1、 1.3.2(1)函数的奇偶性【教学目标】1.理解函数的奇偶性及其几何意义；2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3.学会判断函数的奇偶性；【教学重难点】教学重点：函数的奇偶性及其几何意义教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式【教学过程】“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？提出问题 如图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.结论：这两个函数之间的图象都关于 y 轴对称. 那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于 y 轴对称呢？填写表 1 和表 2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？x -3 -2 -1 0 1
2、2 3f(x)=x2表 1x -3 -2 -1 0 1 2 3f(x)=|x|表 2结论：这两个函数的解析式都满足：f(-3)=f(3); f(-2)=f(2); f(-1)=f(1).可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=f(x).定义：1偶函数一般地，对于函数 的定义域内的任意一个 ，都有 ，那么 就叫做偶函()fxx()fxf()fx数观察函数 f(x)=x 和 f(x)= 的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？12奇函数一般地，对于函数 的定义域的任意一个 ，都有 ，那么 就叫做奇函()f
3、xx()(fxf()fx数注意：1、如果函数 是奇函数或偶函数，我们就说函数 具有奇偶性；函数的奇偶性是函数()yfx ()yfx的整体性质；2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数；3、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 ，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称） 如果一个函数的定义域不关于“0”x（原点）对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；4、偶函数的图象关于 y 轴对称, 反过来，如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数为偶函数 且 ()|)fx奇函数的图象关于原
4、点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数.且 f(0)=05、可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法 用定义判断函数奇偶性的步骤是(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断 或 是否恒成立；()(fxf()fxf（3） 、作出相应结论.若 ；()0,ffff或 则 是 偶 函 数若 ()()或 则 是 奇 函 数例判断下列函数的奇偶性（1） 为非奇非偶函数2()1,fx（2） 为非奇非偶函数3（3） 奇函数f)(（4） 1xx（5）f(x) =x+ ； 奇函数（6） 奇函数21()|
5、xf（7） 既是奇函数又是偶函数 2()f（8） 为非奇非偶函数0,ax常 用 结 论 ：(1) . 两 个 偶 函 数 相 加 所 得 的 和 为 偶 函 数 . (2) . 两 个 奇 函 数 相 加 所 得 的 和 为 奇 函 数 . (3) . 一 个 偶 函 数 与 一 个 奇 函 数 相 加 所 得 的 和 为 非 奇 函 数 与 非 偶 函 数 . (4) . 两 个 偶 函 数 相 乘 所 得 的 积 为 偶 函 数 . (5) . 两 个 奇 函 数 相 乘 所 得 的 积 为 偶 函 数 . (6) . 一 个 偶 函 数 与 一 个 奇 函 数 相 乘 所 得 的 积 为
6、 奇 函 数 .1.3.2(2)函数的奇偶性一分段函数奇偶性的判断例 1.判断函数的奇偶性：21(0)()xg解：当 0 时， 0，于是xx2211()()()(ggx当 0 时， 0，于是222()()(1)(xx综上可知， 是奇函数g练 习 ： 1.证 明 ， 是 奇 函 数 .)0(320)(2xxf例 2. 为 R 上的偶函数，且当 时， ，则当 时，)(xf )0,(x)1()xf ),0(xx(x+1) 若 f(x)是奇函数呢？二已知函数的奇偶性求参数值：例 3、已知函数 是偶函数，求实数 的值2()(1)3fxmxm解： 是偶函数， 恒成立，2()f()fxf即 恒成立，2(1)
7、3m2() 恒成立， ，即 (1)0x01练习：1. 如果二次函数 是偶函数，则 02()yabcb2已知函数 f（ x） ax2 bx3 a b 是偶函数，且其定义域为 a1，2 a ，则 a= b= 0 13三构造奇偶函数求值 例 4、已知函数 ，若 ，求 的值。53()8fxabx(2)10f(2)f【解】方法一：由题意得 53(2) 8fab 得53(2)f()16ff ，10()6f方法二：构造函数 ，则 一定是奇函数，又8gx53()gxabx(2)10f 因此 所以 ，即 (2)8g(2)1218f(2)6f练习 1.已知 f(x) x7 ax5 bx5，且 f(3)5，则 f(
8、3)( -15 )2.若 ， g（ x）都是奇函数， 在（0，）上有最大值 5，)xabgx则 f（ x）在（，0）上有最小值1 单调性与奇偶性例 1设定义在2，2上的偶函数 f（ x）在区间0，2上单调递减，若 f（1 m） f（ m） ，求实数 m 的取值范围 21例 2.设函数 f（ x）对任意 x，都有 f（x+y）=f（x）+f（y ），且 x0 时 f（x）0，f（1）=-1（1）求证：f（x）是奇函数（2）判断 f（x）的单调性并证明（3）试问当-3x3 时 f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果没有说出理由5、已知函数 是定义在 R 上的不恒为 0 的函数，且对于任意的 ，都有)(xf Rba,)(abaf（1） 、求 的值； 0 ， 01,0f（2） 、判断函数 的奇偶性，并加以证明 奇)(4、函数 是 R 上的偶函数，且在 上单调递增，则下列各式成立的是)(xf ),0（ B ）A B. )1(02ff )0(1)2(fffC. D.)(1
