全国初中数学竞赛预赛.doc

1、2014 年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（竞赛时间： 2014 年 3 月 2 日上午 9:00-11:00）一、选择题（共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分） 以下每小题均给出了代号为 A，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分）1若 是最大的负整数， 是绝对值最小的有理数， 是倒数等于它本身的自然数，则 的值为【 】（A）2013 （B）2014 （C）2015 （D ）0【答】D 解：最大的负整数是1， =1；绝对值最小的有理数是 0， =0；倒数等于它本身的自然数是 1， =1. =

2、=0.2. 已知实数 满足 则代数式 的值是【 】（A） （B）3 （C） （D ）7【答】A解：两式相减得3如图，将表面展开图（图 1）还原为正方体，按图 2 所示摆放，那么，图 1中的线段 MN 在图 2 中的对应线段是【 】（A） （B） （C） （D ） 【答】C 解：将图 1 中的平面图折成正方体，MN 和线段 c 重合.不妨设图 1 中完整的正方形为完整面，AMN 和ABM 所在的面为组合面，则 AMN 和ABM所在的面为两个相邻的组合面，比较图 2，首先确定 B 点，所以线段 d 与 AM重合，MN 与线段 c 重合 .4. 已知二次函数 的图象如图所示，则下列 7 个代数式 ，

3、 ， ， ， ， 中，其值为正的式子的个数为【 】（A）2 个 （B）3 个 （C）4 个 （D ）4 个以上【答】C 解：由图象可得： ， ， ， ， ， .抛物线与 轴有两个交点， .当 =1 时， ，即.当 = 时， ，即 .从图象可得，抛物线对称轴在直线 =1 的左边，即， .因此 7 个代数式中，其值为正的式子的个数为 4 个.5. 如图，RtOAB 的顶点 O 与坐标原点重合， AOB=90， AO=2BO，当 A 点在反比例函数 （ x0）的图象上移动时， B点坐标满足的函数解析式为【 】（A） （ x0） （B） （ x0） （C） （ x0） （D） （ x0）【答】B解：如

4、图，分别过点 分别做 轴的垂线 ，那么 ，则，故 .6如图，四边形 ABHK 是边长为 6 的正方形，点 C、D 在边 AB 上，且AC=DB=1，点 P 是线段 CD 上的动点，分别以 AP、PB 为边在线段 AB 的同侧作正方形 AMNP 和正方形 BRQP，E、F 分别为 MN、QR 的中点，连接 EF，设EF 的中点为 G，则当点 P 从点 C 运动到点 D 时，点 G 移动的路径长为【 】（A）1 （B）2 （C）3 （D）6【答】B解：设 KH 中点为 S，连接 PE、ES、SF、PF 、PS ，可证明四边形 PESF为平行四边形，G 为 PS 的中点, 即 在 点 P 运 动 过

5、 程 中 ， G 始 终 为 PS 的 中 点 ， 所以 G 的 运 行 轨 迹 为 CSD 的 中 位 线 , CD=ABA CB D=61 1 =4， 点 G 移动的路径长为 =2.二、填空题（共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分）7已知 ，化简 得 .【答】 解： ， ， ，原式= .8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有 6 个，黄色玻璃球有 9 个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为 ，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为 . 【答】 解：设口袋中蓝色玻璃球有 个，依题意，得 ，即 =10，所以 P（摸出一个红色玻璃球

6、）= .9. 若 ，则 = .【答】8解： ， .则 ，即 .10如图，在 RtOAB 中，AOB=30，AB=2 ，将 RtOAB 绕 O 点顺时针旋转 90得到 RtOCD ，则 AB 扫过的面积为 .【答】 解：RtOAB 中，AOB=30，AB=2 ， AO=CO= ，BO =DO=4，阴影部分面积= = = .11如图，在矩形 ABCD中，AB=3 ，BC=4，点 E 是 AD上一个动点，把BAE 沿 BE 向矩形内部折叠，当点A 的对应点 A1 恰落在BCD 的平分线上时，CA 1= .【答】 解：过 A1 作 A1MBC，垂足为 M，设 CM=A1M=x，则 BM=4x，在 Rt

