2014年第五届步青杯数学邀请赛.DOC

1、智浪教育 -普惠英才文库 (第 1 页 共 9 页 ) 2014 年第 五 届 “步青杯 ”数学邀请赛 初赛试题 (高一 ) 说明： (1)全卷满分 150 分，共 20小题； (2)时间： 120分钟； (3)必须将所有答案写在答题卷上 . 一、选择题：共 10小题，每小题 5 分，共 50分 . 1 设函数 ( ) lg(1 )f x x的定义域为 A，值域为 B，则 AB=( ). A (0, ) B (1, ) C (0,1) D ( ,1) 2 sin2025 ( ). A 22 B 12 C 12 D 22 3 如下图所示的几何体，其俯视图正确的是 ( ). 4 若直线 l 不平行

2、于平面 ，且 l ，则 ( ). A 内的所有直线与 l 异面 B 内不存在与 l 平行的直线 C 内存在唯一的直线与 l 平行 D 内的直线与 l 都相交 5 定义在 R 上的函数 ()fx满足 2lo g ( 16 ) , 0()( 1 ) , 0xxfx f x x ，则 3f 的值为 ( ). A 4 B 2 C 2log13 D 4 6 已知 a 是函数 xxfx21lo g2)( 的零点，若 ax 00 ，则 )( 0xf 的值满足 ( ). A 0)( 0 xf B 0)( 0 xf C 0)( 0 xf D )( 0xf 的符号不能确定 7 某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图

3、是根据抽样检 测后的产品净重 (单位：克 )数据绘制的频率分布直方图， 其中产品净重的范围是 96， 106，则该样本数据的众数、 中位数和平均数分别为 ( ). A 101 、 101 、 101 B 101.3 、 101.3 、 101.3 C 101 、 101.3 、 101.3 D 101 、 101.3 、 101 (参考数据： 0 . 2 9 9 0 . 3 1 0 1 0 . 2 5 1 0 3 0 . 1 5 1 0 5 9 1 . 6 ) 智浪教育 -普惠英才文库 (第 2 页 共 9 页 ) 8 若点 (1,0)A 和点 (4,0)B 到直线 l 的距离 依次 为 1

4、和 2，则这样的直线有 ( ). A 4 条 B 3 条 C 2 条 D 1 条 9将一张画了直角坐 标系 (两坐标轴单位长度相同 )的纸折叠一次，使点 (2,0) 与点 ( 2,4) 重合，则与点 (5,8) 重合的点是 ( ). A (6,7) B (7,6) C ( 5, 4) D ( 4, 5) 10 定义区间 ( , ), , ), ( , , , a b a b a b a b的长度均为 d b a ，多个区间并集的长度为各 区间长度之和，例如， ( 2, 1) 3,5) 的长度 ( 1 ) ( 2 ) ( 5 3 ) 3d 用 x 表示不超过 x 的最大整数，记 x x x ，其

5、 中 xR 设 ( ) f x x x ， ( ) 1g x x， 当 05x时， 则 不等式 ( ) ( )f x g x 的 解集区间的长度 为 ( ). A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题：共 6小题，每小题 5 分，共 30分 . 11 某单位有 200 名职工，现用系统抽样法，从中抽取 40 名职工作样本，将全体职工随 机按 1 200编号，并按编号顺序平均分为 40组 (1 5号， 6 10号 , ,196 200号 ). 若第 5 组抽出的号码为 22，则第 9 组抽出的号码应是 . 12 已知实数 0m ，函数 2 , 1()2 , 1x m xfx x m x ，若

6、( ) (1 )f m f m ，则 m 的值 为 _. 13 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是 5，则判断 框内 m 的取值范围是 _. 14 在平面直角坐标系中，若两点 P， Q 满足条件： P， Q 都在函数 ()y f x 的图象上； P， Q 两点关于直线 yx 对称，则称点对 P， Q 是 函数 ()y f x 的一对 “和谐点对 ”. (注：点对 , PQ 与 , QP 看作同一对 “和谐点对 ”). 已知函数 223 2 , 0() lo g , 0x x xfx xx ，则此函数的 “和谐点对 ”有 对 . 15若 228( ) ( ) 3 ( ) 3x a xf x

