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1、关于双层玻璃隔热效果的数学模型小组成员：目录关于双层玻璃隔热效果的数学模型 .1摘要 .11、 问题重述 .22、 问题分析 .23、 模型假设 .24、符号说明 .35、 模型的建立与求解 .36、 模型结果的分析 .5摘要 我国目前处于工业化的初级阶段，在节能方面还用很大的进步空间，而双层玻璃在隔音、隔热等方面有非常大的优势。我们通过研究将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层窗的热传导的对比，从而分析得出双层窗能减少多少热量损失的问题，进而对其给出定量分析结果。通过数学模型的建立，我们得知：比值 反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的Q功效，它只与 有关。 当 h 由 0 增加时， 迅速下降，而

2、当 h 超过一定值(比/hld如 h 4 )后 下降变缓，故 h 不宜选择过大。Q这样就说明了双层玻璃的可应用性，当我们使用它时，不仅节省了大量的材料，同时也带来了更好的隔音与隔热效果。进而可以将其进行改进，通过变换材料的方式，使其用于工业生产中，也是一个值得尝试的地方。1、 问题重述建立一个模型来描述热量通过窗户的传导(即流失) 过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗的热量传导进行对比,对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果。如果本节中取 k1/k2=30（k 为热传导系数），那么双层玻璃窗比用同样多的玻璃材料制成的单层玻璃窗节约热量大约百分之几？2、 问题分析我们要建

3、立一个模型来描述热量通过窗户的传导(即流失 )过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗( 如下图右图, 玻璃厚度为 2d )的热量传导进行对比, 对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果。我们知道热量的流失既与空气的流动有关，又与空气中的热量的传递有关。而空气眨流动又与房间的通风口大小、窗户的密封程度、是否有风力等许多因素有关。这些对单层玻璃和双层玻璃同样存在。所以，热量的传播仅考虑热传导作用，而不考虑空气的流动。3、 模型假设1.热量的传播过程只有传导，没有对流。即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的。2. 室内温度 t1 和室外温度 t2 保持不变, 热传

4、导过程已处于稳定状态。即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。记双层窗内层玻璃的外侧温度是 Ta ，外层玻璃的内侧温度是 Tb。3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数。玻璃的热传导系数为 k1，空气的热传导系数为 k2。 4、符号说明t 1 室内温度t 2 室外温度Ta 双层窗内层玻璃的外侧温度Tb 双层窗外层玻璃的内侧温度K1 玻璃的热传导系数K2 空气的热传导系数Q 单位时间通过双层窗单位面积的热量单位时间通过单层窗单位面积的热量5、 模型的建立与求解将实际的问题数学化，如下图示意所示：这个问题是源于物理学中热传递知识。明确本问题所涉及的物理背景。如物体的内能是物体全部分子、原子的动

5、能、势能和内部电子能等总和，物体内能的改变可以通过分子、原子有规则运动的能量交换来达成，也可以通过分子、原子的无规则运动的 能量交换来达成（或者是两者兼有）。所谓热传递就是没有作 宏观机械功而使内能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分的过程。它通过热传导、对流和热辐射三种方式来实现。热传导的方程是傅里叶方程，是进行热量传递速率运算的基本公式，是一个经验定律。故其遵从下面的物理定律：厚度为 d 的均匀介质，两侧温度差为 T，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量 Q ，与 T 成正比，与 d 成反比，即（k 为热传导系数。）（ 1）即单位时间单位面积的热

6、量传导(即热量流失) 为：（2）121abTTQkkdld从(2)式中消去 、 可得aTb(3)1212,()klkshdd对于厚度为 2d 的单层玻璃窗，容易写出其热量传导为（4 ）12TQkd二者之比为（5 ）.2s显然 .Q为了得到更具体的结果，我们需要 和 的数据。1k2从有关资料可知，常用玻璃的热传导系数 (焦耳厘米 秒 3140381 度) ; 不流通、干燥空气的热传导系数 (焦耳厘米 秒 度) , 于是2.516 32 .12k在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们作最保守的估计，即取，由(3)、(5)式可得1230k 1,5Qlhd比值 反映了双层玻璃窗在减少热

7、量损失上的功效，它只与 有关。 Q /ld下图给出了 h 的曲线。当 h 由 0 增加时， 迅速下降，而当 h 超过一定值(比如 h 4 )后 下降变缓，Q Q可见 h 不宜选择过大。这个模型具有一定应用价值。制作双层玻璃虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的。通常，建筑规范要求 h = l / d 4 . 按照这个模型可得0.167.%,即双层玻璃窗比用同样多的玻璃材料制成的单层玻璃窗节约热量 98.33% 左右。不难发现，之所以有如此的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数 , 而这要求空气是干燥，不流通的。6、 模型结果的分析在这个模型中，我们使用了初等的数学模型

8、。也正是因为研究对象的机理比较简单，而我们使用一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模目的。当然这也符合如果对于某个实际问题可以用初等的方法解决，就不要用更高等的方法的基本原则。这个模型还是具有一定的应用价值的。虽然制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的。上面热量的比值反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与 h = l / d 有关，故 h 不宜选择过大，通常，建筑规范要求k1/k2=16 的时候 ，双层玻璃窗比用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量 97%左右。不难发现，之所以有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数 ，而这要求空气是

9、干燥、不流通的。作为模型假设的这个条件在实际环境下当然不可能完全满足，所以实际上双层玻璃窗的功效会比上述结果差一些。但依然是房屋设计和装潢的重要参考依据。另外，应该要注意到，一个房间的热量散失，通过玻璃窗常常只占一小部分，热量还要通过天花板、墙壁、地面等流失。以此类推我们可以将此模型应用与隔音效果的模型建立上，双层玻璃窗户可以显著的改善建筑的隔声性能。其外层玻璃相当于一面玻璃声障，安装于建筑外层。当声波遇到建筑物时，其绝大部分都被外层玻璃所反射，从而使进入到内层空间的噪声降低。事实上，相当一部分双层玻璃窗户的最主要的功能就在于隔声。面对城市环境中持续增高的交通噪音，双层是一种有效的对应方式，它能提供比单层更加优越的隔声效果。 在双层玻璃窗户中，考虑到内外玻璃间的空气间层对于其整体的隔声量的影响。类比于上述模型，我们得到关于单、双层玻璃对隔声程度的影响。