因式的联系与区别）5.例题讲解二、课堂练习三、课时小结四、课后作业七、教学反思：第二课时 2.2.1 提公因式法（一）一、教学目标（一）教学知识点让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.（二）能力训练要求通过找公因式，培养学生的观察能力.（三）情感与价值观要求在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用.二、教学重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来。教学难点：让学生识别多项式

11、的公因式.三、教学方法：独立思考合作交流法.四、教学手段：讲练结合五、教学过程：.创设问题情境,引入新课投影片（2.2.1 A）一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为 ， ， ，宽都是 ,求这块场432721地的面积.解法一：S= + + = + + =221432178解法二：S= + + = （ + + ）= 4=24234721师从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法.新课讲解1.公因式与提公因式法分解因式的概念.师若

12、将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为 a、b、c，宽都是 m，则这块场地的面积为 ma+mb+mc,或 m（a+b+c） ，可以用等号来连接.ma+mb+mc=m（ a+b+c）从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？生等式左边的每一项都含有因式 m，等式右边是 m 与多项式（ a+b+c）的乘积，从左边到右边是分解因式.师由于 m 是左边多项式 ma+mb+mc 的各项 ma、mb 、mc 的一个公共因式，因此m 叫做这个多项式的各项的公因式 .由上式可知，把多项式 ma+mb+mc 写成 m 与（a+b+c）的乘积的形式，相当

13、于把公因式 m 从各项中提出来，作为多项式 ma+mb+mc 的一个因式，把 m 从多项式ma+mb+mc 各项中提出后形成的多项式（ a+b+c） ，作为多项式 ma+mb+mc 的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.2.例题讲解例 1将下列各式分解因式：第二章分解因式教案5（1）3x+6;（2）7x 221x;（3）8a 3b212ab 3c+abc（4）24x 312x 2+28x.分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.师请大家互相交流.生解：（1）3x+6=3 x+32=3（x+2）;（2）7x 221x=7x x7x3=7x（x3）;（3）8a 3b212ab 3c

14、+abc=8a2bab12b 2cab+abc=ab（8a 2b12b 2c+c）（4）24x 312x 2+28x=4x（6x 2+3x7）3.议一议师通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤.生首先找各项系数的最大公约数，如 8 和 12 的最大公约数是 4.其次找各项中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有 ab,相同字母的指数取次数最低的.4.想一想师大家总结得非常棒.从例 1 中能否看出提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？生提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.课堂练习（一）随堂练习1.写出下列多项式各项的公因式.（1）ma+

15、mb （m）（2）4kx8ky （4k）（3）5y 3+20y2 （5y 2）（4）a 2b2ab 2+ab （ab）2.把下列各式分解因式（1）8x72=8（x 9）（2）a 2b5ab=ab（a5）（3）4m 36m 2=2m2（2m3）（4）a 2b5ab+9b= b（a 25a+9 ）（5）a 2+abac=（a 2ab+ac）=a（ab+c）（6）2x 3+4x22x =（2x 34x 2+2x）=2x（x 22x+1 ）（二）补充练习投影片（2.2.1 B）把 3x26xy+x 分解因式生解：3x 26xy+x=x （3x6y）师大家同意他的做法吗？生不同意.改正：3x 26xy+

16、x=x （3x 6y+1）师后面的解法是正确的，出现错误的原因是受到 1 作为项的系数通常可以省略的影响，而在本题中是作为单独一项，所以不能省略，如果省略就少了一项，当然不正确，所以多项式中某一项作为公因式被提取后，这项的位置上应是 1，不能省略或漏掉.在分解因式时应如何减少上述错误呢？将 x 写成 x1,这样可知提出一个因式 x 后，另一个因式是 1.课时小结1.提公因式法分解因式的一般形式，如：ma+mb+mc=m（ a+b+c）.这里的字母 a、b、c、m 可以是一个系数不为 1 的、多字母的、幂指数大于 1 的单项式.第二章分解因式教案62.提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式

