层次分析法54039.doc

1、page1层 次 分 析 法 （ Analytic Hierarchy Process 简 称 AHP） 是 将 决 策 总 是 有 关 的 元 素 分 解 成 目 标 、 准 则 、 方 案 等 层 次， 在 此 基 础 之 上 进 行 定 性 和 定 量 分 析 的 决 策 方 法 。 该 方 法 是 美 国 运 筹 学 家 匹 茨 堡 大 学 教 授 萨 蒂 于 本 世 纪 70 年 代 初， 在 为 美 国 国 防 部 研 究 “根 据 各 个 工 业 部 门 对 国 家 福 利 的 贡 献 大 小 而 进 行 电 力 分 配 “课 题 时 ， 应 用 网 络 系 统 理 论 和 多

2、目标 综 合 评 价 方 法 ， 提 出 的 一 种 层 次 权 重 决 策 分 析 方 法 。 这 种 方 法 的 特 点 是 在 对 复 杂 的 决 策 问 题 的 本 质 、 影 响 因 素 及 其 内在 关 系 等 进 行 深 入 分 析 的 基 础 上 ， 利 用 较 少 的 定 量 信 息 使 决 策 的 思 维 过 程 数 学 化 ， 从 而 为 多 目 标 、 多 准 则 或 无 结 构 特 性的 复 杂 决 策 问 题 提 供 简 便 的 决 策 方 法 。 尤 其 适 合 于 对 决 策 结 果 难 于 直 接 准 确 计 量 的 场 合 。在 现 实 世 界 中 ， 往

3、往 会 遇 到 决 策 的 问 题 ， 比 如 如 何 选 择 旅 游 景 点 的 问 题 ， 选 择 升 学 志 愿 的 问 题 等 等 。 在 决 策 者作 出 最 后 的 决 定 以 前 ， 他 必 须 考 虑 很 多 方 面 的 因 素 或 者 判 断 准 则 ， 最 终 通 过 这 些 准 则 作 出 选 择 。 比 如 选 择 一 个 旅游 景 点 时 ， 你 可 以 从 宁 波 、 普 陀 山 、 浙 西 大 峡 谷 、 雁 荡 山 和 楠 溪 江 中 选 择 一 个 作 为 自 己 的 旅 游 目 的 地 ， 在 进 行 选 择时 ， 你 所 考 虑 的 因 素 有 旅 游 的

4、 费 用 、 旅 游 地 的 景 色 、 景 点 的 居 住 条 件 和 饮 食 状 况 以 及 交 通 状 况 等 等 。 这 些 因 素 是 相互 制 约 、 相 互 影 响 的 。 我 们 将 这 样 的 复 杂 系 统 称 为 一 个 决 策 系 统 。 这 些 决 策 系 统 中 很 多 因 素 之 间 的 比 较 往 往 无 法 用 定 量 的 方 式 描 述 ， 此 时 需 要 将 半 定 性 、 半 定 量 的 问 题 转 化 为 定 量 计 算 问 题 。 层 次 分 析 法 是 解 决 这 类 问 题 的 行 之 有 效 的方 法 。 层 次 分 析 法 将 复 杂 的 决

5、 策 系 统 层 次 化 ， 通 过 逐 层 比 较 各 种 关 联 因 素 的 重 要 性 来 为 分 析 、 决 策 提 供 定 量 的 依 据。 编 辑 本 段 层 次 分 析 法 的 基 本 步 骤1、 建 立 层 次 结 构 模 型 。 在 深 入 分 析 实 际 问 题 的 基 础 上 ， 将 有 关 的 各 个 因 素 按 照 不 同 属 性 自 上 而 下 地 分 解 成 若干 层 次 ， 同 一 层 的 诸 因 素 从 属 于 上 一 层 的 因 素 或 对 上 层 因 素 有 影 响 ， 同 时 又 支 配 下 一 层 的 因 素 或 受 到 下 层 因 素 的 作 用 。

