1.2正、余弦定理的应用.doc

1、11.2正、余弦定理的应用学习目标 1.能依据三角形中的边角关系和正弦定理余弦定理解决实际问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题；3.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题。学习过程 一、课前准备1、三角形 中的一些常用结论ABC内角和定理： 边角关系： , , , sinBAcos2sinBA2、正弦定理：设 分别为ABC 中角 A，B ，C 的对边， R 为外接圆的半径，则有ba_ =_=_=_变形一（化边为角）：_变形二（化角为边）： 变形三（三角形的面积公式）： 3、余弦定理：设 分别为ABC 中角 A，B ，C 的对边

2、， R 为外接圆的半径，cba,则有 ， ， 常用变形：_4、解三角形（1） 由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形。（2） 正弦定理可解决以下两类问题： （3） 余弦定理可解决以下两类问题： 二、新课导学1.求解斜三角形中的基本元素例 1：2.判断三角形的形状23例 2：3.正余弦定理综合应用例 3：在AB

3、C 中，角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c,且 b2+c2-a2+bc=0.(1)求角 A 的大小 ;【 分析分析 】 (1)b 2+c2-a2+bc=0 的结构形式,可联想到余弦定理,求出 cosA,从而求出 A 的值. (2)由 a= 及 b2+c2-a2+bc=0,可求出关于 b,c 的关系式,利用不等式,即可求出 bc 的最大值.(3)由正弦定理可实现将边化为角的功能,从而达到化简求值的目的 .4.实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等方面都要用到解三角形的知识，下面我们分类例析

4、：实际应用问题中有关的名称、术语在解决与三角形有关的实际问题时，经常出现一些有关的名词、术语，如仰角、俯角、方位角、方向角、铅直平面等。（1）铅直平面是指与海平面垂直的平面。（2）仰角与俯角在同一铅直平面内，视线与水平线的夹角，当视线在水平线之上时，称为仰角，当视线在水平线之下时，称为俯角（如图所示）。（3）方位角：从标准方向的北端起,顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角。方位角的取值范围为0360。如：方位角是 60的图形如图。3（4）方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）度。（一）测量问

5、题例 1. 如图，设 A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是55m， BAC= ， ACB= . 求 A、B 两点的距离( 精确到 0.1m). 5175提问 1： ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问 2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题题目条件告诉了边 AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出 AC 的对角，应用正弦定理算出 AB 边. 新知 1：基线在测量上，根据测量需要适当确

6、定的 叫基线. 例 2. 如图，A、B 两点都在河的对岸（不可到达） ，设计一种测量A、B 两点间距离的方法. 分析：这是例 1 的变式题，研究的是两个 的点之间的距离测量问题. 首先需要构造三角形，所以需要确定 C、D 两点. 根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出 AC 和 BC，再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离. 变式：若在河岸选取相距 40 米的 C、D 两点，测得 BCA=60， ACD=30， CDB=45， BDA =60.例 3 如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D.现测得BCD=,B

7、DC=,CD=s ，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ，求塔高 AB.4（二.）航海问题例 4 某舰艇测得灯塔在它的东 15北的方向，此舰艇以 30 海里/小时的速度向正东前进，30 分钟后又测得灯塔在它的东 30北。若此灯塔周围 10 海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？例 5 如图 3，甲船在 A 处，乙船在 A 处的南偏东 45 方向，距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度沿南 偏西 15方向航行，若甲船以 28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多少 h 能尽快追上乙船？ 点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ABC、AB 边

8、已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间 t 有关。这样根据余弦定理，可列出关于 t 的一元二次方程，解出 t 的值。小结：图 3ABC北4515西北南东A B C3015图 25解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A.

