埃舍尔镶嵌图形.doc

1、埃舍尔镶嵌图形百科名片埃舍尔镶嵌图形代表作埃舍尔镶嵌图形是一种基于数学原理的图形绘画方式，大概可分为单体镶嵌、双体镶嵌、多体镶嵌和渐变镶嵌等四种。目录定义一、埃舍尔的镶嵌图形二、镶嵌图形的构思过程 1几何形状的演变 2几何群组的运用 3形状的多重思维 4在镶嵌图形基础上的渐变三、埃舍尔镶嵌图形对于图形思维能力的培养展开编 辑 本 段 定 义埃 舍 尔 ， 全 名 毛 里 茨 科 内 流 斯 埃 舍 尔 （ Maurits Cornelius Escher） ， 一 名 对 现代 艺 术 影 响 深 远 ， 却 被 史 学 家 遗 忘 的 、 世 界 艺 术 史 上 “绝 无 仅 有 的 ”艺

2、术 家 。 和 其 他 依靠 感 性 进 行 创 作 的 艺 术 家 不 同 ， 埃 舍 尔 的 作 品 是 经 过 复 杂 的 理 性 思 维 的 产 物 。 他 从 事 物的 精 确 、 规 则 、 秩 序 等 特 性 中 发 现 了 美 ， 创 造 了 美 。 编 辑 本 段 一 、 埃 舍 尔 的 镶 嵌 图 形关 于 平 面 规 则 分 割 （ 平 面 镶 嵌 图 形 ） ， 埃 舍 尔 写 到 ： “在 数 学 领 域 ， 平 面 规 则 分 割已 经 从 理 论 上 获 得 了 充 分 的 研 究 数 学 家 打 开 了 一 扇 通 向 无 限 可 能 性 的 大 门 ， 但 是

3、他 们 自 身 并 没 有 进 入 其 中 看 看 。 他 们 特 殊 的 禀 赋 使 他 们 对 如 何 打 开 这 扇 门 的 方 式 更 感 兴趣 ， 而 对 隐 藏 在 其 后 的 花 园 不 感 兴 趣 。 ”埃 舍 尔 正 是 从 一 个 艺 术 家 的 角 度 ， 利 用 数 学 家的 发 现 ， 发 掘 了 美 ， 创 造 了 美 。 他 的 平 面 规 则 分 割 作 品 令 许 多 数 学 家 吃 惊 。 他 在 已 知 的17种 抽 象 平 面 分 割 群 组 形 式 上 创 造 了 许 多 具 象 镶 嵌 图 案 。 这 种 把 抽 象 的 几 何 形 状 赋 予具 象

4、 的 形 象 其 实 是 一 种 复 杂 的 图 形 思 维 过 程 。 要 完 成 具 象 镶 嵌 图 案 的 创 作 ， 对 各 个 图 形的 思 考 必 须 要 非 常 严 谨 ， 每 个 镶 嵌 图 形 既 要 考 虑 它 的 镶 嵌 可 能 性 ， 又 要 赋 予 具 体 的 形 象 ，而 且 这 种 镶 嵌 是 四 面 无 限 延 伸 的 ， 这 就 必 须 要 具 备 很 强 的 图 形 （ 图 像 ） 联 想 能 力 。 埃 舍 尔 的 图 形 镶 嵌 作 品 ， 可 以 将 其 分 为 单 体 镶 嵌 、 双 体 镶 嵌 、 多 体 镶 嵌 和 渐 变 镶 嵌 四 种形 式

5、。 编 辑 本 段 二 、 镶 嵌 图 形 的 构 思 过 程1 几 何 形 状 的 演 变通 过 对 埃 舍 尔 的 镶 嵌 图 形 的 研 究 发 现 ， 其 作 品 都 是 通 过 对 简 单 的 几 何 形 状 的 具 象 思维 而 逐 渐 演 绎 而 来 的 。 如 果 将 其 作 品 中 的 镶 嵌 图 形 作 逆 向 思 维 ， 即 向 简 单 的 几 何 形 状 演化 ， 我 们 会 发 现 到 最 后 只 是 一 个 简 单 的 正 方 形 而 已 。 由 此 可 见 ， 正 方 形 是 镶 嵌 的最 基 本 图 形 ， 一 切 复 杂 的 可 以 用 作 镶 嵌 的 图 形

