(第22讲)曲线轨迹方程的求法.doc

1、成都市第九中学 第 1 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 8 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j题目 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 高中数学复习专题讲座 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j t/.jt/.j hp:/.xjktygcow126:/.jt /.jm/.j htp:/.xjkygco126t:/.j t/w.jt/.j头 hp:/.xjktygcom126:/.jt曲线的轨迹方程的求法高考要求 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 求曲线的轨迹方程

2、是解析几何的两个基本问题之一 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 重难点归纳 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法

3、 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (4)参数法 若动点的坐标(x ,y)中的 x,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程 头

4、htp:/w.xjkygcom126t:/.j 求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 典型题例示范讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 例 1 如图所示，已知 P(4，0)是圆 x2+y2=36 内的一点，A 、 B 是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.h

5、p:/wxjkygco 本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段 AB 中点的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 欲求 Q 的轨迹方程，应先求 R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 技巧与方法 头htp:/w.xjkyg

6、com126t126.hp:/wxjkygco 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设 AB 的中点为 R，坐标为( x,y)，则在 RtABP 中，|AR|=|PR| 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 又因为 R 是弦 AB 的中点，依垂径定理 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 在 RtOAR 中，|AR|2=|AO

7、|2|OR| 2=36(x 2+y2)又|AR|=|PR|= 4 BQRAPoy x成都市第九中学 第 2 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 8 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j所以有(x4) 2+y2=36(x 2+y2),即 x2+y24x10=0因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设 Q(x,y)，R( x1,y1)，因为 R 是 PQ 的中点，所以 x1= ,20,41y代入方程 x2+y24x 10=0, 得10=0)(整理得 头htp:/w.xjk

8、ygcom126t126.hp:/wxjkygco x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 2 设点 A 和 B 为抛物线 y2=4px(p0)上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 直线

9、与抛物线的位置关系 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 当设 A、B 两点的坐标分别为( x1,y1),(x2,y2)时，注意对“x1=x2”的讨论 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 将动点的坐标 x、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于 x、y 的关系 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解法一 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wx

10、jkygco 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x 0)直线 AB 的方程为 x=my+a由 OM AB，得 m=由 y2=4px 及 x=my+a，消去 x,得 y24pmy 4pa=0所以 y1y2=4pa , x1x2= 2()所以，由 OAOB，得 x1x2 =y 1y2所以 2ap故 x=my+4p,用 m= 代入，得 x2+y24px=0(x 0)故动点 M 的轨迹方程为 x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0) 为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解法二 头htp:/w.xjkygcom12

11、6t126.hp:/wxjkygco 设 OA 的方程为 ，代入 y2=4px 得2(,)pAk则 OB 的方程为 ，代入 y2=4px 得kB AB 的方程为 ，过定点 ，2()1yx(,0)N NAMBoy x成都市第九中学 第 3 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 8 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j由 OM AB，得 M 在以 ON 为直径的圆上（O 点除外）故动点 M 的轨迹方程为 x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0) 为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解法三 头ht

12、p:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设 M(x,y) (x 0)，OA 的方程为 ，k代入 y2=4px 得 2Ak则 OB 的方程为 ，代入 y2=4px 得1x2(,)Bpk由 OM AB，得M 既在以 OA 为直径的圆 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 上，20xy又在以 OB 为直径的圆 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 上（Okp点除外） ， +得 x2+y24px =0(x0)2k故动点 M 的轨迹方程为 x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0) 为圆心，以 2

13、p 为半径的圆，去掉坐标原点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 3 某检验员通常用一个直径为 2 cm 和一个直径为 1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为 3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 圆锥曲线的定义，求两曲线的交点 头ht

14、p:/w.xjkygcom126t:/.j 错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设直径为 3,2,1 的三圆圆心分别为 O、A、B，问题转化为求两等圆 P、Q

15、 ,使它们与O 相内切，与A、B 相外切 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 建立如图所示的坐标系，并设P 的半径为 r,则|PA|+|PO|=(1+r)+(1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 5r) =2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 5点 P 在以 A、O 为焦点，长轴长 2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 5 的椭圆上，其方程为=1 325)4(16yx QPBAoy x成都市第九中学 第 4 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 8 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j同理 P 也

16、在以 O、B 为焦点，长轴长为 2 的椭圆上，其方程为(x )2+ y2=1 134由、可解得 ，)14,9(),1(Qr= 73)42(92故所求圆柱的直径为 cm 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 4 已知 A、B 为两定点，动点 M 到 A 与到 B 的距离比为常数 ,求点 M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 建立坐标系如图所示，设|AB|=2 a,则 A(a,0）,B(a,0) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设 M(x

17、,y）是轨迹上任意一点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 则由题设，得 = ,坐标代入，得|= ,化简得2)(yax(1 2)x2+(1 2)y2+2a(1+ 2)x+(1 2)a2=0(1)当 =1 时，即|MA|=|MB| 时，点 M 的轨迹方程是 x=0，点 M 的轨迹是直线( y 轴) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)当 1 时，点 M 的轨迹方程是 x2+y2+ x+a2=0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 点 M1)(的轨迹是以( ，0）为圆心， 为半径的圆 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2)(a|2a学