6、最 上 层 为 目 标 层 ， 通 常 只 有 1 个 因 素 ， 最 下 层 通 常 为 方 案 或 对 象 层 ， 中 间 可 以 有 一 个 或 几 个 层 次 ， 通 常 为 准 则 或 指 标层 。 当 准 则 过 多 时 (譬 如 多 于 9 个 )应 进 一 步 分 解 出 子 准 则 层 。2、 构 造 成 对 比 较 阵 。 从 层 次 结 构 模 型 的 第 2 层 开 始 ， 对 于 从 属 于 (或 影 响 )上 一 层 每 个 因 素 的 同 一 层 诸 因 素 ， 用成 对 比 较 法 和 19 比 较 尺 度 构 追 成 对 比 较 阵 ， 直 到 最 下 层 。

7、3、 计 算 权 向 量 并 做 一 致 性 检 验 。 对 于 每 一 个 成 对 比 较 阵 计 算 最 大 特 征 根 及 对 应 特 征 向 量 ， 利 用 一 致 性 指 标 、 随 机一 致 性 指 标 和 一 致 性 比 率 做 一 致 性 检 验 。 若 检 验 通 过 ， 特 征 向 量 (归 一 化 后 )即 为 权 向 量 ： 若 不 通 过 ， 需 重 新 构 追 成 对比 较 阵 。4、 计 算 组 合 权 向 量 并 做 组 合 一 致 性 检 验 。 计 算 最 下 层 对 目 标 的 组 合 权 向 量 ， 并 根 据 公 式 做 组 合 一 致 性 检 验 ，

8、 若 检验 通 过 ， 则 可 按 照 组 合 权 向 量 表 示 的 结 果 进 行 决 策 ， 否 则 需 要 重 新 考 虑 模 型 或 重 新 构 造 那 些 一 致 性 比 率 较 大 的 成 对 比 较阵 。美 国 运 筹 学 家 A.L.saaty 于 20 世 纪 70 年 代 提 出 的 层 次 分 析 法 (AnalyticHihyProcess， 简 称 AHP 方 法 )， 是 对方 案 的 多 指 标 系 统 进 行 分 析 的 一 种 层 次 化 、 结 构 化 决 策 方 法 ， 它 将 决 策 者 对 复 杂 系 统 的 决 策 思 维 过 程 模 型 化 、

9、数 量 化 。应 用 这 种 方 法 ， 决 策 者 通 过 将 复 杂 问 题 分 解 为 若 干 层 次 和 若 干 因 素 ， 在 各 因 素 之 间 进 行 简 单 的 比 较 和 计 算 ， 就 可 以 得 出不 同 方 案 的 权 重 ， 为 最 佳 方 案 的 选 择 提 供 依 据 。 运 用 AHP 方 法 ， 大 体 可 分 为 以 下 三 个 步 骤 :步 骤 1:分 析 系 统 中 各 因 素 间 的 关 系 ， 对 同 一 层 次 各 元 素 关 于 上 一 层 次 中 某 一 准 则 的 重 要 性 进 行 两 两 比 较 ， 构 造 两两 比 较 的 判 断 矩

10、阵 ;步 骤 2:由 判 断 矩 阵 计 算 被 比 较 元 素 对 于 该 准 则 的 相 对 权 重 ， 并 进 行 判 断 矩 阵 的 一 致 性 检 验 ;步 骤 3:计 算 各 层 次 对 于 系 统 的 总 排 序 权 重 ， 并 进 行 排 序 。 最 后 ， 得 到 各 方 案 对 于 总 目 标 的 总 排 序 441。下 面 分 述 上 述 三 个 步 骤 的 实 现 过 程 。一 、 构 造 判 断 矩 阵层 次 分 析 法 的 一 个 重 要 特 点 就 是 用 两 两 重 要 性 程 度 之 比 的 形 式 表 示 出 两 个 方 案 的 相 应 重 要 性 程 度

11、等 级 。 如 对 某 一 准则 ， 对 其 下 的 n 个 方 案 进 行 两 两 对 比 ， 并 按 其 重 要 性 程 度 评 定 等 级 。 记 。 。 为 第 i 和 第 j 因 素 的 重 要 性 之 比 ， 表 4一 5 列 出 saaty 给 出 的 9 个 重 要 性 等 级 及 其 赋 值 。按 两 两 比 较 结 果 构 成 的 矩 阵 A 二 (a。 殊 。 ， 称 作 判 断 矩 阵 。 判 断 矩 阵 A 具 有 如 下 性 质 :。 。 ， 一 二 且 。 =厂 ， (， =， ， ， 即 A 为 正 互 反 矩 阵 。page2因 因 素 i 比 因 刹 刹 量

