南通市2011届高三第二次调研测试全解析.doc

1、1南通市 2011 届高三第二次调研测试全解析版数 学(满分 160 分，考试时间 120 分钟)201103一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1. 曲线 yx 32x 在点(1 ， 1)处的切线方程是_答案：xy20 解析：由题意可得：y3x 22，则曲线 yx 32x 在点(1，1)处的切线斜率为 1，所以曲线 yx 32x 在点(1 ， 1)处的切线方程为 y1x1，即 xy20.2. 若 abi(a、bR，i 为虚数单位) ，则 ab_.1 5i3 i答案： 825解析： i，则 a ，b ，所以 ab .1 5i3 i 1 5i3 i3 i3 i 15

2、85 15 85 8253. 命题“若实数 a 满足 a2，则 a24”的否命题是_(填“真”或“假”) 命题答案：真 解析：其否命题为“若实数 a 满足 a2，则 a24” ，这是一个真命题4. 把一个体积为 27 cm3 的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为 1 cm3 的 27 个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为_答案： 2627解析：锯成 27 个小正方体后，只有中间的一小块没有红漆，其余 26 小块都有红漆，所以这一块至少有一面涂有红漆的概率为 .26275. 某教师出了一份三道题的测试卷，每道题 1 分，全班得 3 分、2 分、1 分和 0 分的学生

3、所占比例分别为 30%、50%、10%和 10%，则全班学生的平均分为_分答案：2 解析：其平均分是：330%250% 110%2 分6. 设 Ma|a(2,0) m(0,1)，m R 和 N b|b(1,1)n(1，1)，nR 都是元素为向量的集合，则 MN_.答案：(2,0) 解析：因为 a(2，m)，b(1n,1n)，得Error!解得Error! 所以 MN (2,0)7. 在如图所示的算法流程图中，若输入 m4，n3，则输出的 a_.2(第 7 题)答案：12 解析：m4，n3，当 i1 时 a4(不能被 n 整除) ；当 i2 时 a8( 不能被 n 整除)；当 i3 时 a12(

4、能被 n 整除) 所以输出的 a 的值为 12.8. 设等差数列 an的公差为正数，若 a1a 2a 315，a 1a2a380，则a11a 12a 13_.答案：105解析：由 a1a 2a 315，a 1a2a380，得 a25，a 1a 310，a 1a316，所以d3，a 11a 12a 13a 1a 2a 330d105.9. 设 、 是空间两个不同的平面，m 、n 是平面 及 外的两条不同直线从“ mn； ； n ； m”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.( 填序号) 答案： (或 ) 解析：利用线面、面面垂直的判定定理及性质定理可得(或) 10.

5、 定义在 R 上的函数 f(x)满足： f(x)f (x2) ，当 x3,5时，f(x) 2| x4|.下列四个不等关系：f f ；f (sin1)f (cos1)；f f ；f (cos2)f(sin2)(sin6) (cos6) (cos23) (sin23)其中正确的个数是_答案：1 3解析：由题意可得：函数 f(x)的周期为 2，又当 x3,5时，f(x)2|x4|，所以x 1,1时，f(x )2| x|.由 0sin cos 1 可得 f f ；由 1sin1cos10，6 6 (sin6) (cos6)可得 f(sin1)f(cos1)；由 0 1 可得|cos23| |sin23

6、|f f ；由 0 1 可得 f(cos2)f(sin2) 所以正确的个数为 1.(cos23) (sin23) |cos2| |sin2|11. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A、B 分别是双曲线 x2 1 的左、右焦点，y23ABC 的顶点 C 在双曲线的右支上，则 的值是_sinA sinBsinC答案： 12解析：(特殊位置法)假设在ABC 中，ABC 90 ，设 ACn，BCm，则由题意可得Error!解之得 m3，n5 ，所以 .sinA sinBsinC m nAB 3 54 1212. 在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P(x1， y1)、Q( x2，y 2)，定义：d

7、(P，Q )|x 1x 2|y 1 y2|.已知点 B(1,0)，点 M 为直线 x2y20 上的动点，则使 d(B，M )取最小值时点 M 的坐标是_ 答案：解析： 依题意可设 M(2y2，y)，则 d(B，M )|2y3| |y|Error! 当 y 时，(1，32) 3213. 若实数 x、y 、z、t 满足 1xyzt 10 000，则 的最小值为_xy zt答案： 150解析：由题意可得 2xy zt xy yt xyyt2 2 2 ，当且仅当 x1，yz100，t10 000 时取“” xt 110 000 1100 150414. 在平面直角坐标系 xOy 中，设 A、B、C 是

