(第9讲)指数函数、对数函数问题.doc

1、成都市第九中学 第 1 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 6 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j题目 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 高中数学复习专题讲座 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j t/.jt/.j hp:/.xjktygcow126:/.jt /.jm/.j htp:/.xjkygco126t:/.j t/w.jt/.j头 hp:/.xjktygcom126:/.jt /.jw/.j指数函数、对数函数问题 9 讲典型题例示范讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/

2、wxjkygco 例 1 已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图像交于 A、B 两点，分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数y=log2x 的图像交于 C、D 两点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)证明 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 点 C、D 和原点 O 在同一条直线上；(2)当 BC 平行于 x 轴时，求点 A 的坐标 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题主要考查对数函数图像、对数换底公式、对数方程、指

3、数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)证明三点共线的方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco kOC=kOD 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)第(2) 问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得 A 点坐标 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 不易考虑运用方程思想去解决实际问题

4、 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点 A 的坐标 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)证明 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x 2,由题意知 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco x11,x21,则 A、B 纵坐标分别为 log8x1,log8x2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j

5、因为 A、B 在过点 O 的直线上，所以 ,点 C、 D 坐标分别为(x 1,log2x1),(x2,log2x2),2818llx由于 log2x1= = 3log8x2,log81 logl,l382218所以 OC 的斜率 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco k1= ,12llxOD 的斜率 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco k2= ，28log3l由此可知 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco k1=k2,即 O、C、D 在同一条直线上 头htp:/w.xjkygcom12

6、6t:/.j (2)解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由 BC 平行于 x 轴知 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco log2x1=log8x2 即 log2x1= log2x2,代入 x2log8x1=x1log8x2 得 x13log8x1=3x1log8x1,3由于 x11 知 log8x10,x 13=3x1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 又 x11,x 1= ,则点 A 的坐标为( ，log 8 ) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 2 在 xOy 平面上有一点列

7、 P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn),对每个自然数 n 点 Pn位于函数 y=2000( )10ax(0bn+1bn+2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 则以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn+2+bn+1bn,即( )2+( )10,10a解得 a5( 1) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 5( 1) ;(3)若 F(x)的反函数 F1 (x),证明 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 方程 F1 (x)=0 有惟一解 头htp:/w.xjkygcom126t:

8、/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)由 0,且 2x 0 得 F(x)的定义域为(1，1)，设1x 1x 21,则F(x2)F (x1)=( )+( )12x122loglxx,)(log)( 21212xx 2x 10,2 x10,2x 20,上式第 2 项中对数的真数大于 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 因此 F(x2)F (x1)0,F(x2)F(x1),F(x) 在(1，1）上是增函数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)证明 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxj

9、kygco 由 y=f(x)= 得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 2y= ,l ,yf 1 (x)= ,f(x )的值域为 R，f -1 (x)的定义域为 R 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 当 n3 时，成都市第九中学 第 3 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 6 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jf-1(n) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 12121 nnnn用数学归纳法易证 2n2n+1(n3), 证略 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (3)证明

10、头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco F (0)= ,F 1 ( )=0,x= 是 F1 (x)=0 的一个根 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 假设 F1 (x)=0 还有一个解 x0(x0 ),则 F-1(x0)=0,于2是 F(0)=x0(x0 ) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 这是不可能的，故 F-1(x)=0 有惟一解 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 学生巩固练习 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 定义

11、在(,+)上的任意函数 f(x)都可以表示成一个奇函数 g(x)和一个偶函数 h(x)之和，如果 f(x)=lg(10x+1),其中 x(,+ ),那么( )A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j g(x)=x,h(x)=lg(10x+10 x+2)B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j g(x)= lg(10 x+1)+x,h(x)= lg(10 x+1)x21C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j g(x)= ,h(x)=lg(10x+1)D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j g(x)= ,h(x)=lg(10x+1)+ 22 头h

12、tp:/w.xjkygcom126t:/.j 当 a1 时，函数 y=logax 和 y=(1a) x 的图像只可能是 ( ) A1oy xB1oy xC1oy xD1oy x3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知函数 f(x)= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 则 f-1 (x1)=_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j )0( )log2x4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 如图，开始时，桶 1 中有 a L 水，t 分钟后剩 余的水符合指数衰减曲线 y1=ae nt,那么桶 2 中水就是 y2=aae nt,假设过 5

13、 分钟时，桶 1 和桶 2 的水相等，则再过_分钟桶 1 中的水只有 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 8a5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设函数 f(x)=loga(x3a)(a0 且 a1), 当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图像上的点时，点 Q(x2a,y)是函数 y=g(x)图像上的点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)写出函数 y=g(x)的解析式；(2)若当 xa+2,a+3 时，恒有 |f(x)g( x)|1,试确定 a 的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 6 头htp:/w.xjkygc

