高中数学竞赛讲义之平面几何.doc

1、高中数学竞赛讲义平面几何一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）梅涅劳斯定理 设 分别是 ABC 的三边 BC，CA，AB 或其延长线上的点，若三点共线，则梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若 则 三点共线。塞瓦定理 设 分别是 ABC 的三边 BC，CA，AB 或其延长线上的点，若三线平行或共点，则塞瓦定理的逆定理 设 分别是 ABC 的三边 BC，CA，AB 或其延长线上的点，若 则 三线共点或互相平行。角元形式的塞瓦定理 分别是 ABC 的三边 BC，CA，AB 所在直线上的点，则 平行或共点的充要条件是广义托勒密定理 设 ABCD 为任意凸四边形，则 AB?CD+BC?ADAC?BD，

2、当且仅当A，B，C，D 四点共圆时取等号。斯特瓦特定理 设 P 为 ABC 的边 BC 上任意一点，P 不同于 B，C，则有AP2=AB2? +AC2? -BP?PC.西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）欧拉定理 ABC 的外心 O，垂心 H，重心 G 三点共线，且二、方法与

3、例题1同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。例 1 在 ABC 中，ABC=70 0，ACB=30 0，P，Q 为 ABC 内部两点，QBC=QCB=10 0，PBQ=PCB=20 0，求证：A，P，Q 三点共线。证明 设直线 CP 交 AQ 于 P1，直线 BP 交 AQ 于 P2，因为ACP=PCQ=10 0，所以，在 ABP， BPQ，ABC 中由正弦定理有， ， 由，得 。又因为 P1，P 2同在线段 AQ 上，所以 P1，P 2重合，又BP 与 CP 仅有一个交点，所以 P1，P 2即为 P，所以 A，P，Q 共线。2面积法。例 2 见图

4、16-1，ABCD 中，E，F 分别是 CD，BC 上的点，且 BE=DF，BE 交 DF 于 P，求证：AP 为BPD 的平分线。证明 设 A 点到 BE，DF 距离分别为 h1,h2，则又因为 SABCD =SADF ，又 BE=DF。所以 h1=h2，所以 PA 为BPD 的平分线。3几何变换。例 3 （蝴蝶定理）见图 16-2，AB 是O 的一条弦，M 为 AB 中点，CD，EF 为过 M 的任意弦，CF，DE 分别交 AB 于 P，Q。求证：PM=MQ。证明 由题设 OM AB。不妨设 。作 D 关于直线 OM 的对称点 。连结 ，则 要证 PM=MQ，只需证，又MDQ=PFM，所以

5、只需证 F，P ，M， 共圆。因为 =1800- =1800- =1800- 。（因为 OM。AB/）所以 F，P，M， 四点共圆。所以 MDQ。所以 MP=MQ。例 4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为 1995，而且每个三角形三个顶点同色。证明 在平面上作两个同心圆，半径分别为 1 和 1995，因为小圆上每一点都染以红、蓝两色之一，所以小圆上必有五个点同色，设此五点为 A，B，C，D，E，过这两点作半径并将半径延长分别交大圆于 A1，B 1，C 1，D 1，E 1，由抽屉原理知这五点中必有三点同色，不妨设为 A1，B 1，C 1，则 AB

6、C 与 A 1B1C1都是顶点同色的三角形，且相似比为 1995。4三角法。例 5 设 AD，BE 与 CF 为 ABC 的内角平分线，D，E，F 在 ABC 的边上，如果EDF=90 0，求BAC 的所有可能的值。解 见图 16-3，记ADE=，EDC=，由题设FDA= -，BDF= -，由正弦定理： ，得 ，又由角平分线定理有 ，又 ，所以 ，化简得 ，同理 ，即所以 ，所以 sincos-cossin=sin(-)=0.又-3PG.证明 因为，又 G为 ABC 重心，所以（事实上设 AG 交 BC 于 E，则 ，所以 ）所以 ，所以又因为 不全共线，上式 “=”不能成立，所以 PA+PB

