回忆起了以前喜欢的平面几何.doc

1、 回忆起了以前喜欢的平面几何，于是把我当时印象最深的几道题发一下，以此纪念曾经的爱好这里每一题我手头上都有至少两种以上的解法（当然，是纯几何证明方法，而不是使用正弦余弦定理或是代数方法或是高中解析几何的方法），其中每一题都有我自己的一个解法，不出意外，我的解法应该在网上或相关奥数书上找不到（找到了的话纯属巧合- -b），剩下的大部分是我同学的解法，估计第一题的一个解法是流传比较广的。先放题吧，解法我还要再整理整理，大家可以先试试。不过先声明，这 3 道题，别看它们图形都非常简单，可是，都不是那么容易的题，不要被它们的外表迷惑了。如果把它们比喻成淫类的话，都是城府极深滴淫。越不小看它们可能越容易

2、解出来- -。反正每一题当年都花了不少的时间，而且还是在很有状态的日子里（以前做过的人或做出来的人别告诉我你只用了不到一小时。我会情何以堪的- -）PS：图都是用标准几何工具画的，非常精确，因为不画精确很容易得出错误结果，特别是第一题，顶角度数一画大了就会产生幻觉，然后一下子就做错了。1、如图，三角形 ABC 是等腰三角形，AB=AC，顶角 A 为 20 度，D 为 AB 边上一点，且 AD=BC。求角 ACD 的度数。2、如图，三角形 ABC 是等腰三角形，AB=AC，顶角 A 为 100 度，D 为边 AB 延长线上一点，且 AD=BC。求角 BCD 的度数。（大家可能发现了吧，前两题蛮相

3、似的，这可能有助于解题）3、如图，有一个半圆 O，A 和 B 分别是它圆弧上任意两点（我故意把 AB 两点画的不一样高，原因就是为了突出“任意”二字，不让人产生特殊性的幻觉- -，这题解的是任意性的情况，而不是特殊性的情况，别把 AB 画的同样高或是假设它们是直径的两个点，那样就没意思了。），AC 垂直于直径，垂足为 C；BD 也垂直于直径，垂足为 D；BE 又垂直于半径 OA，垂足为 E。求证：DE=AC。俺手头上的几种解法第一题1、该解法是我一高中同学的解法，与地道君的解法基本一样，就是构造的基础边不同，证明过程稍有区别。如图。以 AB 边在右边构造等边三角形 ABE，再连接 CE。AB=

4、AC、AB=BE=AE，所以 AC=AE=BE=AB，所以三角形 ACE 是个顶角为 40 度的等腰三角形（60-20=40）。所以，底角 AEC 为 70 度（180-40）2），所以角 BEC 为 10 度（70-60）。角 CBE 等于 20 度（80-60），所以它与角 BAC 相等，然后 AD=BC、AC=BE，所以三角形 ACD三角形 BCE（边角边），所以角 ACD 就等于角 BEC，所以它为 10 度。2、该解法是在网上搜到的，堪称最简洁方法，不知道是谁想出来的，强烈赞一个。如图，以 BC 边在该三角形内部构造一个小小的萝莉等边三角形 BCE，再连接 AE。此时我们可以快速证出

5、 AE 是顶角 BAC 的角平分线，所以角 CAE 就等于 10 度。由等边三角形和 AD=BC 这两个条件可以证出 CE=AD、角 ACE=20 度（80-60）=角 DAC、公共边 AC，所以三角形 ACD三角形 ACE，所以角 ACD 就等于角 CAE，也就是 10 度。3、该解法是我本人想出来的，没有构造等边三角形，辅助线较多，所以证明过程比较繁琐些。智商有限啊，有时还是佩服那些使用构造法的人。如图，延长 CB 至 E 点，使 CE=AC（虽然没构造等边三角形，但也算间接构造了一个巨大的等腰三角形 CAE），连接 DE，再在 DE 上截取 DF=AD，连接 AF、连接 AE、连接 CF

6、。其中 CF 与 AB 交于 G 点。辅助线作完了（虽然我想精简一下我这个解法，但貌似怎么弄都一条都不能少，郁闷）。立刻可以证出 BE=BD、角 CEA=角 CAE=50 度、角 BED 角=角 BDE=40 度、角 FEA=50-40=10 度。然后，由 DA=DF 这个等腰三角形条件又可以立刻得出角 DAF=角 DFA=20 度，所以角 EAF=20-10=10 度=角 FAE，所以三角形 DAF 和三角形 FAE 也都是等腰三角形（好像证明出这些没啥用处= =，但是为了和谐美，还是全部都证出来吧）。好，现在还有几个等腰三角形我们可以证出来。CF 公共边、CE=CA、FE=FA，所以三角形

7、 CFE三角形 CFA，所以角 FCE=角 FCA=40 度，再利用上面算出的很多角的度数，立刻可以得出三角形 FCE 和三角形 FCA 也都是等腰三角形。好，证等腰三角形上瘾了，继续吧。- -。由上面那么多证明出来的条件，可以轻易算出角 DFG=80 度，然后可以轻易证出三角形 GBC三角形 GFD（角角边），所以 GC=GD，所以三角形 GCD 也是等腰三角形- -b（等腰三角形真多。）。而角 BGC=60 度（由上面证出的条件可轻易算出），所以，角 GDC=角 GCD=30 度，所以角 ACD=30-20=10 度。呼，这个方法真是看着累啊。多多包涵一下。第二题1、该解法是我一初中同学的