6、 都 是 由 其 演 化 而 来 的 （ 如 图 1） 。 通 过对 正 方 形 作 可 镶 嵌 式 分 割 ， 会 得 到 很 多 几 何 形 ， 如 果 把 这 些 几 何 形 再 作 进 一 步 细 化 分 割 ，就 会 形 成 具 象 的 可 用 于 镶 嵌 的 图 形 。 这 样 看 起 来 似 乎 非 常 简 单 ， 其 实 不 然 ， 由 简 单 的 几何 形 状 到 演 化 为 具 象 的 图 形 的 过 程 ， 其 实 是 很 复 杂 的 一 种 思 维 过 程 ， 需 要 具 备 特 别 强 的图 形 思 维 及 联 想 能 力 才 可 能 做 到 。 2 几 何 群 组

7、的 运 用除 了 几 何 形 状 的 演 化 外 ， 为 了 便 于 从 整 体 上 把 握 镶 嵌 图 形 镶 嵌 的 可 能 性 ， 运 用 几 何群 组 的 形 式 是 很 有 必 要 的 。 迄 今 为 止 ， 数 学 家 共 找 到 17种 可 用 于 镶 嵌 的 几 何 群 组 ， 令数 学 家 吃 惊 的 是 ， 埃 舍 尔 的 镶 嵌 图 形 作 品 恰 巧 有 目 的 或 无 目 的 地 运 用 了 这 些 几 何 群 组 。如 埃 舍 尔 的 鱼 的 镶 嵌 作 品 就 是 采 用 的 几 何 群 组 形 式 而 创 作 的 （ 如 图 2） 。 无 疑 ， 这 些几 何

8、群 组 的 运 用 加 大 了 镶 嵌 图 形 的 可 行 性 ， 也 可 以 更 好 地 从 整 体 上 去 把 握 它 ， 但 这 些 同样 需 要 具 备 一 定 的 图 形 思 维 能 力 ， 否 则 ， 很 难 做 到 。 3 形 状 的 多 重 思 维即 空 域 形 状 的 多 重 性 具 象 思 维 （ 如 图 3） 。 对 于 空 域 形 状 可 以 联 想 到 大 雁 ， 也 可 以联 想 到 飞 鱼 。 4 在 镶 嵌 图 形 基 础 上 的 渐 变在 镶 嵌 图 形 的 基 础 上 作 渐 变 ， 看 起 来 要 比 创 作 镶 嵌 图 形 容 易 得 多 ， 但 其 实

9、 这 一 过 程也 异 常 复 杂 。 我 们 知 道 ， 镶 嵌 图 形 是 给 简 单 的 几 何 形 状 赋 予 复 杂 的 具 象 图 形 的 一 种 空 域思 维 ， 这 个 空 域 是 固 定 的 ， 因 此 是 静 态 的 。 而 把 镶 嵌 图 形 作 进 一 步 的 渐 变 处 理 则 是 动 态的 ， 这 种 动 态 性 表 现 在 对 不 同 空 域 的 连 续 性 思 维 ， 它 要 求 我 们 具 备 一 定 的 动 态 性 思 维 才有 可 能 完 成 。 也 就 是 说 ， 当 我 们 的 眼 睛 盯 着 一 个 空 域 时 ， 要 求 我 们 头 脑 中 还 要

10、 去 考 虑 第二 个 、 第 三 个 、 第 四 个 等 等 。 因 此 ， 不 具 备 动 态 性 思 维 是 不 可 能 创 造 出 渐 变 镶 嵌 图 形 的 。编 辑 本 段 三 、 埃 舍 尔 镶 嵌 图 形 对 于 图 形 思 维 能 力 的 培 养通 过 研 究 埃 舍 尔 镶 嵌 图 形 的 构 思 过 程 ， 我 们 不 难 发 现 ， 要 使 图 形 的 镶 嵌 成 为 可 能 ，需 要 具 有 超 强 的 空 域 图 形 思 维 、 联 想 ， 图 形 整 体 把 握 及 图 形 的 动 态 思 维 能 力 。 这 些 能 力是 图 形 思 维 必 须 具 备 的 能

