(第24讲)直线与圆锥曲线问题的处理方法(1).doc

1、成都市第九中学 第 1 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 6 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j题目 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 高中数学复习专题讲座 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j t/.jt/.j hp:/.xjktygcow126:/.jt /.jm/.j htp:/.xjkygco126t:/.j t/w.jt/.j头 hp:/.xjktygcom126:/.jt /.jw/.j直线与圆锥曲线问题的处理方法(1)高考要求 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wx

2、jkygco 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次” ，有利于选拔的功能 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 重难点归纳 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究

3、它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 当直线与圆锥曲线相交时 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 涉及弦长问题，常用“ 韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式 )；涉及弦长的中点问题，常用 “点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍 头h

4、tp:/w.xjkygcom126t:/.j 典型题例示范讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco例 1 如图所示，抛物线 y2=4x 的顶点为 O，点 A 的坐标为(5， 0)，倾斜角为 的直线 l 与线段 OA 相交(不经过4点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点，求AMN 面积最大时直线 l 的方程，并求AMN 的最大面积 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题 头htp:/w.xjkygcom12

5、6t:/.j 本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法“韦达定理法” 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 将直线方程代入抛物线方程后，没有确定 m 的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 不等式法求最值忽略了适用的条件 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 技巧与方

6、法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解法一 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由题意，可设 l 的方程为 y=x+m,其中5m0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 由方程组 ,消去 y,得 x2+(2m4)x+m 2=0 4直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N，方程的判别式 =(2m4) 24m 2=16(1m)0,解得 m1,又5m0,m

7、的范围为( 5，0)BNMAoyx成都市第九中学 第 2 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 6 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=42m，x 1x2=m2,|MN |=4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 点 A 到直线 l 的距离为 d= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 5S =2(5+m) ,从而 S 2=4(1m )(5+m)21=2(22m)(5+m)(5+m)2( )3=128 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 5S 8 ,当且仅当 22m

8、 =5+m,即 m=1 时取等号 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 故直线 l 的方程为 y=x1，AMN 的最大面积为 8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解法二 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由题意，可设 l 与 x 轴相交于 B（ m,0） ,l 的方程为 x = y +m,其中 0m 5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 由方程组 ,消去 x,得 y 24 y 4m =0 24直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N，方程的判别式 =(4) 2+16m=16(1+m)0 必成立,设 M(x1,

9、y1),N(x2,y2)则 y 1+ y 2=4，y 1y 2=4m,S = 2125|(5y4 =4()2)()(351()()(12823mm S 8 ,当且仅当 即 m=1 时取等号 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 25()(1)2故直线 l 的方程为 y=x1，AMN 的最大面积为 8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 2 已知双曲线 C 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 2x2y 2=2 与点 P(1，2)(1)求过 P(1，2)点的直线 l 的斜率取值范围，使 l 与 C 分别有一个交点，两个交点，没有交

10、点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 成都市第九中学 第 3 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 6 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(2)若 Q(1，1)，试判断以 Q 为中点的弦是否存在 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法“点差法” 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 知

11、识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 第二问，算得以 Q 为中点弦的斜率为 2，就认为所求直线存在了 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 涉及弦长的中点问题，常用

12、“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)当直线 l 的斜率不存在时， l 的方程为 x=1,与曲线 C 有一个交点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 当 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y2=k(x1),代入 C 的方程，并整理得(2k 2)x2+2(k22k)xk 2+4k 6=0 (*)()当 2k 2=0,即 k= 时，方程 (*)有一个根，l 与 C 有一个交点()当 2k 20,即 k 时2 =2

13、(k 22k) 24(2k 2)(k 2+4k6)=16(32k)当 =0,即 32k=0,k= 时，方程( *)有一个实根，l 与 C 有一个交点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 当 0,即 k ,又 k ,故当 k 或 k 或k 时，方程( *)有两不等实根， l 与 C 有两个交点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2当 0，即 k 时，方程( *)无解，l 与 C 无交点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 23综上知 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 当 k= ,或 k= ，或 k 不存在时，l