14、om126t:/.j 已知函数 f(x)=logax(a0 且 a1),(x(0,+),若 x1,x2(0,+),判断 f(x 1)+f(x2)与 f( )的大小，21x并加以证明 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知函数 x,y 满足 x1,y1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a0 且 a1),求 loga(xy)的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j y2=a-e-nty1=ae-nt 桶2桶1成都市第九中学

15、第 4 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 6 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设不等式 2(log x)2+9(log x)+90 的解集为 M，求当 xM 时函数 f(x)=(log2 )(log2 )的最大、最小值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 11 8x参考答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由题

16、意 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco g(x)+h(x)=lg(10x+1) 又 g(x)+h( x )=lg(10 x+1) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 即g(x)+h(x)=lg(10 x+1) 由得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco g(x)= ,h(x)=lg(10x+1) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco C2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjk

17、ygcom126t126.hp:/wxjkygco 当 a1 时，函数 y=logax 的图像只能在 A 和 C 中选，又 a1 时，y =(1a)x 为减函数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco B3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 容易求得 f- 1 (x)= ,)1( 2logx从而 f1 (x1)= ).( ,l12x答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco

18、)2( ,l1x4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由题意， 5 分钟后，y 1=aent ,y2=aae nt ,y1=y2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j n= ln2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设再过 t 分钟桶 1 中的水只有 ,58则 y1=aen(5+t) = ,解得 t=10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 8a答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 105 头htp:/w.xjkyg

19、com126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)设点 Q 的坐标为(x,y),则 x=x2a,y=y 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 即 x=x+2a,y=y 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 点 P(x,y)在函数 y=loga(x3a)的图像上，y=log a(x+2 a3a), 即 y=log a ,g(x)=log a 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2(2)由题意得 x3a=(a+2)3a=2a+20; = 0,1)3(又 a0 且 a1,0a1,|f(x)g( x)|=|

20、loga(x3a)log a |x=|loga(x24ax+3a 2)|f(x)g( x)|1,1log a(x24ax +3a2)1,0a1,a+22a 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j f(x)=x24ax+3a 2 在a+2,a+3 上为减函数， (x)=loga(x24ax +3a2)在a+2,a+3 上为减函数，从而 (x) max= (a+2)=loga(44a), (x) min= (a+3)=loga(96a),于是所求问题转化为求不等式组的解 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j )4(log691a由 loga(96a) 1 解得 0 a ,57

21、9成都市第九中学 第 5 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 6 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j由 loga(44a) 1 解得 0a ,54所求 a 的取值范围是 0a 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 796 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,x 1,x2(0,+),x 1x2( )2(当且仅当 x1=x2 时取“=”号)，当 a1 时，有 logax1x2log a(

22、 )2,1 logax1x2log a( )， (logax1+logax2)log a ,21x即 f(x1)+f(x2)f( )(当且仅当 x1=x2 时取“=” 号)21当 0a1 时，有 logax1x2log a( )2, (logax1+logax2)log a ,即 f(x 1)+f(x2)f ( )(当且仅当 x1=x2 时取“=”号） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2 21x7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由已知等式得 头htp:/w.xjkygcom126

23、t126.hp:/wxjkygco loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(log ax1) 2+(logay1) 2=4,令 u=logax,v=logay,k=logaxy,则( u1) 2+(v1) 2=4(uv0),k=u+v 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 在直角坐标系 uOv 内，圆弧(u1) 2+(v1) 2=4(uv0)与平行直线系 v=u+k 有公共点，分两类讨论 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)当 u0,v0 时，即 a1 时，结合判别式法与代点法得1+ k2(1+ );3

24、(2)当 u0,v0,即 0a1 时，同理得到 2(1 )k1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 23综上，当 a1 时，log axy 的最大值为 2+2 ，最小值为 1+ ；当 0a1 时，log axy 的最大值为 1 ，最小值为 22 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 38 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 2( x)2+9( x)+901llog(2 x+3)( x+3)0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3 x 头htp:/w.xjkygc

25、om126t:/.j 21l21l 21l3即 ( )3 x ( ) 21log21l21l( ) x( )3 ,2 x83即 M=x|x 2 ,8又 f(x)=(log2x1)(log 2x3)=log 22x4log 2x+3=(log2x2) 21 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 成都市第九中学 第 6 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 6 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2 x8, log 2x3当 log2x=2,即 x=4 时 ymin= 1;当 log2x=3,即 x=8 时，y max=0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j