11、力 ， 而 镶 嵌 图 形 的 创 作 过 程 对 于 这 些 能 力 的 培 养 是 很 有 帮 助 的 。如 果 拿 一 张 画 面 中 心 画 有 一 个 黑 点 的 白 纸 让 学 生 看 ， 就 会 发 现 ， 几 乎 100%的同 学 都 会 盯 住 那 个 黑 点 ， 而 对 黑 点 周 围 的 大 面 积 白 则 熟 视 无 睹 、 视 而 不 见 。 这 种 现 象 被称 为 “黑 点 式 黑 暗 性 思 维 ”。 笔 者 也 曾 做 过 一 个 测 验 ， 让 学 生 通 过 六 楼 的 窗 户 看 楼 下 的甬 道 ， 结 果 同 样 ， 几 乎 所 有 人 都 在 注

12、意 交 错 的 甬 道 及 甬 道 上 的 行 人 ， 没 有 一 个 人 去 留 意甬 道 之 间 形 成 的 空 隙 的 形 状 。 这 种 思 维 的 局 限 性 是 很 可 悲 的 。 而 埃 舍 尔 的 镶 嵌 图 形 恰 是训 练 这 些 平 时 熟 视 无 睹 、 视 而 不 见 的 思 维 空 白 区 域 。 在 把 这 个 空 白 区 域 赋 予 具 象 的 形 象的 同 时 ， 既 要 考 虑 其 镶 嵌 的 可 能 性 ， 又 要 赋 予 其 具 象 的 形 象 ， 而 且 ， 每 个 具 象 形 象 的 边缘 线 都 是 两 个 形 状 的 共 用 线 。 因 此 ，

13、要 时 刻 注 意 “一 线 两 形 ”的 问 题 ， 这 就 拓 展 了 思 维 ，增 强 了 思 维 的 能 动 性 。 这 种 思 维 过 程 是 一 种 复 杂 的 图 形 思 维 过 程 ， 它 对 图 形 的 联 想 能 力 、图 形 的 整 体 把 握 能 力 以 及 图 形 的 动 态 思 维 能 力 的 培 养 是 非 常 有 帮 助 的 。埃舍尔镶嵌图形代表作埃舍尔镶嵌图形是一种基于数学原理的图形绘画方式，大概可分为单体镶嵌、双体镶嵌、多体镶嵌和渐变镶嵌等四种。目录定义一、埃舍尔的镶嵌图形二、镶嵌图形的构思过程 1几何形状的演变 2几何群组的运用 3形状的多重思维 4在镶嵌

14、图形基础上的渐变三、埃舍尔镶嵌图形对于图形思维能力的培养展开编 辑 本 段 定 义埃 舍 尔 ， 全 名 毛 里 茨 科 内 流 斯 埃 舍 尔 （ Maurits Cornelius Escher） ， 一 名 对 现代 艺 术 影 响 深 远 ， 却 被 史 学 家 遗 忘 的 、 世 界 艺 术 史 上 “绝 无 仅 有 的 ”艺 术 家 。 和 其 他 依靠 感 性 进 行 创 作 的 艺 术 家 不 同 ， 埃 舍 尔 的 作 品 是 经 过 复 杂 的 理 性 思 维 的 产 物 。 他 从 事 物的 精 确 、 规 则 、 秩 序 等 特 性 中 发 现 了 美 ， 创 造 了

15、美 。 编 辑 本 段 一 、 埃 舍 尔 的 镶 嵌 图 形关 于 平 面 规 则 分 割 （ 平 面 镶 嵌 图 形 ） ， 埃 舍 尔 写 到 ： “在 数 学 领 域 ， 平 面 规 则 分 割已 经 从 理 论 上 获 得 了 充 分 的 研 究 数 学 家 打 开 了 一 扇 通 向 无 限 可 能 性 的 大 门 ， 但 是他 们 自 身 并 没 有 进 入 其 中 看 看 。 他 们 特 殊 的 禀 赋 使 他 们 对 如 何 打 开 这 扇 门 的 方 式 更 感 兴趣 ， 而 对 隐 藏 在 其 后 的 花 园 不 感 兴 趣 。 ”埃 舍 尔 正 是 从 一 个 艺 术

