第六讲：函数专题(四).doc

1、第六讲：函数专题（四）1第六讲：函数专题（四）函数的奇偶性、对称性、单调性、周期性知识点回顾：一、函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数（2） 奇函数一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判断函数奇偶性的步骤：1）首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；2）确定 f(x)与 f(x)的关系；3）作出相应结论：若 f(x) =

2、f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是奇函数注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)f(x)=0 或 f(x) f(-x)=1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .例 1：设函数 判断它的奇偶性并且求证： 21)(xf)(1xf二、函数的对称性我们知道：偶函数关于 y（即 x=0）轴对称，偶函数有关系式 )(xff奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)x

3、上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数 关于 对称)(xfya(aff也可以写成 或 )(af)2)xx)2()xaf简证：设点 在 上，通过 可知，,1(fyff，即点 上，而点 与)2(1xfxfy (,1y也 在 ,1y点 关于 x=a 对称。得证。),(1若写成： ，函数 关于直线bfaf)(xfy对称22)()(xx（2）函数 关于点 对称fy),(abxaff2)()(或 bxf2上 述 关 系 也 可 以 写 成 f)(简证：设点 在 上，即 ，通过),(1xy1fy第六讲：函数专题（四）2可知， ，所以bxfaf2)(2( bxfaf2)(11，所以点 也在

4、上，11y),1y)(xf而点 与 关于 对称。得证。,y),若写成： ，函数 关于点 对称cxff()( )(xf)2,(ca（3） 函数 关于点 对称:假设函数关于 对称，即关于任一个ybyby值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不x可能关于 对称。但在曲线 c(x,y)=0，则有可能会出现关于 对by称，比如圆 它会关于 y=0 对称。04),(2xc两个函数的图象对称性1、 )(xfy与 xf关于 X 轴对称。换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。)()(gy)(xgf0y2、 )(f与 f关于 Y 轴对称。换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。

5、)(x)()(fx3、 )(fy与 2af关于直线 ax对称。换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。gy2xgfa4、 与 关于直线 对称。xf)(fy换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。af)(y5、 关于点(a,b)对称。2)(xafbyf与换种说法： 与 若满足 ，即它们关于点(a,b)()(gbxgxf2)()对称。6、 与 关于直线 对称。)(xafy)(by2ba三、函数的单调性(局部性质)1.函数的单调性（1）增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，

6、那么就说f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间.如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x 2，当 x1x2 时，都有f(x1) f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：任取 x1，x 2D，且 x1x2； 1第六讲

7、：函数专题（四）3作差 f(x1)f(x 2)； 2变形（通常是因式分解和配方） ； 3定号（即判断差 f(x1)f(x 2)的正负） ； 4下结论（指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性） 5(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x)， y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 例 2：判断函数 的单调性；13xy例 3：求下列函数的单调区间： 23yx 23yx 261yx四、函数的周期性对于函数 y=f(x),如果存在

8、一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数 y=f(x)叫做周期函数，T 叫做函数的周期.如果 T 为函数的一个周期，那么 T 的整数倍nT 也是函数的周期；如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期.注意：1） 周期函数不一定有最小正周期；2） R()()1() .0,(.fxffxTf对 于 定 义 域 为 的 函 数 ， 除 外 ， 等 关 系 ， 也 是 周 期 性 的主 要 特 征 且 是 的 一 个 周 期3）函数的奇偶性、周期性、对称性这三个性质是相互联系的，根据其中的两个，往往可以求出另外一

9、个.第六讲：函数专题（四）4重要结论：1、例 1：2、例 2：例 3：2()|.yfxab若 函 数 既 关 于 直 线 对 称 ，又 关 于 直 线 对 称 ， 那 么 函 数为 周 期 函 数 ， 周 期 为4(),()|.fxaAbcfx若 函 数 既 关 于 直 线 对 称 ，又 关 于 点 对 称 ， 则 函 数为 周 期 函 数 ， 周 期 为(),()16,.fRf已 知 函 数 为 上 的 偶 函 数 ， 且 关 于直 线 对 称 ， 当 时 ， ，求 时 ， 的 解 析 式()1,2(0).fggf已 知 函 数 为 偶 函 数 ， 为 奇 函 数 ，且 ， 求的 值 1()(223,(06);)09,4359.fxffR（ ） 已 知 且 求已 知 对 一 切 都 成 立 ， 且， 求