7.3一维离散傅利叶转换反DFT.ppt

1、第七章 傅利葉轉換7.1 前言,傅利葉轉換是影像處理中重要的基礎，不但可以做到用其他方式無法得到的結果，也比其他方式來得有效率。傅利葉轉換還是執行線性空間濾波的另一種有效方式。傅利葉轉換還可以用於擷取或處理特定影像頻率，在執行低通和高通濾波時能得到更精確的結果。,7.2 背景,圖 7.2,週期性函數可以寫成不同振幅和頻率的正弦波和餘弦波之總和。,7.2 背景,傅利葉級數（Fourier series） 其中,f這就是(x) 的傅利葉級數展開（Fourier series expansion），也可用複數形式表示。,7.2 背景,若函數為非週期性，則可設T 類似結果，則：,傅利葉轉換對組（Fou

2、rier transform pair）。,7.3 一維離散傅利葉轉換,7.3 一維離散傅利葉轉換,7.3.1 一維DFT 的定義,此定義也可以矩陣乘積來表示：其中F 是一個NN 的矩陣，定義如下：,7.3 一維離散傅利葉轉換,當N 給定後，我們可以定義：,範例7.3.1 假設f = 1, 2, 3, 4，因此 N = 4。然後,7.3 一維離散傅利葉轉換,7.3 一維離散傅利葉轉換,反 DFT若比較方程式(7.3) 與方程式(7.2)，就會發現其實只有三點不同：沒有縮放係數1/N。指數函數中的符號改為正號。總和索引變數為u，而非x。,7.3 一維離散傅利葉轉換,7.3 一維離散傅利葉轉換,7

3、.4 一維離散傅利葉轉換的特性,線性由DFT矩陣乘積的定義便可推論出此特性。假設 f 和g是相同長度的兩個向量，p和q為純量，令h = pf + qg若F、G 及H 分別為f、g 與h 的DFT，則：,平移將向量x的各個元素xn 乘以(1)n，也就是每隔兩個元素改變其正負號。假設這樣產生的向量為x，x的DFT X若將左右兩邊互換，就和x的DFT x相等。,7.4 一維離散傅利葉轉換的特性,例子,7.4 一維離散傅利葉轉換的特性,注意：X的前四個元素是X1的末四個元素，反之亦然。,縮放公式中 k 為純量，且 F f。此性質意味如果你將一個函數在 x 方向上放大，則其頻譜在 x 方向上便會縮小。強

4、度也會改變。,7.4 一維離散傅利葉轉換的特性,共軛對稱旋積,7.4 一維離散傅利葉轉換的特性,快速傅利葉轉換,7.5 二維離散傅利葉轉換,在二維下，DFT 的輸入為矩陣，輸出為同樣大小的另一個矩陣。,7.5.1 二維傅利葉轉換的一些特性,相似性DFT 當成空間濾波器使用分離性,7.5.1 二維傅利葉轉換的一些特性,線性旋積定理要使用空間濾波器S對影像M進行旋積計算將S 補零至與M 同大小，補零的結果記為S。計算M 和S 的DFT，得到 (M) 和 (S)。,將兩個轉換的元素一個個相乘：將結果帶入反轉轉換：,簡單地說，旋積定理可寫成： 或,7.5.1 二維傅利葉轉換的一些特性,DC係數平移,D

5、C 係數,DC 係數,7.5.1 二維傅利葉轉換的一些特性,共軛對稱顯示DFT轉換的結果,fft，計算向量的DFT。ifft，計算向量的反DFT。fft2，計算矩陣的DFT。ifft2，計算矩陣的反DFT。fftshift，如圖7.7 所示，平移轉換。,7.6 MATLAB中的傅利葉轉換,範例7.6.1,DC 係數正是所有矩陣值的總和。,7.6 MATLAB中的傅利葉轉換,範例7.6.2,7.6 MATLAB中的傅利葉轉換,範例7.6.3,7.7 影像之傅利葉轉換,圖 7.10,圖 7.11,圖 7.12,圖 7.13,範例7.7.2,圖 7.14,範例7.7.3,圖 7.15,範例7.7.4

6、,7.7 影像之傅利葉轉換,7.8 頻率域的濾波,7.8.1 理想濾波低通濾波,圖 7.16,圖 7.17,D = 15,圖 7.18,D = 5,D = 30,7.8 頻率域的濾波,高通濾波,圖 7.19,圖 7.20,7.8.2 Butterworth 濾波,理想濾波器直接切除傅利葉轉換距中心某個距離外的部分。這種截頻點的使用十分方便，但缺點是結果會產生不必要的瑕疵（波紋）。要避免這種現象，可使用截頻點較不銳利的圓形當作濾波矩陣。,圖 7.21,圖 7.22 & 7.23,圖 7.24,圖 7.25,圖 7.26, cfbli = ifft2(cfbl); figure, fftshow(

7、cfbli, abs), bl = lbutter(c,15,1); cfbl = cf.*bl; figure, fftshow(cfbl, log);,圖 7.27,7.8.3 高斯濾波,較寬的高斯函數、即較大的標準差，其最大值會比較小。,圖 7.28,圖 7.29,7.9 同態濾波,i (x, y)為照明(illumination), r(x, y)為反射(reflectance),7.9 同態濾波,圖 7.32,function res=homfilt(im,cutoff,order,lowgain,highgain) % HOMFILT(IMAGE,FILTER) applies h

8、omomorphic filtering % to the image IMAGE% with the given parameters u=im2uint8(im/256); u(find(u=0)=1;l=log(double(u);ft=fftshift(fft2(l);f=hb_butter(im,cutoff,order,lowgain,highgain);b=f.*ft;ib=abs(ifft2(b);res=exp(ib);,圖 7.33,i=imread(newborn.tif);r=1:256*ones(1,256);x=double(i).*(0.5+0.4*sin(r-32)/16);imshow(i);figure;imshow(x/256);,圖 7.34,xh=homfilt(x,10,2,0.5,2);imshow(xh/16);,圖 7.35, a=imread(arch.tif); figure;imshow(a); a1=a(:,:,1); figure;imshow(a1);, a2=double(a1); ah=homfilt(a2,128,2,0.5,2); figure;imshow(ah/14);,