16、家 的 角 度 ， 利 用 数 学 家的 发 现 ， 发 掘 了 美 ， 创 造 了 美 。 他 的 平 面 规 则 分 割 作 品 令 许 多 数 学 家 吃 惊 。 他 在 已 知 的17种 抽 象 平 面 分 割 群 组 形 式 上 创 造 了 许 多 具 象 镶 嵌 图 案 。 这 种 把 抽 象 的 几 何 形 状 赋 予具 象 的 形 象 其 实 是 一 种 复 杂 的 图 形 思 维 过 程 。 要 完 成 具 象 镶 嵌 图 案 的 创 作 ， 对 各 个 图 形的 思 考 必 须 要 非 常 严 谨 ， 每 个 镶 嵌 图 形 既 要 考 虑 它 的 镶 嵌 可 能 性 ，

17、又 要 赋 予 具 体 的 形 象 ，而 且 这 种 镶 嵌 是 四 面 无 限 延 伸 的 ， 这 就 必 须 要 具 备 很 强 的 图 形 （ 图 像 ） 联 想 能 力 。 埃 舍 尔 的 图 形 镶 嵌 作 品 ， 可 以 将 其 分 为 单 体 镶 嵌 、 双 体 镶 嵌 、 多 体 镶 嵌 和 渐 变 镶 嵌 四 种形 式 。 编 辑 本 段 二 、 镶 嵌 图 形 的 构 思 过 程1 几 何 形 状 的 演 变通 过 对 埃 舍 尔 的 镶 嵌 图 形 的 研 究 发 现 ， 其 作 品 都 是 通 过 对 简 单 的 几 何 形 状 的 具 象 思维 而 逐 渐 演 绎 而

18、 来 的 。 如 果 将 其 作 品 中 的 镶 嵌 图 形 作 逆 向 思 维 ， 即 向 简 单 的 几 何 形 状 演化 ， 我 们 会 发 现 到 最 后 只 是 一 个 简 单 的 正 方 形 而 已 。 由 此 可 见 ， 正 方 形 是 镶 嵌 的最 基 本 图 形 ， 一 切 复 杂 的 可 以 用 作 镶 嵌 的 图 形 都 是 由 其 演 化 而 来 的 （ 如 图 1） 。 通 过对 正 方 形 作 可 镶 嵌 式 分 割 ， 会 得 到 很 多 几 何 形 ， 如 果 把 这 些 几 何 形 再 作 进 一 步 细 化 分 割 ，就 会 形 成 具 象 的 可 用 于

19、镶 嵌 的 图 形 。 这 样 看 起 来 似 乎 非 常 简 单 ， 其 实 不 然 ， 由 简 单 的 几何 形 状 到 演 化 为 具 象 的 图 形 的 过 程 ， 其 实 是 很 复 杂 的 一 种 思 维 过 程 ， 需 要 具 备 特 别 强 的图 形 思 维 及 联 想 能 力 才 可 能 做 到 。 2 几 何 群 组 的 运 用除 了 几 何 形 状 的 演 化 外 ， 为 了 便 于 从 整 体 上 把 握 镶 嵌 图 形 镶 嵌 的 可 能 性 ， 运 用 几 何群 组 的 形 式 是 很 有 必 要 的 。 迄 今 为 止 ， 数 学 家 共 找 到 17种 可 用

20、于 镶 嵌 的 几 何 群 组 ， 令数 学 家 吃 惊 的 是 ， 埃 舍 尔 的 镶 嵌 图 形 作 品 恰 巧 有 目 的 或 无 目 的 地 运 用 了 这 些 几 何 群 组 。如 埃 舍 尔 的 鱼 的 镶 嵌 作 品 就 是 采 用 的 几 何 群 组 形 式 而 创 作 的 （ 如 图 2） 。 无 疑 ， 这 些几 何 群 组 的 运 用 加 大 了 镶 嵌 图 形 的 可 行 性 ， 也 可 以 更 好 地 从 整 体 上 去 把 握 它 ， 但 这 些 同样 需 要 具 备 一 定 的 图 形 思 维 能 力 ， 否 则 ， 很 难 做 到 。 3 形 状 的 多 重 思