7、x a x a 为偶函数，则实数 a . 16 在三棱锥 A BCD 中， AB 平面 BCD， CD BD ， 1AB BD CD ， 否 是 开 始 k=1 S=0 S=S+2k k=k+1 结 束 输出 k Sm？ 智浪教育 -普惠英才文库 (第 3 页 共 9 页 ) 则该三棱锥外接球的表面积为 . 三、解答题：共 4小题，共 70 分 . 17 (本题满分 15 分 ) 设222 si n c o s c o s( ) ( 1 2 si n 0)1 si n c o s( ) si n ( )22f . (1)化简 ()f ； (2)求 (1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 8 9

8、)f f f f 的值 . 18 (本题满分 15 分 )汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从 2014 年开始，将 对二氧化碳排放量超过 130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税 .检测单位对甲、乙两品 牌轻 型汽车各抽取 5 辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下 (单位： g/km). 经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为 120 /x g km乙 . (1)从被检测的 5 辆甲品牌轻型汽车中任取 2 辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过 130 /g km 的概率是多少？ (2)求表中 x 的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性 . 智浪教育 -普惠英才文库

9、 (第 4 页 共 9 页 ) 19 (本题满分 20分 )一个 几何体是由圆柱 11ADDA 和三棱锥 E ABC 组合而成，点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆周上，其正 (主 )视图、侧 (左 )视图的面积分别为 10 和 12，如图所示， 其中 EA ABC 平 面 ， AB AC ， AB AC ， 2AE (1)求证： AC BD ； (2)求三棱锥 E BCD 的体积 20 (本题满分 20 分 )已知函数 2( ) lg( 1)f x x， 1( ) ( )2 xg x m. (1)若 存在 1 0,3x ， 对任意 2 1,2x ，使得 12( ) ( )f x g x ，

10、求实数 m 的取值范围； (2)若 对任意 1 0,3x ， 存在 2 1,2x ，使得 12( ) ( )f x g x ，求实数 m 的取值范围； (3)若 对任意 1 0,3x ， 任意 2 1,2x ，使得 12( ) ( )f x g x ，求实数 m 的取值范围； (4)若 存在 1 0,3x ， 存在 2 1,2x ，使得 12( ) ( )f x g x ，求实数 m 的取值范围 . 智浪教育 -普惠英才文库 (第 5 页 共 9 页 ) 2014 年吴川一中第 五 届 “步青杯 ”数学邀请赛 高一初赛参考答案 一、选择题： 1 4 DACB 5 8 DBCB 9 10 AC

11、1 D 由 10x得 1x ，即 ( ,1)A ，而 10x知 ()fxR ，即 BR ， 于是 ( ,1)AB . 2 A 2s i n 2 0 2 5 s i n ( 3 6 0 5 2 2 5 ) s i n 2 2 5 s i n ( 1 8 0 4 5 ) s i n 4 5 2 . 3 C 俯视图是从上而下的投影，于是只有 C 正确 . 4 B 由题意知直线 l 与平面 相交，只有 B 正确 . 5 D 由题意得 2( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 0 ) l o g 1 6 4f f f f . 6 B 由函数 2xy 与12logyx在 (0, ) 上均为增函数，得12(

12、 ) 2 logxf x x在 (0, ) 上均为增函数，又 00 xa， ( ) 0fa ，则 0( ) ( ) 0f x f a. 7 C 众数： 100 102 1012 ；中位数：设中位数为 x ，有 0.05 2 0.1 2 ( 1 0 0 ) 0 .1 5 0 .5x ，解得 4100 101.33x ；平均数： 0 .0 5 2 9 7 0 .1 2 9 9 0 . 1 5 2 1 0 1 0 . 1 2 5 2 1 0 3 0 . 0 7 5 2 1 0 5 0 .1 9 7 0 .2 9 9 0 .3 1 0 1 0 .2 5 1 0 3 0 .1 5 1 0 5 9.7 9

