自动控制第四章.doc

1、根轨迹分析法：研究 s 平面上根的位置随参数变化的 规律及其与系统性能的关系是根轨迹分析法的主要内容。一种适合于高阶系统分析的方法。一、根轨迹设系统的结构如图：闭环传递函数： rKssRC2)(闭环特征方程式为 0r rKs12.1改 变 Kr的值，求得相应的闭环特征根值，并列表如 下。在 s 平面上绘制出闭环根随 Kr值变化的轨迹 如图所示：可得出以下几点：（1）位于 左半平面上的特征根对应着稳定极点；位于 右半平面上的根s sKr S1 S20 0 -21 -1 -12 -1+j -1-j -1+j -1-j j0-1-2 S1S2 Kr Kr=1Kr_ Krs(s+2)C(s)R(s)第

2、四章 根轨迹分析法第一节 根轨迹的基本概念对应着不稳定极点；位于虚轴上的根对应着临界极点。（2）0Kr1 时，系统有两个不相等的 实数根，呈 过阻尼状 态。（3）当 Kr=1 时，特征根为两个相等的实数根，系 统呈临界阻尼状态 。（4）1Kr时，特征根为两个复数根，系统呈欠阻尼状态。二、根轨迹方程设系统的结构如图，系统的闭环传递函数为 )(1)(sHGsRC开环传递函数的一般表达式为 njjmiirpszKsHG1)()(闭环特征方程式为 0)(1s)(定义根轨迹方程为： 1)(1njjmiirpszK幅值方程： 或 )(1njjmiirpsz rnjjmiiKpsz1)(1相角方程： )2(

3、)()(11 kpszsnjjmii )2,10(k_ C(s)R(s)H(s)G(s)一、根轨迹的对称性和分支数1根轨迹对称于实轴闭环特征根形成的根轨迹对称于实轴。2n 阶 系统有 n 条根轨迹当 变化时，n 个根也就形成 n 条根轨迹。0rK二、根轨迹的起点和终点即 0r njjmiipsz1)( 0)(1njjpsjpsn 条根轨迹起始于开 环传递 函数的 n 个极点。rK0)(1njjmiipsz0)(1miizsizsm 条根轨迹终止于开环传递函数的零点。n-m 条根轨迹终止于无穷远处s 01)(1mnnjjiispzj0s1s2s3s4s5s6s7第二节 根轨迹的基本特征及作图方法

4、例 已知系统的开环传递 函数为 ，试确定系统)2(1)(sKsHGr的根轨迹图。解 系统的开环零、极点： ， ， ，01p1223p， jzjz根轨迹如图所示。三、实轴上的根轨迹段设系统的开环零、极点分布如图所示：其中， ， ，iizs)(1 jjps)(1，243=4121)()(jjiipszs 432121 = =2180符合根轨迹相角方程，故 是根轨迹上的点。 s当区段右侧的开环零、极点数目之和为奇数时该区段是根轨迹段。例 已知系统的开环传递函数为 ，试画出该系统的根)1()(TsKHsGr轨迹图。解 1） T开环零、极点分布如图所示。2） ，开环零、极点分布如图所示。T1-1-1-2

5、 0p1jp2p3z1z2j0-1/T -1/p1p2 z1021 p1jp2p3z1z2p41234s10p1p2z1-1/T-1/j四、根轨迹的渐近线渐近线与实轴的夹角： mnk)12(3,210k渐近线与实轴的交点： nzpijj11例 已知系统的开环传递函数为 ，试绘制)2(1)(sKsHGr系统的根轨迹图。解 1）开环零、极点为 ， ， 01p23p2）实轴上的根轨迹段 段和 段233）根轨迹的渐近线 mn= )1(k180,632五、根轨迹的分离点和会合点根轨迹离开实轴进入复平面的点称为分离点根轨迹离开复平面进入实轴的点称为会合点设系统 )()(sABKHsGr0)(sABr重根必