21、 维即 空 域 形 状 的 多 重 性 具 象 思 维 （ 如 图 3） 。 对 于 空 域 形 状 可 以 联 想 到 大 雁 ， 也 可 以联 想 到 飞 鱼 。 4 在 镶 嵌 图 形 基 础 上 的 渐 变在 镶 嵌 图 形 的 基 础 上 作 渐 变 ， 看 起 来 要 比 创 作 镶 嵌 图 形 容 易 得 多 ， 但 其 实 这 一 过 程也 异 常 复 杂 。 我 们 知 道 ， 镶 嵌 图 形 是 给 简 单 的 几 何 形 状 赋 予 复 杂 的 具 象 图 形 的 一 种 空 域思 维 ， 这 个 空 域 是 固 定 的 ， 因 此 是 静 态 的 。 而 把 镶 嵌 图

22、 形 作 进 一 步 的 渐 变 处 理 则 是 动 态的 ， 这 种 动 态 性 表 现 在 对 不 同 空 域 的 连 续 性 思 维 ， 它 要 求 我 们 具 备 一 定 的 动 态 性 思 维 才有 可 能 完 成 。 也 就 是 说 ， 当 我 们 的 眼 睛 盯 着 一 个 空 域 时 ， 要 求 我 们 头 脑 中 还 要 去 考 虑 第二 个 、 第 三 个 、 第 四 个 等 等 。 因 此 ， 不 具 备 动 态 性 思 维 是 不 可 能 创 造 出 渐 变 镶 嵌 图 形 的 。编 辑 本 段 三 、 埃 舍 尔 镶 嵌 图 形 对 于 图 形 思 维 能 力 的 培

23、 养通 过 研 究 埃 舍 尔 镶 嵌 图 形 的 构 思 过 程 ， 我 们 不 难 发 现 ， 要 使 图 形 的 镶 嵌 成 为 可 能 ，需 要 具 有 超 强 的 空 域 图 形 思 维 、 联 想 ， 图 形 整 体 把 握 及 图 形 的 动 态 思 维 能 力 。 这 些 能 力是 图 形 思 维 必 须 具 备 的 能 力 ， 而 镶 嵌 图 形 的 创 作 过 程 对 于 这 些 能 力 的 培 养 是 很 有 帮 助 的 。如 果 拿 一 张 画 面 中 心 画 有 一 个 黑 点 的 白 纸 让 学 生 看 ， 就 会 发 现 ， 几 乎 100%的同 学 都 会 盯

24、住 那 个 黑 点 ， 而 对 黑 点 周 围 的 大 面 积 白 则 熟 视 无 睹 、 视 而 不 见 。 这 种 现 象 被称 为 “黑 点 式 黑 暗 性 思 维 ”。 笔 者 也 曾 做 过 一 个 测 验 ， 让 学 生 通 过 六 楼 的 窗 户 看 楼 下 的甬 道 ， 结 果 同 样 ， 几 乎 所 有 人 都 在 注 意 交 错 的 甬 道 及 甬 道 上 的 行 人 ， 没 有 一 个 人 去 留 意甬 道 之 间 形 成 的 空 隙 的 形 状 。 这 种 思 维 的 局 限 性 是 很 可 悲 的 。 而 埃 舍 尔 的 镶 嵌 图 形 恰 是训 练 这 些 平 时

25、熟 视 无 睹 、 视 而 不 见 的 思 维 空 白 区 域 。 在 把 这 个 空 白 区 域 赋 予 具 象 的 形 象的 同 时 ， 既 要 考 虑 其 镶 嵌 的 可 能 性 ， 又 要 赋 予 其 具 象 的 形 象 ， 而 且 ， 每 个 具 象 形 象 的 边缘 线 都 是 两 个 形 状 的 共 用 线 。 因 此 ， 要 时 刻 注 意 “一 线 两 形 ”的 问 题 ， 这 就 拓 展 了 思 维 ，增 强 了 思 维 的 能 动 性 。 这 种 思 维 过 程 是 一 种 复 杂 的 图 形 思 维 过 程 ， 它 对 图 形 的 联 想 能 力 、图 形 的 整 体 把 握 能 力 以 及 图 形 的 动 态 思 维 能 力 的 培 养 是 非 常 有 帮 助 的 。