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矩阵的 n 次方一般来说,An 就是先对角化再求 n 次方.但是如果 A 不能对角化,线性代数就没办法了.矩阵论中有进一步的讨论,叫做“矩阵的 Jondan 标准型”.可以解决所有此类问题.A=B+C,其中B=1 0 0 0 1 00 0 1C=0 2 30 0 40 0 0 并且 BC=CB,是可以乘法可交换的 .因此 An=(B+C)n,可以用类似二项式定理的形式展开.=Bn + nB(n-1)C + .我们发现 C 的 3 次方以上都是零矩阵!所以展开式中其实只有前面的 3 项而已.Bn=1 0 0 0 1 00 0 1nB(n-1)C=0 2n 3n0 0 4n0 0 0n(n-1)/2*B(n-2)C2=0 0 4n(n-1)0 0 00 0 0把这三项加起来就是最后结果了1 2n 3n+4n(n-1)0 1 4n0 0 1
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