材料力学构件内力分析.doc

1、构件内力分析材料力学教案教学学时 8基本内容 内力与内力分量，外力与内力的相依关系。内力图的绘制教学目的 1、 深入理解横截面上内力的概念，内力分量对应的基本变形,掌握根据变形规定的内力正负号规则。2、 熟练掌握由截面法导出的由截面侧外力求指定截面上的 FN、M x 、F Q、 、 M 的方法（截面侧外力法）以及由 M(x)、F Q(x)、q(x)的积分关系，求指定截面上 FQ、 、 M 的面积法。3、 了解控制面的概念，熟练掌握基于平衡微分方程非无限接近两相邻控制面间内力图变化规律以及无限接近两控制面间内力图突变的规律。4、 能熟练运用内力图变化的“两个规律”和求指定截面上内力的“两个方法”

2、正确绘制内力图。重点、难点重点：1、求指定截面上内力的两个方法：侧面侧外力法和面积法。2、 内力图变化的两个规律：非无限接近两相邻控制面间内力图变化规律和无限接近的两控制面间内力图的突变规律。3、 内力图的正确绘制。难点：1、内力符号规则。2、两无限接近控制面间内力图的突变规律。教学思路 理论讲授与习题讨论相结合。课外作业 第二章 杆件内力分析2-1 内力与内力分量1. 内力主矢与主距无论杆件横截面上的内力分布如何复杂，总可以将其向该截面某一简化中心简化，得 FFy 1.11KN 一主矢和一主矩，二者分别称为内力主矢和内力主矩。 2. 内力分量图 2-1a 中所示以截面形心为简化中心的主矢 和

3、主矩 。图 2-1a 分布内力向截面形心简化的主矢与主矩与几种基本变形对应的是主矢和主矩在确定的坐标方向上的分量。图 2-1b 中所示的 和 分别为主矢和主矩在 x、y、z 轴三个方向上的分量。其中： 或 称为轴力，它与杆产生的轴向变形（伸长或缩短）相对应。、 称为剪力，二者均与杆件产生的剪切变形相对应。称为扭矩,它与杆件产生的绕杆轴转动的扭转变形相对应。、 称为弯矩,二者与杆件产生的弯曲变形相对应。图 2-1b 内力与内力分量3. 内力分量的正负好规定为了保证杆件同一处左、右两侧截面上具有相同的正负号，不仅要考虑内力分量的方向，而且要看它作用在哪一侧截面上。于是，上述内力分量的正负号规则约定

4、如下：轴力 或 无论作用在哪一侧截面上，使杆件受拉者为正；受压者为负。剪力 或 使杆件截开部分产生顺时针方向转动者为正；逆时针方向转动者为负。弯矩 或 作用在左侧面上使截开部分逆时针方向转动；或者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正；反之为负。扭矩 扭矩矢量方向与截面外法线方向一致者为正；反之为负。图 2-2 为 轴力、剪力、弯矩和扭矩图示符号规定的方向。图 2-2 轴力、剪力、弯矩和扭矩图示符号规定2-2 外力与内力之间的相依关系1. 弹性体的平衡原理弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则从其上截取的任意部分也必须保持平衡。前者称为整体平衡或总体平衡；后者称为局部平衡。这种整体平衡与局

5、部平衡的关系，不仅适用于弹性杆件而且适用于所有的弹性体，因而称为弹性体平衡原理。2. 截面法确定构件任意截面上内力值的基本方法是截面法。图 2-3（a）所示为任意受平衡力系作用的构件.为了显示并计算某一截面上的内力,可在该截面处用一假想截面将构件一分为二并弃去其中一部分.将弃去部分对保留部分的作用以力的形式表示,此即该截面上的内力。根据变形固体均匀、连续的基本假设，截面上的内力是连续分布的。通常将截面上的分布内力用位于该截面形心处的主矢和主矩来代替。尽管内力的合力是未知的，但其六个内力分量（空间任意力系） 、 、 和 、 、 来表示，如图 2-3（b）。 （b）图 2-33. 控制面为了表明杆