8、圆 x2y 21 上相异三点，若存在正实数、，使得 ，则 2(3) 2 的取值范围是_OC OA OB (2，) 解析：设 、 的夹角为 ，将 两边平方得OA OB OC OA OB 1 2 22cos，于是根据 、 是正实数，得到 1 2 22 且 1 2 22 ，在直角坐标平面 O 内画出可行域(如图) ，而 2( 3) 2 的几何意义是可行域内的点到点(0,3)的距离的平方，结合图象可得到结果二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分 14 分)如图，平面 PAC平面 ABC，点 E、F、O 分别为线段 PA、PB、AC 的

9、中点，点 G 是线段 CO 的中点，ABBC AC4，PAPC 2 .求证：2(1) PA平面 EBO；(2) FG 平面 EBO.证明：由题意可知，PAC 为等腰直角三角形，ABC 为等边三角形(2 分)(1) 因为 O 为边 AC 的中点，所以 BOAC .因为平面 PAC平面 ABC，平面 PAC平面 ABCAC，BO平面 ABC，所以 BO面 PAC.(5 分)因为 PA平面 PAC，所以 BOPA .在等腰三角形 PAC 内，O、E 为所在边的中点，所以 OEPA.又 BOOE O ，所以 PA平面 EBO.(8 分)(2) 连 AF 交 BE 于 Q，连 QO.5因为 E、F 、O

10、 分别为边 PA、PB、PC 的中点，所以 2，且 Q 是AOOGPAB 的重心，(10 分)于是 2 ，所以 FGQO.(12 分)AQQF AOOG因为 FG平面 EBO，QO平面 EBO，所以 FG平面 EBO.(14 分)【注】 第(2)小题亦可通过取 PE 中点 H，利用平面 FGH平面 EBO 证得16. (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)2cos .x2( 3cosx2 sinx2)(1) 设 ，且 f() 1，求 的值； 2，2 3(2) 在ABC 中， AB1，f(C) 1，且ABC 的面积为 ，求 sinAsinB 的值332解：(1) f(x) 2 cos2 2s

11、in cos (1cos x)sin x2cos .(3 分)3x x2 x2 3 (x 6) 3由 2cos 1，得(x 6) 3 3cos .(5 分)(x 6) 12于是 x 2k (kZ )，因为 x ，6 3 2，2所以 x 或 .(7 分)2 66(2) 因为 C(0，)，由(1)知 C .(9 分)6因为ABC 的面积为 ，所以 absin ，32 32 12 6于是 ab2 . 3在ABC 中，设内角 A、B 的对边分别是 a、b.由余弦定理得 1a 2b 22abcos a 2b 26，6所以 a2b 27. 由可得Error!或Error!于是 ab2 .(12 分)3由正

12、弦定理得 ，sinAa sinBb sinC1 12所以 sinAsinB (ab)1 .(14 分)12 32717. (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中，如图，已知椭圆 E： 1(ab0)的左、右顶点分别x2a2 y2b2为 A1、 A2，上、下顶点分别为 B1、B 2.设直线 A1B1 的倾斜角的正弦值为 ，圆 C 与以线段13OA2 为直径的圆关于直线 A1B1 对称(1) 求椭圆 E 的离心率；(2) 判断直线 A1B1 与圆 C 的位置关系，并说明理由；(3) 若圆 C 的面积为 ，求圆 C 的方程解：(1) 设椭圆 E 的焦距为 2c(c0)，因为直线 A1B1

13、 的倾斜角的正弦值为 ，13所以 ，ba2 b2 13于是 a28b 2，即 a28(a 2c 2)，所以椭圆 E 的离心率 e .(4 分)c2a2 78 144(2) 由 e ，可设 a4k (k0) ，c k，则144 14b k，2于是 A1B1 的方程为 x2 y4k0，2故 OA2 的中点(2k, 0)到 A1B1 的距离 d 2k.(6 分)|2k 4k|3又以 OA2 为直径的圆的半径 r2k，即有 dr，所以直线 A1B1 与圆 C 相切(8 分)(3) 由圆 C 的面积为 知圆半径为 1，从而 k .(10 分)12设 OA2 的中点(1,0) 关于直线 A1B1：x2 y

