1、专题三: 含绝对值函数的最值问题1. 已知函数 ( )，若对任意的 ，不等式2()|fxa00,)x恒成立，求实数 的取值范围.1f不等式 化为2fxfx2214xaxa即： （*）对任意的 恒成立因为 ，所41aa0,0a以分如下情况讨论：来源:学科网 ZXXK当 时，不等式（ *）0x241,xaxa对 恒 成 立当 时，不等式（*）即1ax24160(,1xaxa对 恒 成 立由知 ，022()(,hx在 上 单 调 递 减262或11662a2min()410,()gag在 上 单 调 递 增只 需 min() 0hx只 需2.已知函数 f(x)|x a|，g(x )x 22ax1(
2、a 为正数)，且函数 f(x)与 g(x)的图象在 y 轴上的截距相等(1) 求 a 的值；(2) 求函数 f(x)g( x)的最值【解析】 (1)由题意 f(0)g(0) ，| a|1.又a0，a1.(2)由题意 f(x) g(x)|x 1|x 22x 1.当 x 1 时， f(x)g(x)x 23x 在1，)上单调递增，当 x1 时，f(x) g(x )x 2x 2 在 上单调递增，在(， 上单调递减 12，1) 12因此，函数 f(x)g(x )在(， 上单调递减，在 上单调递增 12， )所以，当 x 时，函数 f(x)g( x)的最小值为 ；函数无最大值12745.已知函数 ，其中
3、2()fxxaR（） 求函数 的单调区间；（）若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围4()16fx,2a6.设函数 ， 来源:学科网（1）若 ，求函 数 的零点；baxf|)(,R1,4ab()fx（2）若函数 在 上存在零点，求实数 的取值范围)(f1,0解：（）分类讨论解得： .4 分12,x（）函数 在 上存在零点，即 ， 上有解，)(xf1,0|xab0,1x令 ，只需 .5 分()|ga|(),byg当 时， ，在 递增，02()xx10所以 ，即 . .7 分,11当 时， ，对称轴a2()gxaxa2ax又当 在 递增，所以 ，即2,0()0,1g0b当 在 递增， 递减，且所以
4、 ，即1a()gx,2,2(),4agx20b. .10 分当 时，02 0,()1xaxa易知， 在 递增， 递减， 递减，所以 ，(g,2,min()0fx，2max),(1,4aff当 ， ，所以 ，即02max)(1)ffa()0,1gxa10b当 ， ，所以 ，即(1)a2ax(4ff 2,42.14 分综上所述：当 时，2(1)0b当 ，a24当 ， .15 210b分7.已知函数 243fxax（I）若 在区间 上不单调，求 的取值范围；0,1a（II）若对于任意的 ，存在 ，使得 ，求 的取值范围()0,20fxt解： 5 分02（II）解法： 9 分|113fxaxxa， 1
5、3 分Q003m,且上述两个不等式的等号均为 或 时取到，故02故 ，所以 15 分max1,24| af max|1ft、8.已知函数 2()1,()|1|fxgxa（）若当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；R()fgx a（）求函数 在区间 上的最大值|hf2,解：（1）不等式 对 恒成立，即 （*）对 恒成立，()f (1)|x xR当 时， （*）显然成立，此时 ； 1xaR当 时， （*）可变形为 ，令21|x21,(),() .|xx因为当 时， ，当 时， ，所以 ，故此时 . ()x()22a综合，得所求实数 的取值范围是 . aa（2）因为 = 10 分2()|()|
6、1|hfgx21,),(,.axx当 时，结合图形可知 在 上递减，在 上递增，1,a即 ()h2,112且 ，经比较，此时 在 上的最大值为 .(2)3,(2)3hha()x,3a当 时，结合图形可知 在 ， 上递减，0即 ,在 ， 上递增，且 ， ，1,2a,(2)3,(2)hah2()14h经比较，知此时 在 上的最大值为 .()hx,当 时，结合图形可知 在 ， 上递减，0,0即- ()x,1,2a在 ， 上递增，且 ， ，1,2a,(2)3,23hah()14h经比较，知此时 在 上的最大值为 .()hx,当 时，结合图形可知 在 ， 上递减，3,a即- ()x,2a,在 ， 上递增，且 , ，,12a(2)30ha30h经比较，知此时 在 上的最大值为 .()hx,当 时，结合图形可知 在 上递减，在 上递增，3,即 ()x2,11,2故此时 在 上的最大值为 .()2,0h综上所述，当 时， 在 上的最大值为 ；0a ()hx,23a当 时， 在 上的最大值为 ；3当 时， 在 上的最大值为 0.a()hx,