14、与 C 只有一个交点；当 k ,或 k ,或 k 时，l 与 C 有两个交点；32当 k 时，l 与 C 没有交点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2(2)假设以 Q 为中点的弦存在，设为 AB，且 A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12y 12=2,2x22y 22=2 两式相减得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 2(x1x 2)(x1+x2)=(y1y 2)(y1+y2)又x 1+x2=2,y1+y2=2-1 121QPoyx成都市第九中学 第 4 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 6 页 头htp

15、:/w.xjkygcom126t:/.j2(x 1 x2)=y1 y1即 kAB= =221但渐近线斜率为 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点，所以假设不正确，即以 Q 为中点的弦不存在 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 3 已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在坐标轴上，直线 y=x+1 与椭圆交于 P 和 Q，且 OPOQ，| PQ|= ，求椭圆方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 0解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m0,n0) ，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得

16、(m+n)x 2+2nx+n1=0, =4n24(m+n )(n1)0,即 m+nmn 0,由 OPOQ ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0, +1=0,)(m+ n=2 又 2 2,)10()(4将 m+n=2,代入得mn= 43由、式得 m= ,n= 或 m= ,n=21231故椭圆方程为 + y2=1 或 x2+ y2=1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j x学生巩固练习 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y2

17、=1 相交于 A、B 两点，则| AB|的最4大值为( )A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 55045082 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+b(k0)交于 A、B 两点，且此两点的横成都市第九中学 第 5 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 6 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j坐标分别为 x1,x2,直线与 x

18、轴交点的横坐标是 x3,则恒有( )A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j x3=x1+x2 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j x1x2=x1x3+x2x3C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j x1+x2+x3=0 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j x1x2+x2x3+x3x1=03 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上，C、D 两点在抛物线 y2=x上，则正方形 ABCD 的面积为_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4 头htp:/w.xj

19、kygcom126t:/.j 已知抛物线 y2=2px(p0), 过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点 A、B，且|AB| 2p 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)求 a 的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求NAB 面积的最大值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知中心在原点，顶点 A1、A 2 在 x 轴上，离心率 e=的双曲线过点 P(6，6) 头htp:/w.xjkygcom126t

20、:/.j 3(1)求双曲线方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)动直线 l 经过A 1PA2 的重心 G，与双曲线交于不同的两点 M、N，问 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN，证明你的结论 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 参考答案:1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 弦长 |AB|= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 5422t04答案 头htp:/w.xjk

21、ygcom126t126.hp:/wxjkygco C2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 解方程组 ,得 ax2kxb=0,可知kxya2x1+x2= ,x1x2= ,x3= ,代入验证即可 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ab答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco B3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设 C、 D 所在直线方程为 y=x+b

22、,代入 y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长，利用|CD| 的长等于两平行直线 y=x+4 与 y=x+b 间的距离，求出b 的值，再代入求出|CD |的长 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 18 或 504 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)设直线 l 的方程为 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco y=xa,代入抛物线方程得 (xa) 2=2px,即x22(

23、a +p)x+a2=0|AB|= 2p 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4ap+2p 2p 2,即 4app 2)(4又p0,a 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)设 A(x1,y1)、B(x 2,y2)，AB 的中点 C(x,y),BNAoyx成都市第九中学 第 6 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 6 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j由(1)知，y 1=x1a,y 2=x2a,x 1+x2=2a+2p,则有 x= =p 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 21yp线段 AB 的垂直平分线的方程

24、为 yp=(xap),从而 N 点坐标为(a+2p,0）点 N 到 AB 的距离为 a2|从而 SNAB = 24)(21 papp当 a 有最大值 时，S 有最大值为 p2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 45 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)如图，设双曲线方程为 =1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2ba由已知得 ,解得 a2=9,b2=12 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3,122eba所以所求双曲线方程为 =1 头htp:/w.

25、xjkygcom126t:/.j 9(2)P、A 1、A 2 的坐标依次为(6,6)、(3 ，0)、(3，0） ，其重心 G 的坐标为(2，2）假设存在直线 l，使 G(2，2)平分线段 MN，设 M(x1,y1)，N (x2,y2) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 则有，k l=2121124984, 930xxyyyl 的方程为 y= (x2)+2,3由 ,消去 y,整理得 x24x +28=0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j )2(410891xy =164280,所求直线 l 不存在 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 课前后备注 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco A1 A2M NGPoy x