13-17全国卷理科高考导数、函数题(详解版).doc

1、全国卷 13-17 高考真题分类汇编：函数、导数及其应用一.选择题1.（2015.理 5）设函数 , ( )21log()1(),xxf2()log1)ffA3 B6 C9 D12【解析】选 C 由已知得 ，又 ，所以 ，2()log43f2log122log1log62(l)f故 ，故选 C2()log1ff2.【2017.理 5】函数 在 单调递减，且为奇函数若 ，则满足()fx,)(1)f的 的取值范围是（ ）21()1xfA B C D,1,0,4,3【答案】D【考点】函数的奇偶性、单调性【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要重视利用奇、偶函数与单调性解决不等式和比较大小问题，若 在

2、 R 上为单调递增的奇函数，且 ，则 ，反之亦成立.()fx 12()0fxf120x3. (2014理 8)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= ( )A.0 B.1 C.2 D.3【解题提示】将函数 y=ax-ln（x+1）求导,将 x=0 代入,利用导数的几何意义求得 a.【解析】选 D.因为 f(x)=ax-ln(x+1),所以 f(x)=a- .所以 f(0)=0,且 f(0)=2.联立解得 a=3.故选 D.1x4 （2013文）已知函数 f(x)Error!若|f (x)|ax，则 a 的取值范围是 ( )A(，0 B(，1 C 2,1

3、 D2,0【解析】选 D 本题主要考查数形结合思想、函数与方程思想，利用导数研究函数间关系，对分析能力有较高要求y|f(x)|的图像如图所示，yax 为过原点的一条直线，当 a0 时，与 y|f(x)|在 y 轴右侧总有交点，不合题意当 a0 时成立当 a1x.所以 k1,+),选 D1x11、 （2016.I 理 7）函数 y=2x2e|x|在2,2 的图像大致为（ ）（A） （B） （C ） （D）【答案】D【解析】，排除 A， ，排除 B228.80fe228.71fe时，0xxfe，当 时，4xf10,4014fxe因此 在 单调递减，排除 Cfx,故选 D12.（2015.理 10）

4、如图，长方形 的边 ， ， 是 的中点，点 沿着边 ，ABD21BCOAPBC与 运动，记 将动 到 、 两点距离之和表示为 的函数 ，则 的CAOPxx()f()fx图像大致为（ ）D P CBOAx【解析】选 B 由已知得，当点 在 边上运动时，即 时， ；PBC04x2tan4tPABx当点 在 边上运动时，即 时， ，PCD3,42x2211()()tantx当 时， ；当点 在 边上运动时，即 时，2x2AAD34，从点 的运动过程可以看出，轨迹关于直线 对称，且2tantBxP2x，且轨迹非线型，故选 B()4ff13.（2015.文 12）设函数 的图像与 的图像关于直线 对称，

5、且()yfx2xayyx，则 ( )(2)1ffa（A） （B） （C ） （D） 4【解析】选 C 设 是函数 的图像上任意一点，它关于直线 对称为（ ） ，由已(,)xy()fxyx,yx知知（ ）在函数 的图像上， ，解得 ，即,2xa2ya2log()a， ，解得 ，故选 C.2()log()fxx 2()4logl41ff【解析】由 在区间 是单调减函数可知， ，又 ，故选 .0.6y,1.50.600.651C14 （2016.II.理 12）已知函数 ()fxR满足 ()2()fxf，若函数 xy与 ()fx图像的交点为 12(,),(),mxyy则 1()iiiy（ ）（A）0

6、 （B） （C） 2 （D） 4m【答案】B15.【2017.II 理 11】若 是函数 的极值点，则 的极小值为（ ）2x21()xfxae()fxA. B. C. D.113e35【答案】A【解析】【考点】 函数的极值；函数的单调性【名师点睛】(1)可导函数 yf(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f(x0)0，且在 x0 左侧与右侧 f(x)的符号不同。(2)若 f(x)在(a， b)内有极值，那么 f(x)在( a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。16.（2014 二理 12）设函数函数 f(x)= sin .若存在 f(x)的极值点 x0满足 + 2

7、.故选 C.2x3417.【2017.理 11】已知函数 有唯一零点，则 a=（ ）1()()xfxaeA B C D112132【答案】C【解析】试题分析：函数的零点满足 ，21xxae设 ，则 ，1xge2111xxxeg 当 时， ，当 时， ，函数 单调递减，0 0g当 时， ，函数 单调递增，1x0gxgx当 时，函数取得最小值 ，12设 ，当 时，函数取得最小值 ，2hxx1【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解 ，则将问题转化为构造两个函

8、数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用. 学科网18.（2015.理 12）设函数 是奇函数 的导函数， ，当 时，()fx()fxR(1)0fx，则使得 成立的 的取值范围是（ ）()0xff0A B,1(,)(1,),)C D(【答案】A19.（2015.理 12）设函数 = ,其中 a 1，若存在唯一的整数 ，使得()fx21)ex0x0，则 的取值范围是（ ）()fxa(A)- ，1） (B)- ， ） (C) ， ） (D) ，1）32e32e432e432e【解析】设 = ， ，由题知存在唯一的整数 ，使得 在直线 的()gx1)

