(第25讲)直线与圆锥曲线问题的处理方法(2).doc

1、成都市第九中学 第 1 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j题目 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 高中数学复习专题讲座 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j t/.jt/.j hp:/.xjktygcow126:/.jt /.jm/.j htp:/.xjkygco126t:/.j t/w.jt/.j头 hp:/.xjktygcom126:/.jt /.jw/.j直线与圆锥曲线问题的处理方法(2)高考要求 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wx

2、jkygco 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次” ，有利于选拔的功能 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 重难点归纳 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究

3、它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 当直线与圆锥曲线相交时 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 涉及弦长问题，常用“ 韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式 )；涉及弦长的中点问题，常用 “点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍 头h

4、tp:/w.xjkygcom126t:/.j 典型题例示范讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 例 1 如图，已知某椭圆的焦点是 F1(4，0) 、F 2(4，0)，过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B，且| F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco |F2A|、| F2B|、|F 2C|成等差数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦 AC 中点的横坐标；(3)设

5、弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m，求m 的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 错解分析 头htp:/w.xjkygcom

6、126t126.hp:/wxjkygco 第三问在表达出“k= y0”时，忽略了“k=0”时的情况，3625理不清题目中变量间的关系 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义( 即焦半径公式)求解，第三问利用 m 表示出弦 AC 的中点 P 的纵坐标 y0,利用 y0 的范围求 m 的范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)由椭圆定义及条件知，2

7、a=|F 1B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4,所以b= =3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j F1 F2B CBAoy x成都市第九中学 第 2 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j故椭圆方程为 =1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 952(2)由点 B(4,yB)在椭圆上，得| F2B|=|yB|= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 因为椭圆右准线方程为 x=59,离心率为 ，根据椭圆定义，有|F 2A|= ( x 1),|F2C|= ( x 2)，

8、425 454由|F 2A|、 |F2B|、 |F2C|成等差数列，得( x 1)+ ( x 2)=2 ,由此得出 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco x1+x2=8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 5459设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0= =4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (3)解法一 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 得 22959 得 9(x12x 22)+

9、25(y12y 22)=0,即 9 =0(x1x 2)()(5)( 21将 (k0)xyyx,2,42210101 代入上式，得 94+25y0( )=0 (k0)即 k= y0(当 k=0 时也成立) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 365由点 P(4，y 0)在弦 AC 的垂直平分线上，得 y0=4k+m,所以 m=y04k= y0 y0= y0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 95由点 P(4，y 0)在线段 BB( B与 B 关于 x 轴对称) 的内部，得 y 0 ,所以 m 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 595解法二 头htp:

10、/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 因为弦 AC 的中点为 P(4,y0)，所以直线 AC 的方程为yy 0= (x4)(k0) 将代入椭圆方程 =1,得925(9k2+25)x250(ky 0+4)x+25(ky0+4)2259k 2=0成都市第九中学 第 3 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j所以 x1+x2= =8,解得 k= y0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (当 k=0 时也成立)59)4(0k35(以下同解法一) 头htp:/w.xjkygcom126t

11、:/.j 例 2 若抛物线 上总存在关于直线 对称的两点，求a的范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j a解法一 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco （对称曲线相交法）曲线 关于直线 对称的曲线方程为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 0xya如果抛物线 上总存在关于直线 对称的两点，则两曲线21a0xy与 必有不在直线 上的两个不同的交点(如2yxy图所示)，从而可由 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 2ax2()ay 0,y 1xa代入 得 有两个不同的解，2y210xa 头htp

12、:/w.xjkygcom126t:/.j 3(1)4()4解法二 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco （对称点法）设抛物线 上存在异于于直线 的交2a0点的点 ，且 关于直线 的0(,)A0(,)xyxy对称点 也在抛物线 上 奎 屯王 新 敞新 疆 y 21a则必有两组解 奎 屯王 新 敞新 疆20()()xy(1)-(2)得 -x=ay2-1y=ax2-1x+y=0-1AAoyxy=ax2-1x+y=0-1AAoyx成都市第九中学 第 4 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j

