双曲线知识点总结.doc

1、双曲线知识点指导教师：郑军一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点 F1与 F2的距离之差的绝对值等于定长（| F1F2|）的点的轨迹（ 为常数） ） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j这两个定点叫双曲线的焦点121aP要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2 a| F1F2|.当| MF1| MF2|=2a 时，曲线仅表示焦点 F2所对应的一支；当| MF1| MF2|=2 a 时，曲线仅表示焦点 F1所对应的一支；当 2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以 F1、 F2为端点向外的两条射线；当 2a| F1F2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点 F

2、的距离与它到一条定直线 l 的距离之比是常数 e(e1)时，这个动点的轨迹是双曲线 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j这定点叫做双曲线的焦点，定直线 l 叫做双曲线的准线 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j二、 双曲线的标准方程：（a 0，b0）(焦点在 x 轴上 )；12byx（a 0，b0）(焦点在 y 轴上 )；21. 如果 项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果 项的系数是正数，则焦点在x 2yy 轴上. a 不一定大于 b.2. 与双曲线 共焦点的双曲线系方程是12by 122kbax3. 双曲线方程也可设为：21(0)xymn例题：已知双曲线 和椭圆

3、有相同的焦点，且过 点，求双曲线C269(3,4)P的轨迹方程。C三、 点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系：1 点与双曲线：点 在双曲线 的内部0(,)Pxy21(0,)xyab201xyab点 在双曲线 的外部0(,)2(,)20点 在双曲线 上0(,)Pxy21(0,)xyab20-=1xyab2 直线与双曲线： （代数法）设直线 ，双曲线 联立解得:lykxm)0,(12bayx2)( 22aab1) 时， 直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点） ；0b， ，或 k 不存在时直线与双曲线没有交点；kab2) 时，m存在时，k若 02b，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线

4、相交于一点；a若 ，2k2222()4()()amkbakmab时， ，直线与双曲线相交于两点；0220mbak时， ，直线与双曲线相离，没有交点；时 ， 直线与双曲线有一个交点；222mba若 不存在， 时，直线与双曲线没有交点；ka直线与双曲线相交于两点；m或3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线 过定点 ，双曲线:lykx0(,)Pxy )0,(12bayx1).当点 在双曲线内部时：0(,)P，直线与双曲线两支各有一个交点；ba，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；k或 或 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；k2).当点 在双曲线上时： 0(,)Pxy或 ，直线与

5、双曲线只交于点 ；bka20 0(,)Pxy直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点） ；（ ）或 （ ）或 或 不存在，20bxkay20bxkay0bka直线与双曲线在一支上有两个交点；当 时，0或 不存在，直线与双曲线只交于点 ；bka 0(,)Pxy或 时直线与双曲线的一支有两个交点；直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点） ；k3).当点 在双曲线外部时：0(,)Pxy当 时，直线与双曲线两支各有一个交点；bka或 或 不存在，直线与双曲线没有交点；当点 时， 0m时，过点 的直线与双曲线相切2bka0(,)Pxy时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过

6、点 的直线 和双曲线 ，仅有一个公共点，求直线 的(0,3)Pl2:14yCxl方程。四、 双曲线与渐近线的关系：1. 若双曲线方程为21(0,)xyab渐近线方程：2x2. 若双曲线方程为 （a0，b0）12xy渐近线方程： 2yx3. 若渐近线方程为 xaby0双曲线可设为 , .24. 若双曲线与 有公共渐近线12byax则双曲线的方程可设为 （ ，焦点在 x 轴上， ，焦点在 y2yx00轴上）五、 双曲线与切线方程：1. 双曲线 上一点 处的切线方程是 .21(0,)xyab0(,)Pxy021xyab2. 过双曲线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是2(,)0(,).021xyab

7、3. 双曲线 与直线 相切的条件是 .2(0,)ab0AxByC22AaBbc六、 双曲线的性质：双曲线 标准方程（焦点在 轴）x标准方程（焦点在 轴）y)0,(12bayx )0,(12baxy第一定义：平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值是常数（小于 ）的1F2 12F点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。aMF2121第二定义：平面内与一个定点 和一条定直线 的距离的比是常数 ，当 时，Fle1动点的轨迹是双曲线。定点 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数 （ ）叫做双曲线的离心率。e1定义范围 ，xayR，yaxR对称轴 轴 ， 轴；实轴长为