18、生巩固练习 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知椭圆的焦点是 F1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F1P 到 Q，使得 |PQ|=|PF2|，那么动点 Q 的轨迹是( )A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 圆 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 椭圆 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 双曲线的一支 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 抛物线2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设 A1、A 2 是椭圆

19、 =1 的长轴两个端点，P 1、P 2 是垂直于49A1A2 的弦的端点，则直线 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程为 ( )A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4992M(x,y)B(a,0)A(-a,0) oyx成都市第九中学 第 5 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 8 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 149214923 头htp:/w.xjkygcom126t:

20、/.j ABC 中， A 为动点， B、C 为定点，B( ,0),C( ,0)，且满足a条件 sinCsinB = sinA,则动点 A 的轨迹方程为_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距 10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为 A(5，0) 、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知 A、B、 C 是直线 l 上的三点，且|AB|=|

21、BC|=6，O切直线 l 于点 A，又过 B、C 作O 异于 l 的两切线，设这两切线交于点 P，求点 P 的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 双曲线 =1 的实轴为 A1A2，点 P 是双曲线上的一个动点，2bya引 A1Q A1P， A2QA 2P，A 1Q 与 A2Q 的交点为 Q，求 Q 点的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知双曲线 =1(m0,n0)的顶点yx为 A1、 A2，与 y 轴平行的直线 l 交双曲线于点P、Q

22、头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点 M 的轨迹方程；(2)当 mn 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知椭圆 =1(ab0), 点 P 为其上一点，F 1、F 2 为椭圆的焦点，F 1PF2 的外角平分线为 l，点 F2 关于 l 的对称点为 Q，F 2Q 交 l 于点 R 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)当 P 点在椭圆上运动时，求 R 形成的轨迹方程；(2)设点 R 形成的曲线为 C，直线 l

23、头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco y=k(x+ a)与曲线 C 相交于 A、B 两点，当 AOB 的面积取得最大值时，求 k 的值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 参考答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco |PF 1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PF 1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F 1Q|=2a,动点 Q 到定点 F1 的距离

24、等于定长 2a,故动点 Q 的轨迹是圆 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j O FEDCBAMPQA2A1oyxRPQF2F1oyx成都市第九中学 第 6 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 8 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco A2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设交点 P(x,y）,A 1(3,0), A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y 0)A

25、 1、P 1、P 共线， 30yA 2、P 2、P 共线， 0x解得 x0= 149,149,3,9 22yxyxy即代 入 得答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco C3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由 sinCsinB= sinA,得 cb= a,212应为双曲线一支，且实轴长为 ,故方程为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j )4(3162ayx答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco )4(13

26、2axya4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设 P(x,y） ，依题意有 ,化简得 P22)5(3)5( yxyx点轨迹方程为 4x2+4y285x +100=0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 4x2+4y285x+100=05 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设过 B、 C 异于 l 的两切线分别切O

27、 于 D、 E 两点，两切线交于点 P 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 由切线的性质知 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco |BA|=|BD|，|PD|=|PE| ，|CA|=|CE| ，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC |，故由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 B、 C 为两焦点的椭圆，以 l 所在的直线为 x 轴，以 BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点 P 的轨迹方程为 =1(y0)72816 头htp:/w.xjk

28、ygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设 P(x0,y0）(x a),Q (x,y) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j A 1(a,0), A2(a,0) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 由条件 axyaxy2000 )( 1得成都市第九中学 第 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 8 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j而点 P(x0,y0)在双曲线上，b 2x02a 2y02=a2b2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 即 b2(x

29、 2)a 2( )2=a2b2化简得 Q 点的轨迹方程为 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco a2x2b 2y2=a4(xa) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)设 P 点的坐标为(x 1,y1)，则 Q 点坐标为(x 1,y 1),又有 A1(m,0),A2(m,0),则 A1P 的方程为 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco y= A2Q 的方程为 头htp:/w.

30、xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco y= )(1得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco y2= )(221x又因点 P 在双曲线上，故 ).(,121221 mxnyn即代入并整理得 =1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 此即为 M 的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2(2)当 mn 时， M 的轨迹方程是椭圆 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ()当 mn 时，焦点坐标为( ,0)，准线方程为 x= ,离n2n心率 e= ；2()当 mn 时，焦点坐标为(0, ),准线方

31、程为 y= ,2nm2mn离心率 e= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)点 F2 关于 l 的对称点为 Q，连接 PQ，F 2PR=QPR ，| F2R|=|QR|，| PQ|=|PF2|又因为 l 为F 1PF2 外角的平分线，故点 F1、P、Q 在同一直线上，设存在R(x0,y0） ,Q(x1,y1),F1(c ,0),F2(c,0) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 成都市第九中学 第 8 页 头htp:/w.xjky

32、gcom126t:/.j 共 8 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x 1+c)2+y12=(2a)2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 又 210ycx得 x1=2x0c,y 1=2y0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2x 0)2+(2y0)2=(2a)2，x 02+y02=a2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 故 R 的轨迹方程为 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco x2+y2=a2(y0)(2)如右图，S AOB = |OA|OB|sinAOB= sinAOB2a当AOB=90时，S AOB 最大值为 a2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 此时弦心距|OC|= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j |a在 Rt AOC 中， AOC=45， .3,245cos1|2kkaOAC课前后备注 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco CBA oy x