13、必有两个不同解 奎 屯王 新 敞新 疆200()yxay ，0yx 有解 奎 屯王 新 敞新 疆 ()1a从而有 有两个不等的实数解 奎 屯王 新 敞新 疆20()1xa即 有两个不等的实数解 奎 屯王 新 敞新 疆2 奎 屯王 新 敞新 疆2()4()0 ，0a 奎 屯王 新 敞新 疆3解法二 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco （点差法）设抛物线 上以 为端点的弦关于直线 对2a12(,),Axy 0xy称，且以 为中点是抛物线 （即 ）内的0(,)M1ax2(1)a点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 从而有 头htp:/w.xjky

14、gcom126t:/.j 12010,xy由 2()ay(1)-(2)得 211()yx 21201Akax由 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 0001,(,)xyMaa从而有 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 23()()4a例 3 试确定 的取值范围，使得椭圆 上有不同两点关于m2 My=ax2-1x+y=0-1AAoy x成都市第九中学 第 5 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j直线 对称 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4y解 头htp:/w.xjkygc

15、om126t126.hp:/wxjkygco 设椭圆 上以 为端点的弦关于直线312(,),Axy对称，且以 为中点是椭圆 内的点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 40(,)M43从而有 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 12010,xy由 2()34(1)-(2)得 2211()3()yx 022114()4Akxy 由 0033A x由 在直线 上0(,)Mxy4xm00,3(,3)ymM从而有 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 222(3)421(,例 4 已知直线 过定点 A(4,0)且与抛物线 交于l 2:(0)CyP、Q 两点，若以

16、 PQ 为直径的圆恒过原点 O，求 的值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 可设直线 的方程为 代入l4xmy2得 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 80设 ，12(,),Pxy则 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 211212 ()8,4yppAMy=4x+mAA oyxPQA(4,0)oy x成都市第九中学 第 6 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j由题意知，OPOQ，则 0OPQA即

17、1268xyp p此时，抛物线的方程为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4学生巩固练习 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 在抛物线 y2=16x 内，通过点(2，1) 且在此点被平分的弦所在直线的方程是_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知两点 M(1， )、N(4， )，给出下列曲线方程 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 554x+2y1=0, x 2+y2=3, +y

18、2=1, y 2=1,在曲线上存在点 Pxx满足| MP|=|NP|的所有曲线方程是_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知双曲线 C 的两条渐近线都过原点，且都以点 A( ，0)为圆心，1 为半径的圆相切，双曲线的一个顶点 A1 与 A 点关于直线 y=x 对称 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)求双曲线 C 的方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)设直线 l 过点 A，斜率为 k,当 0 k1 时，双曲线 C 的上支上有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 ，试求 k 的值

19、及此时 B 点的坐标 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 参考答案:1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设所求直线与 y2=16x 相交于点 A、 B，且 A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得 y12=16x1,y22=16x2,两式相减得，( y1+y2）(y 1y 2)=16(x1x 2) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 即 kAB=8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2121x故所求直线方程为 y=8x15 头htp:/w.x

20、jkygcom126t:/.j 答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 8xy15=02 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 点 P 在线段 MN 的垂直平分线上，判断 MN 的垂直平分线于所给曲线是否存在交点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjky

21、gco (1)设双曲线的渐近线为 y=kx,由 d= =1,解得 k=1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j |2|k成都市第九中学 第 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j即渐近线为 y=x,又点 A 关于 y=x 对称点的坐标为(0 ， ) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j a= =b,所求双曲线 C 的方程为 x2y 2=2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2(2)设直线 l 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco y=k(x

22、 )(0k1 ,)依题意 B 点在平行的直线 l上，且 l 与 l间的距离为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设直线 l 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco y=kx+m,应有 ,21|2k化简得 m2+2 km=2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 把 l代入双曲线方程得(k 21)x 2+2mkx+m22=0,由 =4m2k24(k 21)(m 22)=0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 可得 m2+2k2=2 、两式相减得 k= m,代入 得 m2= ,解得 m= ,k= ,51052此时 x= ,y= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 故 B(2 , ) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 120课前后备注 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco