1、1函数基本性质1单调性（1）定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1，x 2，当 x1f(x2)） ，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（减函数） ；注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 1必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2；当 x1x2 时，总有 f(x1)f(x2) 2（2）如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数 y= fg(x)，其中
2、 u=g(x) , A 是 y= fg(x)定义域的某个区间，B 是映射g : xu=g(x) 的象集：若 u=g(x) 在 A 上是增（或减）函数，y= f(u)在 B 上也是增（或减）函数，则函数y= fg(x)在 A 上是增函数；若 u=g(x)在 A 上是增（或减）函数，而 y= f(u)在 B 上是减（或增）函数，则函数 y= fg(x)在 A 上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：任取 x1，x 2D，且 x1x2； 1作差 f(x1)f(x 2)； 2变形（通常是因式分解和配方） ； 3定号（即判断差 f(x1
3、)f(x 2)的正负） ； 4下结论（即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性） 。 5（5）简单性质奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数 )(xf增函数 )(xg是增函数；减函数 减函数 是减函数；2增函数 )(xf减函数 )(xg是增函数；减函数 增函数 是减函数。2奇偶性（1）定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f( x)=f (x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x )=f(x)，则称 f(x)为偶函数。如果函数 f(x)不具有上述性质，则 f(x)不具有奇偶性
4、.如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 1由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的 2任意一个 x，则 x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称） 。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 1确定 f(x)与 f(x)的关系； 2作出相应结论： 3若 f(x ) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f(x ) =f(x) 或 f(x) f(x) = 0，则
5、f(x)是奇函数（3）简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称；设 ()fx， g的定义域分别是 12,D，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+ 偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇3例 1 f(x)是定义在( 0，)上的增函数，且 f( ) = f(x)f(y) （1）求 f(1)的值（2）若 f(6)= 1，解不等式 f( x3 )f( ) 2 1例 2 已知 f(x)是定义在(2，2) 上的减函数，并且 f(m1)f (12m)0，求实数 m 的取值范围例 3 已知函数 f(x)= ，x
6、1，a2（1）当 a= 时，求函数 f(x)的最小值；（2）若对任意 x1， ， f(x)0 恒成立，试求实数 a 的取值范围例 4 已知 f（ x）是偶函数， g（ x）是奇函数，若 ，则 f（ x）的解析1)(xgxf式为_4例 5 设定义在2，2上的偶函数 f（ x）在区间0，2上单调递减，若 f（1 m） f（ m） ，求实数 m 的取值范围例 6 已知函数 f（ x）是奇函数，且当 x0 时， f（ x） x32 x21，求 f（ x）在 R 上的表达式例 7 设函数 y f（ x） （ x R 且 x0）对任意非零实数 x1、 x2满足 f（ x1x2） f（ x1） f（ x2）
7、 ，求证 f（ x）是偶函数例 8 判断下列函数的奇偶性 ； ； ； 。5小结1判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(x )= f(x)f(x) f(x)=0；2对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j这是函数具备奇偶性的必要条件。稍加推广，可得函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意 x，都有
8、f(x+a)=f(a-x)成立 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映；3若奇函数的定义域包含 0，则 f(0)=0，因此， “f(x)为奇函数”是“ f(0)=0“的非充分非必要条件；4奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性。5若存在常数 T，使得 f(x+T)=f(x)对 f(x)定义域内任意 x 恒成立，则称 T 为函数 f(x)的周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j周期函数的定义域一定是无限集。6单调性是函数学习中非常重要的内容，应用十分广泛，由于新教材增加了“导数”的内容，所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高，因此解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。注意，关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析，严格的解答还是应该运用定义或求导解决