6、件内力的一般规律,特引入,一段杆的两个端截面称为控制面。下列截面均可为控制面：如图 2-4所示。集中力作用点两侧无限接近的截面。集中力偶作用点两侧无限接近的截面。分布荷载（集度相同）的起点和终点处截面。图 2-44. 杆件内力变化的一般规律应用截面法，不难证明，集中力作用点两侧两个无限接近的控制面剪力将发生突变，集中力偶作用点两侧无限接近的截面弯矩将发生突变。杆件两个相邻的非无限接近的控制面间的内力将分别按不同的函数规律变化。5. 杆件内力变化的一般规律、 和 间的微分关系，将进一步揭示载荷、剪力图和弯矩图三者间存在的某些规律，在不列内力方程的情况下，能够快速准确的画出内力图。如图 2-5(a

7、)所示的梁上作用的分布载荷集度 是 的连续函数。设分布载荷向上为正，反之为负，并以 A 为原点，取 轴向右为正。用坐标分别为 和 的两个横截面从梁上截出长为 的微段，其受力图如图 2-5 (b)所示。q(x)(b) 图 2-5由 解得 (2-1)由 略去二阶微量 解得 (2-2)将式(2-2)代入式(2-1) 得 (2-3) 式(7-1)、(7-2)和(7-3)就是荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系。由此可知 和 分别是剪力图和弯矩图的斜率。根据上述各关系式及其几何意义，可得出画内力图的一些规律如下：（1） q=0 ： 剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。（2） q=常数：剪力图为一斜直线，弯

8、矩图为一抛物线。（3） 集中力 FP作用处：剪力图在 FP作用处有突变，突变值等于 FP。弯矩图为一折线，P 作用处有转折。（4） 集中力偶作用处：剪力图在力偶作用处无变化。弯矩图在力偶作用处有突变，突变值等于集中力偶。2-3 内力图1. 轴力图当所有外力均沿杆的轴线方向作用时,杆的横截面上只有轴力一种内力分量 FNo表示轴力沿杆轴线方向变化的图形,称为轴力图。用截面法求截面上的内力,为了无论取哪段，均使求得的同一截面上的轴力 FN有相同的符号，则规定：轴力 FN方向与截面外法线方向相同为正，即为拉力；相反为负，即为压力。例 2-1 图 2-6a 中所示直杆， B、C 两处作用集中荷载 F1和

9、 F2，其中 B、C 两处作用集中荷载 F1和 F2，已知F1=5KN,F2=10KN。作 AC 杆件的轴力图。（a） （b） （c） （d） （e）图 2-6 解 A 处为固定端约束，作用有约束力。由 0 求得 FA=5kN,方向向上。于是,A、C 截面以及 B 处上、下两侧截面均为控制面，如图中虚线所示。A 截面： 截面： 截面： C 截面： 建立 FN-x 坐标系，并将控制控制面上的轴力标在其中，得到 a、b “、b 、和 c 四点。因为 AB 以及 BC 之间，没有其他外力作用，故这两段轴力，各段分别各自相同。表面 a 点与 b“点及 b点与c 点之间的轴力平行于 x 轴的直线。于是，

10、得到杆的轴力图如图 2-6e 所示。由例子可见，杆的不同截面上有不同的轴力，而对杆进行强度计算时，要以杆内最大的轴力为计算依据，所以必须知道各个截面上的轴力，以便确定出最大的轴力值。这就需要画出轴力图。1. 扭矩图 对于受扭的轴，用截面法来求 nn 截面上的内力，作用于其上的外力仅有轴向力偶矩矢，因其平衡，则作用于截面上的内力必合成为一力偶。杆件受到外力偶矩作用而发生扭转变形时，在杆的横截面上产生的内力称扭矩（ Mx）或 T 单位：Nm 或KNm。符号规定：按右手螺旋法则将 T 表示为矢量，矢量方向与截面外法线方向相同为正；反之为负。例 2-2 图 2-7（a）所示的传动轴的转速 =300r/