9、yax0x0()gyax下方.因为 ，所以当 时， 0，当 时， 0，所以当1()gxx时， = ，当 时， =-1， ，直线 恒过（1,0）斜12xmax()g12-e0x()g(1)30eyax率且 ，故 ，且 ，解得 1，故选 D.a01()3ea2【答案】D二、 填空题20.（2015.文 14）已知函数 的图像在点 的处的切线过点 ，则 .31fxa1,f2,7a【解析】试题分析： ， ，即切线斜率 ，2()31fxa()f 3ka又 ，切点为（1， ） ，切线过（2,7） ， ，解得 1.()f2711a【答案】121.（2015.理 13）若函数 f(x)= 为偶函数，则 a=

10、2ln)ax【答案】122 （2013理）若函数 f(x)(1x 2)(x2axb)的图象关于直线 x2 对称，则 f(x)的最大值为_【解析】本题考查函数图象的对称性、函数图象的平移、偶函数及函数的极值与最值等知识，意在考查考生综合运用函数知识解答问题的能力、考查考生的运算能力；由函数图象的对称性得相应函数的奇偶性，利用图象平移知识确定函数解析式，再通过求导，研究函数的极值与最值因为函数 f(x)图象关于直线 x2 对称，所以函数 f(x2) 为偶函数，因为 f(x)(1x 2)(x2axb)，所以 f(x2)1(x 2) 2(x2) 2a( x2)bx 4(8a) x3(6ab23)x 2

11、 (11a4b28)x(6a3b12) 为偶函数，所以Error!所以 Error!f(x)(1x 2)(x28x15)，所以 f(x)2x( x28x15)(1 x 2)(2x8)4x 324x 228x 84(x 36x 27x2)4( x2)(x 24x1) 令 f( x)0，得 x2 或x2 或 x2 ，且当 x2 时，f ( x)0；当2 x2 时，f(x)0；当5 5 5 52x2 时，f( x)0；当 x2 时，f ( x)0，所以当 x2 时，f(x) 极大值 16；当5 5 5x2 时， f(x)极大值 16.所以函数 f(x)的最大值为 16.5【答案】1623 （2013

12、大纲卷文）设 f(x)是以 2 为周期的函数，且当 x1,3)时，f(x)x 2，则 f(1)_.【解析】本题主要考查抽象函数的求值与周期性因为 f(x)是以 2 为周期的函数，所以 f(1)f(12)f(1)121.【答案】124.【2017.理 15】设函数 则满足 的 x 的取值范围是_.10()2xf， ， ， 1()2fx【答案】 1,4写成分段函数的形式： ，132,012,xxgxff 函数 在区间 三段区间内均单调递增，gx1,0,2且： ，0 011,4据此 x 的取值范围是： .1,425 （2016.II 理 16）若直线 ykxb是曲线 ln2yx的切线，也是曲线 ln

13、(1)yx的切线，则 b 【答案】 1ln225 （2016.III 理 15）已知 fx为偶函数，当 0x时， ()ln3fxx，则曲线 yfx在点(,3)处的切线方程是_。【答案】 21yx三、 解答题26.（2015.文 21） （本小题满分 12 分）设函数 .2lnxfea（I）讨论 的导函数 的零点的个数；fxfx（II）证明：当 时 .0a2lna【解析】试题解析：（I） 的定义域为 ， .()fx0+， 2()=0xafe当 时, ， 没有零点；0a()f当 时，因为 单调递增， 单调递增，所以 在 单调递增.又 ,当 b 满2xeax-()fx+， ()0fa足 且 时， ,

14、故当 时， 存在唯一零点.4b（II）由（I） ，可设 在 的唯一零点为 ，当 时， ;()fx+， 00x， ()fx当 时， .0+x， 故 在 单调递减，在 单调递增，所以当 时， 取得最小值，最小值()fx， 0x， 0x=()fx为 .0x由于 ，所以 .02=ae-002()=lnl2afxxa+故当 时， .()lnfx27.（2013文）已知函数 f(x)e x(axb) x 24x，曲线 yf (x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y4x4.(1)求 a，b 的值；(2)讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值解：本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求

15、极值(1)f(x) e x(axab)2x 4.由已知得 f(0)4，f(0) 4.故 b4，ab8.从而 a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4e x(x1) x 24x，f(x)4e x(x 2)2x 44(x2) .(ex 12)令 f(x )0 得，xln 2 或 x2.从而当 x(，2)(ln 2，) 时，f ( x)0；当 x( 2，ln 2)时，f ( x)0.故 f(x)在(，2)，( ln 2，)上单调递增，在( 2 ，ln 2)上单调递减当 x2 时，函数 f(x)取得极大值，极大值为 f(2)4(1e 2 )由 kx 10 知 x1 k 显然成立，34f(k )f(x

16、1)再证 f(k)f(x 2)同理 f(x2) ，有 f(k)f(x 2)k (kx 2) (kx )0， x32 x22 x32 x22 12 12 32f(k)f(x 2)综上所述，Mf(k)2k 3k，m f(k) k .28.【2017.理 21】已知函数 .1lnxax（1）若 ，求 a 的值；0fx（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n ，求 m 的最小值.211n【答案】(1) ；1a(2) 3【解析】试题分析：(1 )由原函数与导函数的关系可得 x=a 是 在 的唯一最小值点，列方程解得f0， +x；1a(2)利用题意结合(1) 的结论对不等式进行放缩，求得 ，结合211ne可知实数 的最小值为 2311m3