14、20 的对称点为( m，n)，2则Error!(12 分)解得 m ，n .13 423所以圆 C 的方程为 2 21.(14 分)(x 13) (y 423)818. (本小题满分 16 分)如图，实线部分的月牙形公园是由圆 P 上的一段优弧和圆 Q 上的一段劣弧围成，圆 P和圆 Q 的半径都是 2 km，点 P 在圆 Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆 P 上的多边形活动场地(1) 如图甲，要建的活动场地为RST，求场地的最大面积；(2) 如图乙，要建的活动场地为等腰梯形 ABCD，求场地的最大面积解：(1) 如下图，过 S 作 SH RT 于 H，则 SRST SHRT.(2 分)12

15、由题意，RST 在月牙形公园里，RT 与圆 Q 只能相切或相离(4 分)RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有 RT4，SH2，当且仅当 RT 切圆 Q 于 P 时(如甲图) ，上面两个不等式中等号同时成立此时，场地面积的最大值为 SRST 424(km 2)(6 分)12(2) 同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD 必须切圆 Q 于 P(如乙图) ，再设BPA ，则有S 四边形ABCD 22sin2 22si12 12n(2 )4(sin sin cos) .(0 2)(8 分)令 ysin sin cos，则ycos cos cos

16、sin ( sin)2cos 2cos 1.(11 分)若 y0，cos ， ，12 3又 时， y0； 时，y 0，(14 分)(0，3) (3，2)所以函数 ysinsin cos 在 处取到极大值也是最大值，3x em (em，e m1 e m) em1 e m (em1 e m，e m1 ) em1h(x) 0 h(x) 0 增 h(em1 e m) 减 010故 时，场地面积取得最大值为 3 (km2)(16 分)3 31119. (本小题满分 16 分)设定义在区间x 1，x 2上的函数 yf(x)的图象为 C，M 是 C 上的任意一点，O 为坐标原点，设向量 (x 1，f(x 1

17、)， (x 2，f(x 2)， ( x，y )，当实数 满足 xx 1(1 )x 2OA OB OM 时，记向量 (1) .定义“函数 yf (x)在区间 x1，x 2上可在标准 k 下线性近似”ON OA OB 是指“| |k 恒成立” ，其中 k 是一个确定的正数MN (1) 设函数 f(x)x 2 在区间0,1上可在标准 k 下线性近似，求 k 的取值范围；(2) 求证：函数 g(x)lnx 在区间e m，e m1 (mR)上可在标准 k 下线性近似18(参考数据：e2.718，ln(e 1)0.541)(1) 解：由 (1) ，得 ，ON OA OB BN BA 所以 B、N、A 三点

18、共线(2 分)又由 xx 1(1 )x2 与向量 (1) ，得 N 与 M 的横坐标相同(4 分)ON OA OB 对于0,1上的函数 yx 2，A (0,0)，B(1,1)，则有| |xx 2 2 ，MN (x 12) 14故| | .MN 0，14所以 k 的取值范围是 .(6 分)14， )(2) 证明：对于e m，e m1 上的函数 yln x，A(em，m)，B (em1 ，m1)，(8 分)则直线 AB 的方程为 ym (xe m)(10 分)1em 1 em令 h(x)lnxm (xe m)，1em 1 em其中 xe m，e m1 (mR)，于是 h(x) ，(13 分)1x

19、1em 1 em列表如下：则| | h(x)，且在 xe m1 e m处取得最大值 MN 又 h(em 1e m)ln(e1) 0.123 ，从而命题成立(16 分)e 2e 1 1820. (本小题满分 16 分) 已知数列a n满足 a1a 2a nn 2(nN *)(1) 求数列a n的通项公式；(2) 对任意给定的 kN *，是否存在 p、r N *(kpr) 使 、 、 成等差数列？若存在，1ak 1ap 1ar用 k 分别表示 p 和 r(只要写出一组) ；若不存在，请说明理由；(3) 证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为 an1、an 2、an 3.(1) 解：当 n1 时，a 11；当 n2，nN *时，a 1a 2 a n1 ( n1) 2，所以 ann 2(n1) 22n1.