12、 化 值 值同 同 等 重 要 要 l稍 稍 微 重 要 要 3较 较 强 重 要 要 5强 强 烈 重 要 要 7极 极 端 重 要 要 9两 两 相 邻 判 断 的 中 间 值 值 2， 4， 6， 888二 、 计 算 权 重 向 量为 了 从 判 断 矩 阵 中 提 炼 出 有 用 的 信 息 ， 达 到 对 事 物 的 规 律 性 认 识 ， 为 决 策 提供 科 学 依 据 ， 就 需 要 计 算 判 断 矩 阵 的 权 重 向 量 。定 义 :判 断 矩 阵 A 二 (a、 )nx。 ， 如 对 i， j， k=1， 2， 。 ， 成 立 a。 =a 沃 a， ， 则 称 A 满

13、 足 一 致 性 ， 并 称 A 为 一致 性 矩 阵 。一 致 性 矩 阵 A 具 有 下 列 简 单 性 质 :1、 rank(刀 =l， 且 存 在 唯 一 的 非 零 特 征 值 礼 a、 =。 ， 其 对 应 的 特 征 向 量 归 一 化 后 (艺 wj)记 为 w(、 ， 、 ， wn)r，叫 做 权 重 向 量 ， 且 a。 =a/a， ;才 =l2、 A 的 列 向 量 之 和 经 规 范 化 后 的 向 量 ， 就 是 权 重 向 量 ;3、 A 的 任 一 列 向 量 经 规 范 化 后 的 向 量 ， 就 是 权 重 向 量 ;4、 对 A 的 全 部 列 向 量 求

14、每 一 分 量 的 几 何 平 均 ， 再 规 范 化 后 的 向 量 ， 就 是 权 重向 量 。因 此 ， 对 于 构 造 出 的 判 断 矩 阵 ， 就 可 以 求 出 最 大 特 征 值 所 对 应 的 特 征 向 量 ， 然 后 归 一 化 后 作 为 权 值 。 根 据 上 述 定 理中 的 性 质 2 和 性 质 4 即 得 到 判 断 矩 阵 满 足 一 致 性 的 条 件 下 求 取 权 值 的 方 法 ， 分 别 称 为 和 法 和 根 法 。 而 当 判 断 矩 阵 不 满足 一 致 性 时 ， 用 和 法 和 根 法 计 算 权 重 向 量 则 很 不 精 确 。三 、

15、 一 致 性 检 验当 判 断 矩 阵 的 阶 数 n2 时 ， 通 常 难 于 构 造 出 满 足 一 致 性 的 矩 阵 来 。 但 判 断 矩 阵 偏 离 一 致 性 条 件 又 应 有 一 个 度 ， 为此 ， 必 须 对 判 断 矩 阵 是 否 可 接 受 进 行 鉴 别 ， 这 就 是 一 致 性 检 验 的 内 涵 。定 理 :设 偏 是 正 互 反 矩 阵 A=(all)， ， 的 最 大 特 征 值 ， 则 必 有 蠕 、 。 ， 其 中 ， 等 式 当 且 仅 当 A 为 一 致 性 矩 阵 时 成 立 。应 用 上 面 的 定 理 ， 则 可 以 根 据 凡 a、 =。

16、是 否 成 立 来 检 验 矩 阵 的 一 致 性 ， 如 果 兄 max 比 n 大 得 越 多 ， 则 A 的 非 一 致性 程 度 就 越 严 重 。 考 虑 到 一 致 性 的 偏 离 可 能 是 由 于 随 机 原 因 造 成 的 ， 因 此 在 检 验 判 断 矩 阵 是 否 具 有 满 意 的 一 致 性 时 ， 还需 将 C 屿 平 均 随 机 一 致 性 指 标 Rl 进 行 比 较 ， 得 出 检 验 系 数 CR， 即 式 (4 一 11)CI 一 RI 一 一 CR如 果 CR0.1 时，认为判断矩阵不符合一致性要求，需要对该判断矩阵进行重新修正。【案例分析】市政工程项