13、1.6 101.3 . 8 B 原题转化为圆 22: ( 1) 1A x y 与 22: ( 4 ) 4B x y 的公切线的条数问题 .画出图形知两圆外切，于是它们有 3 条公切线 . 9 A 设 (2,0), ( 2, 4)AA ，则 AA 的中点为 (0,2) ，而 1AAk ，则 AA 的垂直线平分线为 : 2 1 ( 0)l y x ，即 2yx ，设点 (5,8)B 关于直线 l 的对称点为 ( , )Bmn ， 则8 11585222nmnm ，解得 67mn ，即与点 (5,8) 重合的点是 (6,7) . 10 C 当 01x时， 0x ， ( ) 0f x x x，由 (

14、) ( )f x g x 得 01x，无解； 当 12x时， 1x ， ( ) 1f x x x x ，由 ( ) ( )f x g x 得 11xx ，无解； 当 23x时， 2x ， ( ) 2 ( 2) 2 4f x x x ，由 ( ) ( )f x g x 得 2 4 1xx ，则 3x ； 23x； 当 34x时，同理得 34x； 当 45x时，同理得 45x； 当 5x 时， ( ) 0f x x x，由 ( ) ( )f x g x 得 0 5 1 ，即 5x 成立； 综上， ( ) ( )f x g x 的解为 25x，则 5 2 3d . 智浪教育 -普惠英才文库 (第 6

15、 页 共 9 页 ) A B C D O 二填空题： 11 42 12 3413 (12,20 14 2 15 10 16 3 11 42第 5 组抽出 22 号，组距为 200 40 5， 第 5 组抽出 22 4 5 42 号 . 12 34当 0m 时， 1 1,1 1mm ，由 (1 ) (1 )f m f m 得 2 (1 ) (1 ) 2m m m m ，即 32m (舍去 )；当 0 时， 1 1,1 1mm ， 由 (1 ) (1 )f m f m 得 (1 ) 2 2 (1 )m m m m ，即 34m . 13 (12,20 输入： 1, 0kS， 输出： S ： 2，

16、6， 12， 20. k ： 2， 3， 4， 5. 此时 20m 判断为“否”，于是 20m ，而 12m 判断为“是”， m 的取值范围是 12 20m . 14 2 先作出 ()fx，再结合函数的图象考虑问题 . 作出函数 的图像，然后作出 2( ) log ( 0)f x x x关于直线yx对称的图像， 与函数( ) 3 2( 0)f x x x x 的图像有 2 个不 同交点，所以函数的 “和谐点对 ”有 2 对 15 10 由 ()fx为偶函数得 ( ) ( )f a f a ， 282( ) 3 2 3a a aa a a ， 则 282a a a ，解得 10a . 16 3

17、可推断得 AC 的中点为该三棱锥外接球的球心 .如图，由 AB 平面 BCD， AB平面 ABD，得平面 ABD 平面 BCD， 又平面 ABD 平面 BCD BD ， CD BD ， CD 平面 ABD，而 AD 平面 ABD， CD AD ， 又 AB BC ，则 22 2B C B D C D ， 22 3A C A B B C ， 取 AC 的中点 O ， 则 OA OB OC OD ， O 是 三棱锥 A BCD 外接球的球心，得 23R ，即 32R ， 该三棱锥外接球的表面积为 243SR . 17解： (1) cos( ) sin2 ， 22sin ( ) cos2 ， 2 分

18、 智浪教育 -普惠英才文库 (第 7 页 共 9 页 ) 2 2 2c o s ( 2 s i n 1 ) c o s ( 2 s i n 1 ) c o s ( 2 s i n 1 )() 1 s i n s i n c o s 2 s i n s i n s i n ( 2 s i n 1 )f cossin ； 7 分 (2) (1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 8 9 )f f f f = c o s 1 c o s 2 c o s 4 5 c o s 8 8 c o s 8 9s i n 1 s i n 2 s i n 4 5 s i n 8 8 s i n 8 9 9 分 = c

19、 o s 1 c o s 8 9 c o s 2 c o s 8 8 c o s 4 5( ) ( )s i n 1 s i n 8 9 s i n 2 s i n 8 8 s i n 4 5 12 分 = c o s 1 s i n 1 c o s 2 s i n 2 c o s 4 5( ) ( ) 1s i n 1 c o s 1 s i n 2 c o s 2 s i n 4 5 . 15 分 18 解： (1)从被检测的 5 辆甲品牌的轻型汽车中任取 2 辆，共有 10 种不同的二氧化碳排放量结果： (80， 110)， (80， 120)， (80， 140)， (80， 150)

