趣味数学147：“数码与9的魔术”节选.doc

1、选自数论妙趣数学女王的盛情款待第八章 数码与 9 的魔术（节选）数码 9 的奇异性质常被魔术家与术数家利用，是一些戏法的基础。如，有一个等式 2A995613(523A) 2，要求在 60 秒内求出数码 A。乍一看似乎根本不可能，可是，如果发现等式右边含有因数 329，根据“弃九法” ，等式左边应该能被 9 整除。除 A 以外，2A99561 其余数码之和是29956132，32395，也可以 325，所以，A4，也就立即可以算出了。所谓“弃九法” ，就是说，求一个数的数字和时，如果超过 9，可以弃去9 或 9 的倍数，直到小于 9 为止，也可以反复求数字和，结果相同。而一个数除以 9 的余数

2、，与这个数用弃九法得到的数字和相同。用弃九法，可以检验四则运算是否正确。如，4671219874225611110521007。这些加数的弃九数字和是：467118，18290，或者 189,990；219820，20292，或者 202；742215，1596，或者 156；561113，1394，或者 134；11057。这些加数的弃九数字和相加，得 0264719，19181；而21007 的弃九数字和是 2100710，1091，二者相等，说明计算正确。再如，53276493457223。两个因数的弃九数字和分别是：532717，178；64919，19181。两个因数弃九后的数字和相

3、乘，得 818；而 3457223 的弃九数字和是345722326，268，二者相等，说明计算正确。有一种类似的戏法：“随便你写出一个很大的数，从中抹掉一个数码，我再填入一个数字，就能使这个大数能被 9 整除。 ”例如：所写的数是 53219645*2789，因为已知数码的弃九数字和是53219645278961，617，于是，填入的数码应该是 972。* * *下面是一个数字宝塔：1921112931111239411111234951111112345961111111234569711111111234567981111111112345678991111111111234567899

4、101111111111如果把等式左边的一般项（第 n 项）写作(10 n1 210 n2 310 n3 n)(101)(n1)。上述现象的秘密就显而易见了。因为，在把括号乘出并化简后，即得：(10 n1 210 n2 310 n3 n)(101)(n1)(10 n1 210 n2 310 n3 n)10(10 n1 210 n2 310 n3 n)(n1)10 n210 n1 310 n2 10n10 n1 210 n2 310 n3 n)(n1)10 n10 n1 10 n2 10n1用普通的写法，就是 1 重复出现(n1)次。下面是另外一些神奇的数字宝塔：9978899968889999

5、588889999948888899999938888889999999288888889999999918888888899999999908888888881819128298123839871234849876123458598765123456869876541234567879876543123456788898765432123456789899876543211111111121111111123211111111112343211111111111123454321111111111111123456543211111111111111112345676543211111111

6、111111111123456787654321111111111111111111123456789876543217749676744896676674448896667666744448889666676666744444888896666676666674444448888896666667666666744444448888889441634341156334334111556333433341111555633334333341111155556998199999801999999998001999999999998000199999999999999800001999999999

7、999999998000001999999999999999999998000000179637799762377799977663777799997776663777779999977776666377777799999977777666663173101472100142761000142874100001428575100000142857711000000142857173100000001428571472100000000142857142761000000000142857142874100000000001428571428575100000000000142857142857

8、711000000000000* * *下面是两个奇妙的数型：987654321 9 88888888899876543211817777777778987654321272666666666798765432136355555555569876543214544444444445987654321545333333333498765432163622222222239876543217271111111112987654321818000000000112345679 91111111111234567918222222222123456792733333333312345679364444

9、4444412345679455555555551234567954666666666123456796377777777712345679728888888881234567981999999999利用最后一个数型的数量关系，可以表演一个戏法：先写下 12345679，然后，请对方挑一个他喜欢的数字。你心算出他选定的数与 9 的乘积，把它写出来。让对方把两个数乘起来。很快，戏剧性的结果出现了，得数就是一连串他所喜欢的数字。比如，他选定的数字是 4，你就写出 36，结果，1234567936444444444。另一个奇妙的数型与 37 有关：337111，而 1113637222，而 2226

10、937333，而 33391237444，而 444121537555，而 555151837666，而 666182137777，而 777212437888，而 888242737999，而 99927再介绍一个奇妙的数型：71587311111114158732222222115873333333281587344444435158735555554215873666666491587377777756158738888886315873999999另外，一个三位数，乘 7，再乘 11，再乘 13，只需将是这个三位数连写两遍；一个四位数，乘 73，再乘 137，只需将这个四位数连写两遍；

11、一个五位数，乘 11，再乘 9091，只需将这个五位数连写两遍。* * *数 9 还有一个神奇的性质：除去 2 和 5 以外，任意一个质数都能整除由一连串 9 组成的数。用 N 表示除了 2、5 以外的质数。用 n 表示能被质数 N 整除的，由一串 9组成的数中，数字 9 的个数。下面是 100 以内的质数和另外一些较大的质数，整除由一连串 9 组成的数的情况：N n N n N n3 1 47 46 269 2687 6 53 13 271 511 2 59 58 4647 713 6 61 60 4651 465017 16 67 33 9091 1019 18 71 35 9103 91

12、0223 22 73 829 28 79 1331 15 83 4137 3 89 4441 5 97 9643 21 101 4* * *下面的算式中，9 个数码全都出现：124835796 421385796 182975346271985346 391867254 481597632281574396 417386952 419637852下面算式的两边，9 个数码全都出现：512498763153749628 165837429149253678325478916195287346* * *用 5 去乘 142857 时，只要把 7 从最后一位移到最左边，即可得出乘积714285。数 3529411764705882 乘上 2 再除以 3，也只要把末位的 2 移到最左边去，即可得出正确结果。* * *数码与 9 的魔术内容丰富，变化莫测，具有无穷的魅力，正等待着热爱它的人们去发掘，去享用！