8、解法，此同学非第一题的那个高中同学，该同学当年想了 5 个小时才弄出来，不过叫我想 5 个小时我也想不出来。他的解法看着真的蛮爽的。如图，在 CB 上截取 CE=CA（所以三角形 CAE 是等腰三角形），连接 AE、连接 DE，再作 CF 垂直于 AE（所以 F 同时是等腰三角形中线，所以 F 是AE 的中点）、作 EG 垂直于 AD，再连接 GF。不难证出三角形 BDE 是等腰三角形，所以角 BDE=角 BED=20 度，所以角 DEG=180-90-20=70 度。由其他辅助线不难证出角 FCE=角 FCA=20 度、角 CEF=角 CAF=70 度。所以，角 DEG=角 CEF（条件 1

9、）。由上面的 70 度角一步便能算出角 EAG=100-70=30 度。结合一开始说的 F 是 AE 中点，那么 GF 就是直角三角形 AGE 的斜边中线，所以 FG=FA，所以角 AGF=30 度，所以，角 GFE=60 度=角 GEF，所以三角形 GEF 是个小小的萝莉等边三角形。所以 EF=EG（条件 2）。三角形 CFE 和三角形 DGE 都是直角三角形（条件 3）。结合条件 1 条件 2 条件 3，于是这两个直角三角形全等，所以它们的斜边相等，即 EC=ED，所以三角形 ECD 是等腰三角形。于是结合第一步的证明，角 BCD 就等于 20 度的一半，也就是 10 度。2、下面是本人的

10、解法，这个看着就比第一题的自己的方法要简洁一些了，不过，想出来远远不止 5 个小时了。如图，在 CB 上截取 CE=CA，连接 DE。再延长 CA 至 F 点，使 CF=CB，再连接 EF 交 AD 于 G 点，再连接 CG。不难证出三角形 BDE 是等腰三角形，所以角 BDE=角 BED=20 度。与上一种解法一样，最后只需证出 EC=ED 就 OK 了。不过，这次貌似要证四次三角形全等。- -（想简化，但貌似都缺少不了。）首先由辅助线创造的条件可以一步证出三角形 CEF三角形 CAB，所以三角形 CEF 也是个顶角为 100 度的等腰三角形。同时也得出角 F=角 GBE=40度（条件 1）

11、。还是由辅助线创造的条件可一步证出 AF=EB，对顶角角 AGF=角 EGB，结合条件 1，得出三角形 AGF三角形 EGB，所以 AG=EG（条件 2）。公共边 CG，CA=CE，再结合条件 2，得出三角形 CAG三角形 CEG，所以角 ACG=角 ECG=40 度的一半=20 度（条件 3）、角 AGC=角 EGC=180-100-20=60 度（条件 4）。由条件 3 可得出角 ECG=角 EDG（因为角 EDG 就是上面第一步中的 20 度角 BDE）（条件 5）。由条件 4 可得出角 EGD=平角 AGD-角 AGC-角 EGC=180-60-60=60 度，所以角 EGD=角 EG

12、C（条件 6）。公共边 GE，再结合条件 5 条件 6 可证明三角形 EGD三角形 EGC，从而证出了 EC=ED。第三题1、该解法是第一题的那个高中同学想出来的，又是用了构造法。（构造法我这个苦手啊）如图，线连接 OB，再分别以 OA 和 OB 为直径构造两个小圆，分别为圆 1 和圆 2。立刻可以得出圆 1 和圆 2 同样大（条件 1）。因为角 BEO+角 BDO=90+90=180 度，所以很容易得出 OEBD 四点共圆，所以它们共的圆正好是圆 2，同时还可得出角 DBE+角 DOE=180 度（条件 2）。而角 AOC=平角 COD-角 DOE=180-角 DOE，结合条件 2 可得出角

13、 AOE=角 DBE（条件 3）。在圆 1 中，AC 是圆周角 AOC 所对应的弦；在圆 2 中，DE 是圆周角 DBE 对应的弦。然后结合条件 3，两个同样大的圆的相等的圆周角所对应的弦肯定相等。所以，DE=AC。2、我本人的解法，印象中当年想了一下午。该解法运用的是相似三角形的边的等比关系。如图，先连接 OB，再过 E 点作 EF 垂直于 OC，垂足为 F（图中忘写 F 了）。与第一种解法一样，首先快速证出 OEBD 四点共圆。OE 就是共圆的圆中的一条弦，而角 OBE 和角 EDO 都是由弦 OE 对应的圆周角，所以这两个角相等，也即角 OBE=角 EDO（即角 EDF）。所以直角三角形 OBE 与直角三角形 EDF 相似。利用相似三角形对应边成比例关系，可得出 DE/OB=EF/OE（等式 1）。又直角三角形 EOF 和直角三角形 AOC 具有一个公共锐角，所以这两个直角三角形也相似。所以，可得出 EF/AC=OE/OA，这个等比式子变换一下就是 EF/OE=AC/OA（等式 2）（利用的是哪个规律我忘记了，反正存在这么一个变形规律）。结合等式 1 和等式 2，可立即得出 AC/OA=DE/OB（等式 3）。又因为 OA 和 OB 都是同一个半圆的半径，所以 OA=OB。也就是说，等式 3 的分母相等，所以分子必然相等，也即 DE=AC。