9、 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测：1. 台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动，离台风中心 30 千米内的地区为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 千米处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）A0.5 小时 B1 小时 C1.5 小时 D2 小时2在 C中， :12， 的平分线 把三角形面积分成 3:2两部分，则 cos（ ） A 3 B C 34 D 03. 一船以每小时 15km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 ，行驶h 后，船到达 C 处，看60到这个灯塔在北偏东 ，这时船与灯塔的距离为 km154.某观测站在城 A 的南

10、偏西 20的方向,由城 A 出发的一条公路 ,走向是南偏东 40,在 C 处测得公路上 B 处有一人,距 C 为 31 千米,正沿公路向 A 城走去,走了 20 千米后到达 D 处,此时 CD 间的距离为 21 千米,问:这人还要走多少千米才能到达 A 城?1在三角形 ABC 中，A120，AB5，BC7，则 的值为( )sinBsinCA. B. C. D.35 53 85 582在ABC 中，角 A，B 均为锐角，且 cosAsinB，则ABC 的形状是( )A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 3一船向正北航行，看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线

11、上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60，另一灯塔在船的南偏西 75，则这艘船的速度是每小时( )A5 海里 B5 海里 C10 海里 D10 海里3 340 km30 kmD450 BAC 东东东东64如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西 30，相距 10 海里 C 处的乙船，乙船立即朝北偏东 角的方向沿直线前往 B 处救援，则 sin 的值等于( ) A. B. C. D.217 22 32 57145.一船自西向东航行，上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75、距塔 68

12、海里的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船航行的速度为 ( ) 海里/时A. B 34 C. D341762 6 1722 26如图，在四边形 ABCD 中，已知 ADCD，AD 10， AB14，BDA60，BCD135，则 BC 的长为_7一船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一灯塔 M 在北偏东 60方向，行驶 4 h 后，船到达 B 处，看到这个灯塔在北偏东 15方向，这时船与灯塔的距离为_km.8. 某人在塔的正东沿着南偏西 600 的方向前进 40 米后望见在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为 300，求塔高。7课后作业参考答案1.

13、解析：由余弦定理可得 25AC 210AC cos12049AC3，由正弦定理得 ，sinBsinC ACAB 352.解析：选 C.cosAsin( A)sinB， A ，B 都是锐角，则 AB，AB .2 2 2 2 23.解析：选 C.如图，依题意有 BAC=60，BAD=75 ，所以CAD=CDA=15 ，从而 CD=CA=10，在直角三角形 ABC 中，得 AB=5，于是这艘船的速度是 =1050.54.解析：选 D.根据题目条件可作图如图：在 ABC 中，AB20，AC10，CAB120，由余弦定理有BC2AC 2AB 22AC ABcosCAB20 210 222010cos12

14、0 700，BC10 ，再由正弦定理得7 ，sin ACB ，cosACB .所以 sinsin(30ABsin ACB BCsin CAB ABsin CABBC 20sin120107 217 277ACB )sin30cosACBcos30sinACB .12 277 32 217 57145.解析：选 A.如图，由题意知 MPN7545120 ，PNM45.在PMN 中，由正弦定理，得 MNsin120，MN 68 34 .又由 M 到 N 所用时间为 14104( 小时)，船的航行速度 v PMsin453222 6 3464 172 66.解析：在ABD 中，设 BDx，则 BA2

15、BD 2AD 22BD ADcosBDA，即 142x 210 2210xcos60，整理得 x210x960，解之得 x116，x 26(舍去) 在BCD 中，由正弦定理： ，BC sin308 .BCsin CDB BDsin BCD 16sin135 27.解析：如图，依题意有 AB15460，MAB 30，AMB 45，在AMB 中，由正弦定理得 60sin45，解得 BM30 (km)BMsin30 28.分析：某人在 C 处，AB 为塔高，他沿 CD 前进，CD=40 米，此时DBF=45 0，从 C 到 D 沿途测塔的仰角，只有 B 到测试点的距离最短，仰角才最大，这是因为 ta

16、nAEB= ，AB 为定值，BE 最小时，仰角最大。要求ABE出塔高 AB，必须先求 BE，而要求 BE，需先求 BD（或 BC）解答：如图，某人在 C 处，AB 为塔高，他沿 CD 前进，CD=40 ，此时DBF=45 0，过点 B 作 BECD 于E，则 AEB=300，在 BCD 中，CD=40 ，BCD=30 0， DBC=135 0，由正弦定理，得， BD= 。 BDE=180 0-1350-300=150。在 RtBED 中，sinsiCDB40sin32158BE=Dbsin150=20 =10 .在 RtABE 中，AEB=30 0，AB=Betan30 0= (米)26431 13故所求的塔高为 米。1()3