7、+PC3PG。6解析法。例 7 H 是 ABC 的垂心，P 是任意一点，HL PA，交 PA 于 L，交 BC 于 X，HM PB，交 PB 于 M，交 CA 于 Y，HN PC 交 PC 于 N，交 AB 于 Z，求证：X，Y，Z 三点共线。解 以 H 为原点，取不与条件中任何直线垂直的两条直线为 x 轴和 y 轴，建立直角坐标系，用(x k,yk)表示点 k 对应的坐标，则直线 PA 的斜率为 ，直线 HL 斜率为，直线 HL 的方程为 x(xP-xA)+y(yP-yA)=0.又直线 HA 的斜率为 ，所以直线 BC 的斜率为 ，直线 BC 的方程为xxA+yyA=xAxB+yAyB,又点

8、 C 在直线 BC 上，所以 xCxA+yCyA=xAxB+yAyB.同理可得 xBxC+yByC=xAxB+yAyB=xAxC+yAyC.又因为 X 是 BC 与 HL 的交点，所以点 X 坐标满足式和式，所以点 X 坐标满足xxP+yyP=xAxB+yAyB.同理点 Y 坐标满足 xxP+yyP=xBxC+yByC.点 Z 坐标满足xxP+yyP=xCxA+yCyA.由知，表示同一直线方程，故 X，Y，Z 三点共线。7四点共圆。例 8 见图 16-5，直线 l 与O 相离，P 为 l 上任意一点，PA，PB 为圆的两条切线，A，B 为切点，求证：直线 AB 过定点。证明 过 O 作 OC

9、l 于 C，连结 OA，OB，BC，OP，设 OP 交 AB 于 M，则 OP AB，又因为 OA PA，OB PB，OC PC。所以 A，B，C 都在以 OP 为直径的圆上，即 O，A，P，C，B 五点共圆。AB 与 OC 是此圆两条相交弦，设交点为 Q，又因为 OP AB，OC CP，所以 P，M，Q，C 四点共圆，所以 OM?OP=OQ?OC。由射影定理 OA2=OM?OP，所以 OA2=OQ?OC，所以 OQ= （定值）。所以 Q 为定点，即直线 AB 过定点。三、习题精选1O 1和O 2分别是 ABC 的边 AB，AC 上的旁切圆，O 1与 CB，CA 的延长线切于E，G，O 2与

10、BC，BA 的延长线切于 F，H，直线 EG 与 FH 交于点 P，求证：PA BC。2设O 的外切四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 的中点分别为 E，F，求证：E，O，F 三点共线。3已知两小圆O 1与O 2相外切且都与大圆O 相内切，AB 是O 1与O 2的一条外公切线，A，B 在O 上，CD 是O 1与O 2的内公切线，O 1与O 2相切于点 P，且 P，C 在直线 AB 的同一侧，求证：P 是 ABC 的内心。4ABC 内有两点 M，N，使得MAB=NAC 且MBA=NBC，求证：5ABC 中，O 为外心，三条高 AD，BE，CF 相交于点 H，直线 ED 和 AB 相交于点 M

11、，直线 FD 和 AC 相交于点 N，求证：（1）OB DF，OC DE；（2）OH MN。6设点 I，H 分别是锐角 ABC 的内心和垂心，点 B1，C 1分别是边 AC，AB 的中点，已知射线 B1I 交边 AB 于点 B2(B2B)，射线 C1I 交 AC 的延长线于点 C2，B 2C2与 BC 相交于点K，A 1为 BHC 的外心。试证：A，I，A 1三点共线的充要条件是 BKB 2和 CKC 2的面积相等。7已知点 A1，B 1，C 1，点 A2，B 2，C 2，分别在直线 l1,l2上 ，B 2C1交 B1C2于点M，C 1A2交 A1C2于点 N，B 1A2交 B2A1于 L。求证：M，N，L 三点共线。8ABC 中，C=90 0，A=30 0，BC=1，求 ABC 的内接三角形（三个顶点分别在三条边上的三角形）的最长边的最小值。9ABC 的垂心为 H，外心为 O，外接圆半径为 R，顶点 A，B，C 关于对边BC，CA，AB 的对称点分别为 ，求证： 三点共线的充要条件是 OH=2R。