1、KGS方程的高阶平均向量场方法,学校名称：海南大学报告成员：闫静叶 孙建强,研究背景,高阶平均向量场方法在KGS方程中应用,数值模拟,结论,目,录,CONTENTS,研究背景,冯康院士,1984年提出哈密尔顿系统的辛 几何算法,Bridges和Reich等人,1997年提出多辛算法,Quispel和McLachlan,2009年提出高阶平均向量场方法,算法的发展,研究背景,KGS方程,辛整体守恒格式,求解KGS方程已有的数值算法,Runge-Kutta- Nystrom多辛格式,BaoWeizhu,Xiang Minmin,孔令华,洪佳林,Pavlos Xanthopoulos,守恒的傅立叶谱
2、方法,拆分法,线性隐式有限差,高阶平均向量场方法在KGS方程中应用,1.1 Klein-Gordon Schrdinger(KGS)方程 一般非线性Klein-Gordon Schrdinger(KGS)方程可表示为复函数 表示标量中子场， 实函数 表示标量介子场。KGS方程模型表示守恒复中子场和中性介子场在量子场论之间的相互作用。,高阶平均向量场方法在KGS方程中应用,设方程(1)的初始条件,高阶平均向量场方法在KGS方程中应用,电荷守恒,能量守恒,方程(1)保持,高阶平均向量场方法在KGS方程中应用,1.2 高阶平均向量场方法 给定常微分方程： 由于 这表明哈密尔顿系统(2)具有能量守恒特
3、性。 下面给出具有四阶精度的高阶平均向量场格式 其中， 高阶平均向量场格式(3)在每个时间层上保持哈密尔顿系统的离散能量守恒。,高阶平均向量场方法在KGS方程中应用,1.3 KGS方程的高阶保能量格式设 ，KGS方程(1)等价于 （4）,高阶平均向量场方法在KGS方程中应用,1.3 KGS方程的高阶保能量格式KGS方程(1)可以表示成如下的无穷维哈密尔顿系统 (5)其中 哈密尔顿函数为,(6),高阶平均向量场方法在KGS方程中应用,在空间利用拟谱方法离散哈密尔顿系统(4)，可以得到KGS方程的半离散拟谱格式 (7),等式(7)可以表示为如下有限维哈密尔顿系统,其中,I为NN单位矩阵,高阶平均向
4、量场方法在KGS方程中应用,高阶平均向量场方法在KGS方程中应用,相应的哈密尔顿函数为 (8) 在时间上用高阶平均向量场方法离散有限维哈密尔顿系统，构造了KGS方程的高阶保能量平均向量场格式。 (9),高阶平均向量场方法在KGS方程中应用,其中， , 为 的零矩阵， 为 的对角矩阵，,高阶平均向量场方法在KGS方程中应用,令等式(9)可以被表示为如下矩阵和向量形式 (10),高阶平均向量场方法在KGS方程中应用,其中 (11) (12),高阶平均向量场方法在KGS方程中应用,(13) (14)等式（11-14）等价于,高阶平均向量场方法在KGS方程中应用,等式(10)可以表示为,高阶平均向量场
5、方法在KGS方程中应用,(15)其中 ， 分别表示矩阵的第 行第 列元素.,数值模拟,2.2 数值模拟 为了验证KGS方程高阶精度格式(15）保能量守恒特性，我们利用格式(15)数值模拟KGS方程的孤立波的演化行为和分析方程的相对能量误差变化，其中能量函数为 相应的能量整体误差为 是时刻 的能量误差。,数值模拟,2.2.1 数值模拟1取KGS方程(1)的初始条件为 边界条件 其中 取 ,空间配置点 ，时间步长下面利用格式（15）进行数值模拟.,2.2.1 数值模拟1,数值模拟,由图1.1,1.2可知,数值解 , 非常光滑，离散格式（15）能很好的模拟KGS方程解的行为.,图1.1：,图1.2：
6、,由图1.3可知,高阶保能量格式可以很好的数值模拟单孤立波的演化行为，并且保持了KGS方程离散能量守恒。,数值模拟,2.2.1 数值模拟1,图1.3：能量误差,数值模拟,2.2.2 数值模拟2取KGS方程(1)的初始条件为,数值模拟,2.2.2 数值模拟2边界条件 其中 ，取 空间配置点 ，时间步长 下面利用格式（15）进行数值模拟.,由图2.1、2.2可知,数值解 , 非常光滑，离散格式（15）能很好的模拟KGS方程解的行为.,数值模拟,2.2.2 数值模拟2,图2.1：,图2.2：,能量误差图,由图2.3可知,高阶保能量格式可以很好的数值模拟双孤立波的演化行为，并且保持了KGS方程离散能量守恒。,数值模拟,2.2.2 数值模拟2,图2.3：能量误差,结论,本文利用高阶平均向量场方法和拟谱方法，在理论上构造了KGS方程的一种新的高阶保能量格式。利用高阶保能量格式数值模拟孤立波的演化并分析相对能量误差变化。,数值结果表明KGS方程新的高阶保能量格式可以很好地模拟孤立波的演化行为，并且可以精确地保持KGS方程的离散能量。,谢谢观赏,