11、min，主动轮 A 的功率 =400kW，3 个从动轮输出功率分别为 =120kW, =120kW, =160kW，试求指定截面的扭矩（ Nm）图 2-7解 由 ,得= kNm= kNmkNm如图 2-7（b）。由 ， 解得 kNm如图 2-7（c） 。由 ， 解得 kNm如图 2-7（d）。由 ， 解得 kNm由上述扭矩计算过程推得：任一截面上的扭矩值等于对应截面一侧所有外力偶矩的代数和，且外力偶矩应用右手螺旋定则背离该截面时为正，反之为负。例 2-3 试作出例 7-2 中传动轴的扭矩图。图 2-8解 BC 段： kNm kNmCA 段: kNm kNmAD 段: kNm kNm根据 、 、

12、 、 、 、 的对应值便可作出图 7-17(c)所示的扭矩图 。 及 分别对应横截面右侧及左侧相邻横截面的扭矩。由例子可见，轴的不同截面上有不同的扭矩，而对轴进行强度计算时，要以轴内最大的扭矩为计算依据，所以必须知道各个截面上的扭矩，以便确定出最大的扭矩值。这就需要画扭矩图来解决。1. 剪力图与弯矩图 根据作用于梁上的已知载荷，应用有关平衡方程求出支座反力，然后将梁分段，并由各段内载荷的情况初步确定剪力图和弯矩图的形状，根据平衡条件，求出控制面上的内力值，便可画出全梁的剪力图和弯矩图。这种绘图方法称为简捷法。例 2-4 简支梁受力如图 2-6a 所示。试画出其剪力图和弯矩图，并确定二者绝对值的

13、最大值 和 的值。解：1.确定支座处的约束力FFy=1.11kN() F Ay=0.89kN()2.建立坐标系建立 FQ-x、M-x 坐标，分别如图 2-9b 和 c 所示。IKNm（a）（b）（c）图 2-93选择控制面,并确定其上剪力和弯矩值在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面，即图 2-9a 中所示A、B、C、D、E、F 各截面均为控制面。应用截面法和平衡方程,求得这些控制面上的剪力和弯矩值分别为：A 截面： F Q=-0.89KN， M=0B 截面： F Q=-0.89KN， M=-1335KNmC 截面： F Q=-0.89KN， M=-0335KNmD

14、截面： F Q=-0.89KN， M=-1.665KNmE 截面： F Q=1.11KN， M=-1.665KNmF 截面： F Q=1.11KN， M=0将这些值分别标在 FQ-x 和 M-x 坐标系中，便得到 a、b、c、d、e、f 各点，如图 2-9b、c 所示。4根据平衡微分方程连图线因为梁上无分布荷载作用，所以 FQ(x)图形均为平行于 z 轴的直线； M(x)图形均为斜直线。于是；顺序连接 FQ-x 和 M-x 坐标系中的 a、b、c、d、e、f 各点，便得到梁的剪力图与弯矩图，分别如图 2-96b、c 所示。从图中不难得到剪力与弯矩的绝对值的最大值分别为=1.11KN (在 EF

15、 段)=1.65KNm (在 D、E 截面上)例 2-5 外伸梁受力如图 2-7 所示。试画出其剪力图与弯矩图，并确定 和 的值。解 首先，由整体梁的平衡确定支座处约束力,如图所示。 图 2-101确定控制面及其上的 、M 数值由于 AB 段上作用有连续分布荷载，故 A、B 两个截面为控制面，约束力 右侧的 C 截面，以及集中力左侧的 D 截面，也都是控制面。应用截面法和平衡方程求得 A、B、C、D 四个控制面上的 、M 数值分别为：A 截面： B 截面： C 截面： D 截面： 将其分别标在 FQ-x 和 M-x 坐标系中，得到相应的 a、b、c、d 各点，如图 2-9c、d 所示。2根据平衡微分方程连图线对于剪力图：在 AB 段，因有均布荷载作用，剪力图为一斜直线,于是连接 a、b 两点，即得这一段的剪力图；在 CD 段，因无分布荷载作用，故剪力图为平行于 x 轴的直线，由连接 c、d 二点而得，或者由其中任一点作平行于 x 轴的直线而得。