1、一元二次方程 根的分布情况02cbxa设方程 的不等两根为 且 ，相应的二次函数为 ，20axbca12,1220fxabc方程的根即为二次函数图象与 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）x表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于 012,x两个正根即两根都大于 012,x一正根一负根即一个根小于0，一个大于 012x大致图象（） 0a得出的结论 02baf02baf0f大致图象（） 0a得出的结论 02baf02baf0f综合结论（不讨论） a02baf02baf0fa表二：（两根与 的大小比较）k分布情况两根都小于 即kx21,
2、 两根都大于 即kx21,一个根小于 ，一个大于 即kk21x大致图象（） 0a得出的结论 02bkaf02bkaf0kf大致图象（） 0a得出的结论 02bkaf02bkaf0kf综合结论（不讨论） a02bkaf02bkaf0kfakk k表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在 内nm,两根有且仅有一根在 内nm,（图象有两种情况，只画了一种）一根在 内，另一根在nm,内，qp, qp大致图象（） 0a得出的结论 02fmnba0nfm或0fmnfpq0fnpq大致图象（） 0a得出的结论 02fmnba0nfm或0fmnfpq0fnpq综合结论（不讨论） a 0nfm0qfpnm根在
3、区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 外，即在区间两侧 ， （图形分别如下）n, 12,xn需满足的条件是（1） 时， ； （2） 时，0a0fmn0a0fmn对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在 内有以下特殊情况：,若 或 ，则此时 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为 或0fmfn0fmnA m，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 内，从而可以求出参数的值。如方程n ,在区间 上有一根，因为 ，所以 ，22xx1,31f2212mxxx另一根为 ，由 得 即为所求；m12m方程有且只有一根，且这个根在区间 内，即 ，此时由 可以求出参数的值，然
4、后再将参数2 n,00的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程有且一根在区间 内，求 的取值范围。分析：由 即2460x3,030fA得出 ；由 即 得出 或 ，当153m154m21646m1m32时，根 ，即 满足题意；当 时，根 ，故 不满足题意；2,x3,x综上分析，得出 或1例 1、已知二次方程 有一正根和一负根，求实数 的取值范围。2110mxm解：由 即 ，从而得 即为所求的范围。20fAm12例 2、已知方程 有两个不等正实根，求实数 的取值范围。210x解：由02mfA2180m32320m或 或 即为所求的范围。033例 3、已知二次函数 与 轴有两个交点，一个大于 1，一个小于 1，求243ymxxmx实数 的取值范围。m解：由 即 即为所求的范围。210fA10A12例 4、已知二次方程 只有一个正根且这个根小于 1，求实数 的取值范围。234xmxm解：由题意有方程在区间 上只有一个正根，则 即为所求0,10fA430A13范围。（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在 内，由 计算检验，均不复合0,1题意，计算量稍大）