7、 A1BM 中， = ，x =A1M= ，在等腰 RtA 1CM 中，C A 1= .12已知 a、b、c 、d 是四个不同的整数，且满足 a+b+c+d =5，若 m 是关于 x 的方程（ xa）（ xb）（xc）（x d）=2014 中大于 a、b、c、d 的一个整数根，则 m 的值为 .【答】20解：（ma）（mb）（mc）（md）=2014，且 a、b、c 、d 是四个不同的整数，由于 m 是大于 a、b、c、d 的一个整数根，（m a）、（mb）、（mc ）、（ md）是四个不同的正整数. 2014=121953，（ma）+（mb）+（mc）+（md）=1 +2+19+53=75.又

8、a+b+c+d =5，m =20.三、解答题（第 13 题 14 分，第 14 题 16 分，第 15 题 18 分，共 48 分）13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本 5 元，大笔记本每本 7 元，钢笔每支 10 元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的 2 倍，共花费 346 元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？解：设购买小笔记本 x 本，大笔记本 y 本，钢笔 z 支，则有 ， .易知 0x69 ，0y 49， 0 z34, 4 分 ， ，即 .x，y，z 均为正整数， 0，即 0z14z 只能取 14，9 和 4. 8分当 z 为

9、14 时， =2， =28. .当 z 为 9 时， =26， =18. .当 z 为 4 时， =50， =8. .综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本 50 本，大笔记本8 本，钢笔 4 支. 14 分14.如图，在矩形 ABCD 中， AD=8，直线 DE 交直线 AB 于点 E，交直线 BC于 F， AE=6.（1）若点 P 是边 AD 上的一个动点（不与点 A、 D 重合），设 DP 为 x,四边形 AEHP 的面积为 y,试求 y 与 x 的函数解析式；（2）若 AE=2EB.求圆心在直线 BC 上，且与直线 DE、 AB 都相切的O 的半径长；圆心在直线 BC 上，且

10、与直线 DE 及矩形 ABCD 的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？（直接写出满足条件的圆的个数即可.）14、解：（1）在 Rt 中，5 分（2） .7 分若 与直线 DE、AB 都相切，且圆心 在 AB 的左侧，过点 作 于，则可设. 解得 10 分若 与直线 DE、AB 都相切，且圆心 在 AB 的右侧，过点 作于 ，则可设解得即满足条件的圆的半径为 或6.13 分6 个.16 分15. 如图 1，等腰梯形 OABC 的底边 OC 在 x 轴上， AB OC，O 为坐标原点，OA = AB =BC，AOC=60，连接 OB，点 P 为线段 OB 上一个动点，点 E为边 OC 中点. （1

11、）连接 PA、 PE，求证： PA=PE；（2）连接 PC，若 PC+PE= ，试求 AB 的最大值；（3）在（2）在条件下，当 AB 取最大值时，如图 2，点 M 坐标为（0，1），点 D 为线段 OC 上一个动点，当 D 点从 O 点向 C 点移动时，直线MD 与梯形另一边交点为 N，设 D 点横坐标为 m，当 MNC 为钝角三角形时，求m 的范围.解：（1）证明：如图 1，连接 AE.5 分(2)PC+P E= ，PC+PA= .显然有 OB=ACPC+P A= .7 分在 Rt BOC 中,设 AB=OA=BC=x，则 OC=2x， OB= ， ， 2.即 AB 的最大值为 2. 10 分(3) 当 AB 取最大值时，AB= OA=BC=2，OC=4.分三种情况讨论：当 N 点在 OA 上时，如图 2，若 CN MN 时，此时线段 OA 上 N 点下方的点（不包括 N、 O）均满足 MNC 为钝角三角形.过 N 作 NFx 轴，垂足为 F，