17、的公因式.3.找公因式的一般步骤（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.（4）所有这些因式的乘积即为公因式.4.初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘 1 的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生.5.公因式相差符号的，如（xy）与（y x）要先统一公因式，同时要防止出现符号问题.课后作业：习题 2.2.活动与探究利用分解因式计算：（1）3 20043 2003; （ 2） （2） 101+（2） 100.解：（1）3 20043 2003 （2） （

18、2） 101+（2） 100=32003（31） =（2） 100（2+1 ）=320032 =（2） 100（1）=232003 =（2） 100=2 100六、板书设计2.2.1 提公因式法（一）一、1.公因式与提公因式法分解因式的概念2.例题讲解（例 1）3.议一议（找公因式的一般步骤）4.想一想二、课堂练习1.随堂练习2.补充练习三、课时小结四、课后作业参考练习一、把下列各式分解因式：1.2a4b; 2.ax2+ax4a; 3.3ab23a 2b; 4.2x3+2x26x;5.7x2+7x+14; 6.12a 2b+24ab2; 7.xyx 2y2x 3y3; 8.27x3+9x2y.

19、七、教学反思：第三课时 2.2.2 提公因式法（二）一、教学目标（一）教学知识点进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法.（二）能力训练要求进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.（三）情感与价值观要求通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点.二、教学重点：能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式.教学难点：准确找出公因式，并能正确进行分解因式.三、教学方法：类比学习法四、教学手段：讲练结合五、教学过程：第二章分解因式教案7.创设问题情境,引入新课师上节课我们学习了用提公因式法分解因式，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有

20、的多项式分解以后都是同样的结果呢？本节课我们就来揭开这个谜.新课讲解一、例题讲解例 2把 a（x3）+2b（x3）分解因式.分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即 a（x3）与 2b（x3） ，每项中都含有（x3）,因此可以把（x 3）作为公因式提出来.解：a（x3）+2b（x 3）=（x3） （a+2b）师从分解因式的结果来看，是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢？生不是，是两个多项式的乘积.例 3把下列各式分解因式:（1）a（xy）+b（y x）;（2）6（mn） 312（nm） 2.分析：虽然 a（xy ）与 b（y x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（xy）与（y x ）是互为

21、相反数，如果把其中一个提取一个“”号，则可以出现公因式，如 yx= （x y）.（m n） 3 与（nm） 2 也是如此.解：（1）a（xy ）+b（y x）=a（xy）b （x y）=（xy） （a b）（2）6（mn） 312（nm） 2=6（mn） 3 12（mn） 2=6（mn） 3 12（mn） 2=6（mn） 2（ mn2）.二、做一做请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“”号，使等式成立:（1）2a=_（a2）;（2）yx=_ （x y）;（3）b+a=_（a+b ）;（4） （ba） 2=_（ab） 2;（5）mn=_ （ m+n）;（6）s 2+t2=_（s 2t 2）.

22、解：（1）2a=（a2）;（2）yx=（ xy）;（3）b+a=+（a+b）;（4） （ba） 2=+（ab） 2;（5）mn=（m+ n）;（6）s 2+t2=（s 2t 2）.课堂练习把下列各式分解因式：解：（1）x（a+b）+y（a+b）=（a+ b） （x+ y）;（2）3a（xy）（x y）=（xy） （3a 1）;（3）6（p+q） 212（q+ p）=6（p+q） 212（p+q）=6（p+q） （p+q2）;（4）a（m2）+b（2m）=a（m2） b（m2）=（m2） （a b）;（5）2（yx） 2+3（x y）=2（xy） 2+3（x y ）第二章分解因式教案8=2（xy

23、） 2+3（x y ）=（xy） （2x2y+3 ）;（6）mn（mn）m（nm） 2=mn（m n）m（mn） 2=m（ m n） n（mn） =m（ m n） （2nm）.补充练习把下列各式分解因式解：1.5（xy） 3+10（y x） 2=5（xy） 3+10（x y ） 2=5（xy） 2（ xy）+2 =5（xy） 2（ xy+2 ）;2. m（ab）n（ba）=m（ a b）+ n（ab）=（ab） （m+n）;3. m（mn）+n（nm）=m（ m n）n（mn）=（m n） （mn）= （mn） 2;4. m（mn） （pq）n（nm） （pq）= m（m n） （pq）+ n