8、,虚轴长为22b对称中心 原点 (0,)O1Fc2,c 1(0,)Fc2(0,)c焦点坐标 焦点在实轴上， ；焦距：2ab顶点坐标（ ,0） ( ,0)a(0, ,) (0， )a离心率 1)， ， e 越大则双曲线开口的开阔度越大ec22cax2cy2准线方程 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离： ca2顶点到准线的距离顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为1A21l2ca2顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为 xyP12xyP 1F2xyP 1F2PxyP1F2FP焦点到准线的距离焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为1F21l22abc焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为 渐近线方程(

9、)xaby实虚 ( )yax实虚共渐近线的双曲线系方程（ ）k20（ ）kb20直线和双曲线的位置双曲线 与直线 的位置关系：12byaxykx利用 转化为一元二次方程用判别式确定。2ykx二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦 AB 的弦长 2211()4ABkxx通径： 21y过双曲线上一点的切线或利用导数20bax 或利用导数02yab七、 弦长公式：若直线 与圆锥曲线相交于两点 A、B，且 分别为 A、B 的横坐标，则ykxb12,x2211()()ABy，若 分别为 A、B 的纵222 21114|kxkxxka12,y坐标，则 。2121122AByyykk通径的定义：过焦

10、点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于 A、B 两点，则弦长 。abAB2|若弦 AB 所在直线方程设为 ，则 。xkyb21ky特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解，例：直线 与双曲线 相交于 两点，则 =_1xy132yxBA,八、焦半径公式：双曲线 （a0 ，b0）上有一动点2b 0(,)Mxy当 在左支上时 ,0(,)Mxy10|MFexa2|Fea当 在右支上时 ,0注：焦半径公式是关于 的一次函数，具有单调性，当 在左支端点时 ，0x 0(,)xy1|MFca，当 在左支端点时 ，2|Fca(,)y1|ca2|ca九、等轴双曲线：（a0，b0 ）

11、当 时称双曲线为等轴双曲线；12yxab则：1. ；2.离心率 ；2e3.两渐近线互相垂直，分别为 y= ；x4.等轴双曲线的方程 ， ；2yx05. 等 轴 双 曲 线 上 任 意 一 点 到 中 心 的 距 离 是 它 到 两 个 焦 点 的 距 离 的 比 例 中 项 。 十、共轭双曲线：1.定义：以 已 知 双 曲 线 的 虚 轴 为 实 轴 ， 实 轴 为 虚 轴 的 双 曲 线 叫 做 原 双 曲 线 的 共轭 双 曲 线 ， 通 常 称 它 们 互 为 共 轭 双 曲 线 2.方 程 ：3.性 质 ：共 轭 双 曲 线 有 共 同 的 渐 近 线 ； 共 轭 双 曲 线 的 四

12、个 焦 点 共 圆 它 们 的 离 心 率 的 倒 数 的 平 方 和 等 于 1。 （a0;b0）的焦点为 与 ，且 p 为曲线上任意一点， 。1-2byaxF2 21PF则 的面积21FPcot2bS焦点三角形面积公式： )(,2t2121 PFPF双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2在点 P 处的内角.2. PT 平分PF 1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左

13、支）5. 若 在双曲线 （a0,b0）上，则过 的双曲线的切线方程是0(,)xy21xyb0P.021xyab6. 若 在双曲线 （a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切0(,)P21xyb点为 P1、P 2，则切点弦 P1P2的直线方程是 .021xyb7. 双曲线 （a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一xyb8. 点 ，则双曲线的焦点角形的面积为 .12F12tPSco9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10

14、. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A 2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11.AB 是双曲线 （a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中xyb ),(0yx点，则 ，即 。02KABOM 02yaxbKAB12. 若 在双曲线 （a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程0(,)Pxy1xy是 .202ab13. 目 录14. 双曲线知识点 .215.1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 双曲线定义： .216.2.双曲线的标准方程： .217.3.双曲线的标准方程判别方法是： .218.4.求双曲线的标准方程 .219.5.曲线的简单几何性质 .220.6 曲线的内外部 .321.7 曲线的方程与渐近线方程的关系 .322.8 双曲线的切线方程 .323.9 线与椭圆相交的弦长公式 .324. 高考题型解析 .425. 题型一：双曲线定义问题 .426. 题型二：双曲线的渐近线问题 .427. 题型三：双曲线的离心率问题 .428. 题型四：双曲线的距离问题 .529. 题型五：轨迹问题 .530. 高考例题解析 .631. 练习题 .1032.