20、， (110， 120)， (110， 140)，(110， 150)， (120， 140)， (120， 150)， (140， 150). 3 分 设“至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g/km”为事件 A，则事件 A 包含以下 7 种不同的结果： (80， 140)， (80， 150)， (110， 140)， (110， 150)， (120， 140)， (120， 150)， (140，150)， 7( ) 0.710PA . 6 分 答：至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g/km 的概率为 0.7. 7 分 (2)由题可知， 4801 2 0 1 2 05 xx 乙 ，解

21、得 120x . 9 分又 120x 甲 ， 10 分 2 2 2 2 2 21 6005s 甲 （ 80-120 ） （ 110-120 ） （ 120-120 ） （ 140-120 ） （ 150- 120 ）， 2 2 2 2 2 21 4805s 乙 （ 100-120 ） （ 120-120 ） （ 120-120 ） （ 100-120 ） （ 160 -120 ）， 14 分 22120x x s s 甲 乙 乙甲， ， 乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好 . 15 分 19 (1)证明：由 AB AC ，知 BD 是 O 的直径， 又 AD 平面 ABC ， AC 平面

22、ABC ， AD AC ， 4 分 而 AB AD A ， AC 平面 ABD ， BD 平面 ABD ， AC BD ； 9 分 智浪教育 -普惠英才文库 (第 8 页 共 9 页 ) (2)解：由 (1)及 AB AC 得 ABC 为等腰直角三角形， 10 分 设 ,OA r AD h，又 2AE ， 由其正视图、侧视图的面积分别为 10 和 12，有 12 2 10212 (2 ) 2 122rh rrh r ，解得 22rh ， 15 分 又 EA ABC 平 面 ， 2 4 , 2BC r OA r ， 16 分 三棱锥 E BCD 的体积 1133E A B C D A B C A

23、 B C A B CV V V S A E S A D 1 1 1 1 1 1 6( ) ( ) ( ) ( 4 2 ) ( 2 2 )3 3 2 3 2 3ABCS A E A D B C O A A E A D . 20 分 20解： 2( ) lg( 1)f x x，当 0,3x 时， 0,1()fx ， 而 1( ) ( )2 xg x m，当 1,2x ， 11( ) ,42g x m m ， 4 分 (1)若 存在 1 0,3x ， 对任意 2 1,2x ，使得 12( ) ( )f x g x ， 即 存在 1 0,1()fx ， 对任意2 11( ) ,42g x m m ，使

24、得 12( ) ( )f x g x ， 则 11,42 0,1mm ，有 1 041 12mm ，解得 1124m ， 7 分 即 m 的取值范围是 11 , 24 ； 8 分 (2)若 对任意 1 0,3x ， 存在 2 1,2x ，使得 12( ) ( )f x g x ， 即 对任意 1 0,1()fx ， 存在2 11( ) ,42g x m m ，使得 12( ) ( )f x g x ， 则 min min( ) ( )f x g x ， 10 4 m ，即 14m ， 11 分 即 m 的取值范围是 1 , )4 ； 12 分 (3)若 对任意 1 0,3x ， 任意 2 1,

25、2x ，使得 12( ) ( )f x g x ， 即 任意 1 0,1()fx ， 任意2 11( ) ,42g x m m，使得 12( ) ( )f x g x ， 则 min max( ) ( )f x g x ， 10 2 m ，即 12m ， 15 分 即 m 的取值范围是 1 , )2 ； 16 分 (4)若 存在 1 0,3x ， 存在 2 1,2x ，使得 12( ) ( )f x g x ， 即 存在 1 0,1()fx ， 存在2 11( ) ,42g x m m，使得 12( ) ( )f x g x ， 智浪教育 -普惠英才文库 (第 9 页 共 9 页 ) 则 max min( ) ( )f x g x ， 11 4 m ，即 34m ， 19 分 即 m 的取值范围是 3 , )4 . 20 分