6、须同时满足以下两式 )(sr0Kr=622-1-2p1p3 600p2j0)()(dsABKr整理后 )()( ssA例 已知系统开环传递函数 ，绘制系统的根轨迹图。)2(13HGr解 1）开环零、极点为 ， ， 1p21z2）实轴上的根轨迹段为 段和 段3）根轨迹的渐近线 mn= 1)(k804）分离点和会合点23)(2ssA3)(sB32)( sA1)(sB) 076解方程得 .1s4.2s为根轨迹的分离点， 为根轨迹的会合点。1s2例 求例 4-3 中根轨迹的分离点解 )()( sBAs0)263(2s可解得 4.0157.12位于根轨迹上，所以是根轨迹的分离点。而 没有位于根轨迹上，所

7、1s 2s以应该 舍去。六、根轨迹的出射角和入射角出射角：根轨迹在复数起点处的切线与正实轴的夹角。设系统的开环零、极点分布如图所示：的出射角为 ， 为根轨迹上的一点，3p31s0-1-2-3p1p2z1-1.6-4.4j0p3p4p1p2z1 21s1 j134则 应满足相角方程 1s 411 )12()()(jjii kpsz)12()()413121 kpspss当 时，1s3p)(3s)()()()( 4323 kzp)( 4321313 pppz 由此可推得出射角的一般表达式)()(11nljjlmiill zp nljmi11入射角：根轨迹在复数终点处的切线与正实轴的夹角。同理，可求

8、得入射角的一般表达式为)()(11njjlmliill pzz njmlii11例 已知系 统的开环传递 函数为 ,试绘制)5.)(.24)(ssKHsGr系统的根轨迹图。解 1）开环零、极点为 ， ， ，01p5.2.103jp， ， ， 5.04jp.zjzz232）实轴上的根轨迹段 和 段2113）根轨迹的渐近线 mn= 1)2(k804）根轨迹的出射角 0-2z1-1.5z2z3p4p3p2p1-2.5 37 56.5 10879195990j431313ji 421321 7990859.56745）根轨迹的入射角 241321jjii4323 1295.6190175.426）根轨

9、迹曲线如图所示。 七、根轨迹与虚轴的交点设与虚轴相交的闭环极点为 ，代入闭环特征方程js0)(1HG解方程即可求得 。rK,例 已知系统 的开环传递函数为 ，绘制系统)2)(3)(2ssKsr的根轨迹图。解 1）开环零、极点为 ， ， ， ， 0p32jp1jp1421z2）实轴上的根轨迹段 和 段z20-1-2-2.5 p1p2p3p4z1z2z3153199149.51219063.5 117j0-1-1-1.5-3p1p2 z1p3p479149.5z2z3j20-1-2p1z1p2p3p49026.61.6135-26.6Kr=7j3）根轨迹的渐近线 ， 3mn= )12(k80,6.

10、34）根轨迹的出射角 =34311jjii421 6.29056.45）根轨迹与虚轴的交点0)2()2)(3sKssr684 rr 0)()(5)(23 rrKjjjj 24 rr028rKr1653r 7rK6.3,.2八、开环极点与闭环极点的关系设 阶系统闭环特征方程可表示为nmiirjj zsKps11 )()( nnnnn assa 121)()(121 nns 0)(1jj如果满足条件 ，mnjja11njjp1即有 njnjjps11例 已知系统的开环传递函数为 ，绘制系统的根)208()(2sKsHGr轨迹图。解 1）开环零、极点为 ， ， 01p42j43jp2）实轴上的根轨迹段 段3）根轨迹的渐近线 3mn= )1(k80,67.2344）根轨迹的出射角 =2njjmii21131 4.690354 4.635）根轨迹与虚轴的交点283rKss 0283rKjj0r0rK13 6r 47.3.26）根轨迹的分离点和会合点)()( sBAs021632s， 21.为根轨迹的分离点， 不在根轨迹上所以舍去。1s2s例 已知系统的开环传递函数为 ，绘制系)204)()(2ssKHGr统的根轨迹图。 44.470-2p1p2p3-3.39063.4Ky=160153.4j