24、（mn） （pq）=（m n） （p q） （m + n）;5.（ba） 2+a（ab）+ b（ba）=（ba） 2a（ba）+ b（ba）=（ba） （ba）a+ b=（ba） （baa+ b）=（ba） （2b2a）=2（ba） （ba）=2（ba） 2.课时小结本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的分解因式.课后作业习题 2.3.活动与探究把（a+bc） （ab+c）+（ba+c）（bac）分解因式.解：原式=（a+bc） （ab+c）（ba+c） （ab+c）=（ab+c） （a+ bc）（b

25、a+c） =（ab+c） （a+ bcb+ ac）=（ab+c） （2a2c）=2（ab+c） （ac）六、板书设计2.2.2 提公因式法（二）一、1.例题讲解2.做一做二、课堂练习三、课时小结四、课后作业参考练习把下列各式分解因式：1.a（xy）b（y x）+c（xy）; 2.x2y3xy 2+y3;3.2（xy） 2+3（y x）; 4.5（mn） 2+2（nm） 3.七、教学反思：第二章分解因式教案9第四课时 2.3.1 运用公式法（一）一、教学目标：（一）教学知识点1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；2.使学生掌握用平方差公式分解因式.3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑

26、的方法，再考虑用平方差公式分解因式.（二）能力训练要求1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.2.训练学生对平方差公式的运用能力.（三）情感与价值观要求在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.二、教学重点：让学生掌握运用平方差公式分解因式.教学难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.三、教学方法：引导自学法四、教学手段：多媒体 五、教学过程：.创设问题情境,引入新课师在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若

27、各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法公式法.新课讲解师1.请看乘法公式（a+b） （ab）= a2b 2 （1）左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是a2b 2=（a+b） （ab） （2）左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？生符合因式分解的定义，因此是因式分解.师对，是利

28、用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.2.公式讲解师请大家观察式子 a2b 2,找出它的特点.生是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.师如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.如 x216=（x） 24 2=（x +4） （x4）.9 m 24n 2=（3 m ） 2（2n） 2=（3 m +2n） （3 m 2n）3.例题讲解例 1把下列各式分解因式：（1）2516x 2;第二章分解因式教案10（2）9a 2 b2.4

29、1解：（1）2516x 2=52（4x） 2=（5+4x） （54x）;（2）9a 2 b2=（3a） 2（ b） 21=（3a+ b） （3a b）.例 2把下列各式分解因式:（1）9（m+n） 2（mn） 2;（2）2x 38x.解：（1）9（m +n） 2（mn） 2=3（m + n） 2（mn） 2=3（m + n）+（mn） 3（m +n）（m n） =（3 m +3n+ mn） （3 m +3nm +n）=（4 m +2n） （2 m +4n）=4（2 m + n） （m +2n）（2）2x 38x=2x （x 24）=2x（x+2） （x 2）说明：例 1 是把一个多项式的两项都

30、化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例 2 的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例 2 的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.补充例题投影片（2.3.1 A）判断下列分解因式是否正确.（1） （a+b） 2c 2=a2+2ab+b2c 2.（2）a 41=（a 2） 21= （a 2+1）（a 21）.生解：（1）不正确.本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未

31、对所给多项式进行因式分解.（2）不正确.错误原因是因式分解不到底，因为 a21 还能继续分解成（a+1） （a1）.应为 a41=（a 2+1） （a 21）= （a 2+1） （a+1） （a1）.课堂练习（一）随堂练习1.判断正误解：（1）x 2+y2=（x +y） （x y）; （）（2）x 2y 2=（ x+y） （xy）; （）（3）x 2+y2=（x +y） （xy）; （）（4）x 2y 2=（x +y） （xy）. （）2.把下列各式分解因式解：（1）a 2b2m 2=（ab） 2m 2=（ab+ m ） （abm）;（2） （ma） 2（n+b） 2=（ma）+（n+b） （ma）（n+b） =（m a+n+b） （manb）;（3）x 2（a+bc ） 2=x+ （ a+b c） x（a+bc） =（x+ a+bc） （xab+c）;（4）16x 4+81y4