17、目建设决策：计算权向量及检验上例计算所得的权向量及检验结果见下：表 4 层次计算权向量及检验结果表A 单(总)排序权值 B1 单排序权值 B2 单排序权值 B3 单排序权值B1 0.1429 C1 0.5000 C3 0.7500 C5 0.7500B2 0.4286 C2 0.5000 C4 0.2500 C6 0.2500B3 0.4286 CR 0.0000 CR 0.0000 CR 0.0000CR 0.0000C1 单排序权值 C2 单排序权值 C3 单排序权值 C4 单排序权值D1 0.8333 D1 0.7500 D1 0.1667 D1 0.8750D2 0.1667 D2 0

18、.2500 D2 0.8333 D2 0.1250CR 0.0000 CR 0.0000 CR 0.0000 CR 0.0000C5 单排序权值 C6 单排序权值D1 0.1667 D1 0.2500D2 0.8333 D2 0.7500CR 0.0000 CR 0.0000可以看出，所有单排序的 C.R.0.1，认为每个判断矩阵的一致性都是可以接受的。4. 层次总排序与检验总排序是指每一个判断矩阵各因素针对目标层（最上层）的相对权重。这一权重的计算采用从上而下的方法，逐层合成。很明显，第二层的单排序结果就是总排序结果。假定已经算出第 k-1 层 m 个元素相对于总目标的权重 w(k-1)=(

19、w1(k-1),w2(k-1),wm(k-1)T，第 k 层 n 个元素对于上一层（第 k 层）第 j个元素的单排序权重是 pj(k)=(p1j(k),p2j(k),pnj(k)T，其中不受 j 支配的元素的权重为零。令P(k)=(p1(k),p2(k),pn(k),表示第 k 层元素对第 k-1 层个元素的排序，则第 k 层元素对于总目标的总排序为：w(k)=(w1(k),w2(k),wn(k)T= p(k) w(k-1)或 I=1,2,nmjjii k(k)p)1()(同样，也需要对总排序结果进行一致性检验。假定已经算出针对第 k-1 层第 j 个元素为准则的 C.I.j(k)、R.I.

20、j(k)和 C.R.j(k), j=1,2,m,则第 k 层的综合检验指标page9C.I.j(k)=（C.I. 1(k) ,C.I.2(k) , C.I.m(k)）w (k-1)R.I.j(k)=（R.I. 1(k) ,R.I.2(k) , R.I.m(k)）w (k-1)()(.kkIRC当 C.R.(k)0.1 时，认为判断矩阵的整体一致性是可以接受的。【案例分析】市政工程项目建设决策：层次总排序及检验上例层次总排序及检验结果见下：表 5 C 层次总排序(CR = 0.0000)表C1 C2 C3 C4 C5 C60.0714 0.0714 0.3214 0.1071 0.3214 0.

21、1071表 6 D 层次总排序(CR = 0.0000)D1 D20.3408 0.6592可以看出，总排序的 C.R.0.1，认为判断矩阵的整体一致性是可以接受的5. 结果分析通过对排序结果的分析，得出最后的决策方案。【案例分析】市政工程项目建设决策：结果分析从方案层总排序的结果看，建地 铁（D2）的权重（0.6592）远远大于建高速路（D1）的权重（0.3408），因此，最终的决策方案是建地铁。根据层次排序过程分析决策思路。对于准则层 B 的 3 个因子，直接经济效益（B1）的权重最低（0.1429），社会效益（B2）和环境效益（B3 ）的权重都比较高（皆 为 0.4286），说明在决策中

22、比 较看重社会效益和环境效益。对于不看重的经济效益，其影响的两个因子直接经济效益（ C1）、间接带动效益（C2）单排序权重都是建高速路远远大于建地铁，对于比较看重的社会效益和 环境效益，其影响的四个因子中有三个因子的单排序权重都是建地铁远远大于建高速路，由此可以推出，建地铁方案由于社会效益和环境效益较为突出， 权重也会相对突出。从准则层 C 总排序结果也可以看出，方便日常出行（ C3）、减少环境污染（C5）是权重值较大的，而如果单独考虑这两个因素，方案排序都是建地 铁远远 大于建高速路。由此我们可以分析出决策思路，即决策比较看重的是社会效益和 环境效益，不太看重 经济效益，因此对于具体因子，方便日常出行和减少 环境污染成 为主要考虑因素，对于这两个因素，都是建地铁方案更佳，由此，最 终的方案选择建地铁也就顺理成章了。