1、典型例题函数的单调性和奇偶性例 1 （1）画出函数 y-x 2+2x+3 的图像，并指出函数的单调区间解：函数图像如下图所示，当 x0 时，y-x 2+2x+3- （x-1 ） 2+4；当 x0 时，y-x2-2x+3- （x+1 ） 2+4在（- ，-1 和0，1上，函数是增函数：在-1 ，0和1，+ ）上，函数是减函数评析 函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上（2）已知函数 f（x）x 2+2（a-1）x+2 在区间（-，4上是减函数，求实数 a 的取值范围分析 要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征解：f（x）x 2
2、+2（a-1）x+2x+（a-1） -（a-1） 2+2，此二次函数的对称轴是x1-a因为在区间（-，1-a 上 f（x）是单调递减的，若使 f（x）在（-，4上单调递减，对称轴 x1-a 必须在 x=4 的右侧或与其重合，即 1-a4，a-3评析 这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合例 2 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x） - （2）f（x）（x-1） 解：（1）f（x）的定义域为 R因为f（-x）-x+1- -x-1 x-1-x+1-f（x）所以 f（x）为奇函数典型例题（2）f（x）的定义域为x -1x1，不关于原点对称所以 f（x）既不是奇
3、函数，也不是偶函数评析 用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：（1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称（2）计算 f（-x），并与 f（x）比较，判断 f（-x）f（x）或 f（-x）-f （x）之一是否成立f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查 f（-x ）f（x）0 是否成立，从而判断函数的奇偶性例 3 已知函数 f（x） （1）判断 f（x）的奇偶性（2）确定 f（x）在（- ，0）上是增函数还是减函数?在区间（0，+ ）上呢?证明你的结论解：因为 f（x）的定义域为 R，又f（-x） f（x），所以 f（x）为偶函数（2）f（x）在（- ，0）上是增函数，由于 f（
4、x）为偶函数，所以 f（x）在（0，+ ）上为减函数其证明：取 x1x 20，f（x 1）-f（x 2） - 因为 x1x 20，所以x2-x10，x 1+x20，x21+10，x 22+10，得 f（x 1）-f（ x2）0，即 f（x 1）f（x 2）所以 f（x）在（- ，0）上为增函数评析 奇函数在（a,b）上的单调性与在（-b,-a）上的单调性相同，偶函数在（a,b）与（-b,-a）的单调性相反例 4 已知 y=f（x）是奇函数，它在（0，+）上是增函数，且 f（x）0，试问F（x） 在（-，0）上是增函数还是减函数 ?证明你的结论典型例题分析 根据函数的增减性的定义，可以任取 x1
5、x 20，进而判定 F（x 1）-F（x 2） - 的正负为此，需分别判定 f（x 1）、f（x 2）与 f（x 2）的正负，而这可以从已条件中推出解：任取 x1、x 2（-，0）且 x1x 2，则有-x 1-x 20y f（x）在（0，+）上是增函数，且 f（x）0，f（ -x2）f （ -x1）0 又 f（x）是奇函数，f（ -x2）-f（x 2），f（-x 1）-f（x 1） 由、 得 f（x 2）f（x 1）0于是F（x 1）-F （x 2） 0，即 F（x 1）F（ x2），所以 F（x） 在（- ，0）上是减函数评析 本题最容易发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在（0，+）内
6、任取x1x 2，展开证明这样就不能保证-x 1，-x 2，在（-，0 ）内的任意性而导致错误避免错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地展开证明活动例 5 讨论函数 f（x） （a0）在区间（-1 ，1）内的单调性分析 根据函数的单调性定义求解解：设-1x 1x 2，则f（x 1）-f（x 2） - x1， x2（-1，1），且 x1x ，x1-x20，1+x 1x20，（1-x 21）（1-x 22）0于是，当 a0 时，f （x 1）f （x 2）；当 a0 时，f （x 1）f（x 2）典型例题故当 a0 时，函数在（-1 ，1）上是增函数；当 a0 时，函数在（ -1，1）上为减函数
7、评析 根据定义讨论（或证明）函数的单调性的一般步骤是：（1）设 x1、x 2 是给定区间内任意两个值，且 x1x 2；（2）作差 f（x 1）-f （x 2），并将此差式变形；（3）判断 f（x 1）-f （x 2）的正负，从而确定函数的单调性例 6 求证：f（x）x+ （k0）在区间（0，k上单调递减解：设 0x 1x 2k，则f（x 1）-f（x 2） x1+ -x2- 0 x1 x2k，x1-x20，0x 1x2k 2，f（ x1）-f（x 2）0f（ x1）f（x 2），f（ x）x+ 中（0，k上是减函数评析 函数 f（x）在给定区间上的单调性反映了函数 f（ x）在区间上函数值的变
8、化趋势，是函数在区间上的整体性质因此，若要证明 f（x）在a,b上是增函数（减函数），就必须证明对于区间a,b上任意两点 x1，x 2，当 x1x 2 时，都有不等式 f（x 1）f（x 2）（f （ x1）f （x 2）类似可以证明：函数 f（x）x+ （k0）在区间k，+上是增函数例 7 判断函数 f（x） 的奇偶性分析 确定函数的定义域后可脱去绝对值符号典型例题解：由 得函数的定义域为-1，1这时，x-2 2-xf（ x） ，f（ -x） f（x）且注意到 f（x）不恒为零，从而可知， f（x） 是偶函数，不是奇函数评析 由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性，若不作深入思考，便会作出其非奇非偶的判断但隐含条件（定义域）被揭示之后，函数的奇偶性就非常明显了这样看来，解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题过程
