导数及其应用(教师版).doc

1、- 1 -导数及其应用导数与定积分是微积分的核心概念之一，也是中学选学内容中较为重要的知识之一.由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数、数列问题提供了更一般、更有效的方法.因此，本章知识在高考题中常在函数、数列等有关最值不等式问题中有所体现，既考查数形结合思想，分类讨论思想，也考查学生灵活运用所学知识和方法的能力.考题可能以选择题或填空题的形式来考查导数与定积分的基本运算与简单的几何意义，而以解答 题的形式来综合考查学生的分析问题和解决问题的能力. 【知识网络】【知识梳理】一、导数的概念及导数运算1、导数的定义： （1）平均变化率：设函数 在点 及其附近有定义，当自变量 在 处有增量)(xfy

2、0 x0（ 可正可负），则函数 相应地有增量 ，这两个增量的比x )(00fxfy，叫做函数 在点 到 这间的平均变化率。 xffy)(00 )xf0（2）函数 在 处的导数：如果 时， 有极限，则说函数 在点)(fy0xxy)(xfy处可导，并把这个极限叫做 在点 处的导数（或瞬时变化率），记作 或 ，0x)(f0 )(0f0x即 xffxyf )()( 000lim- 2 -（3）函数 的导函数（导数）：如果函数 在开区间 内每一点都可导，则说)(xfy)(xf),(ba在开区间 内可导，此时，对于开区间 内每一个确定的值 ，都对应着一个确定的导数)(xf,ba,ba0x，这样在开区间 内

3、构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做 在开区间 内的0 ),( )(f),(ba导函数（简称导数），记作 或 ， 即 。)(xfy【认知】：（）函数 的导数 是以 为自变量的函数，而函数 在点 处的导数 )(xf)(xf )(xf0)(0xf是一个数值； 在点 处的导数 是 的导函数 在 时的函数值。00)(xf（）求函数 在点 处的导数的三部曲：)(xf求函数的增量 ； 求平均变化率 ；)(00xffy xffxy)(00求极限 。 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。)(lim00xfx题型 1：导数的概念例 1已知 s= ，求 t=3 秒的瞬时速度。2gt解析： = = = （6+

4、=3g=29.4(米/秒)。3tV0limxts0lixts)3(0limxtgg2231)3(10limx)t例 2. 设函数 在点 处可导，且 ，试求（1） ； （2） ；解析：注意到 当 ）- 3 -（1） ；（2） =A+A=2A点评： 注意 的本质，在这一定义中，自变量 x 在 处的增量 的形式是多种多样的，但是，不论 选择哪一种形式，相应的 也必须选择相应的形式，这种步调的一致是求值成功的保障。练习：1. 求函数 y= 的导数。24x解析： ，222)()( xy 22)(4xy=- 。00limlixx 22)(4x38点拨：掌握切线的斜率、 瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为

5、学习导数的定义奠定基础。2. 如图，函数 的图象是折线段 ，其中 的坐标分别为 ，则()fABC， ， (04)2(6)， ， ， ， ，（1） ；(0f（2） （用数字作答）0)(1limxf解析： (0)4， f(f(0)f (4)2，f由导数定义 0lixf (1)； 当 0x2 时， f(x)42x ，f(x)2，f(1)2. f(1 x) f(1)x2、导数的几何意义：函数 在点 处的导数 ，是曲线 在点 处的切线的斜率。)(fy0)(0f )(fy)(,0fP即 0xk题型 2：导数的几何意义例 3 （1）若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为（ ）4yxl480xyl2B

6、CAyx1O 3 4 5 61234- 4 -A B C D430xy450xy430xy430xy（2）在曲线 C： 上，求斜率最小的切线所对应的切点。（2，-12）（3）曲线 和 在它们交点处的两条切线与 轴所围成的三角形面积是 。1x2例 4. 已知曲线 C： ， 直线 ： 与曲线 C 相切于点 (x00)，求xy32lkxy),0yP直线 的方程及切点坐标 .l解析：由 l 过原点，知 k (x00)，又点 P(x0， y0) 在曲线 C 上， y0 x 3 x 2 x0，y0x0 30 20所以 x 3 x02.； 而 y3 x26 x2， k3 x 6 x02.y0x0 20 20

7、又 k ； 所以 3x 6 x02 x 3 x02，其中 x00， y0x0 20 20解得 x0 .； 所以 y0 ，所以 k ，32 38 y0x0 14所以直线 l 的方程为 y x，切点坐标为( ， ).14 32 38变式练习：若函数 yx 33x4 的切线经过点( 2，2)，求此切线方程.解析：设切点为 P(x0，y0)，则 由y3x 23 得切 线的斜率为 k3x 3.20所以函数 yx 33x 4 在 P(x0，y0)处的切线方程为yy 0(3x 3)(x x 0).20又切线经过点(2,2)，得2y 0(3 x 3)(2x 0)，20而切点在曲线上，得 y0x 3x 04，

8、30由解得 x01 或 x02.则切线方程为 y2 或 9xy200.点拨：（1）导数值对应函数在该点处的切线斜率；（2）注意区别曲线在某点的切线和过某点的切线；（3）导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果。练习：1. 设函数 ，曲线 y=g（x）在点 处的切线方程为 ，则曲2)(xgf)1(,g12xy线 在点 处切线的斜率为 4 ；)(xfy)1(,2. 过原点作曲线 的切线，则切点坐标为 ，切线的斜率为 。xey),1(ee3. 曲线 在点 处的切线与 轴，直线 所围成的三角形面积为 ，则 = 3）（ 0,3axa6。 13、导数的运算及导数运算法则（

9、1）常见基本初等函数的导数（求导公式）- 5 -常数的导数： （c 为常数），即常数的导数等于 0。幂函数的导数： 。正弦函数的导数： ； 余弦函数的导数： 对数函数的导数：（） ； （） x1)(ln axexaaln1log)(l指数函数的导数：（） ； （） 。e n（2）导数的运算法则：设 为可导函数，则有：； ； 。（3）复合函数的导数：设 ，复合成以 x 为自变量的函数 ，则复合函数 对自)(),(xufy )(xfy)(xfy变量 的导数 ，等于已知函数对中间变量 的导数 ，乘以中间变量 对自变量 的导数xx )(uuu， 即 。xuuy【认知】：认知复合函数的复合关系循着“由表

10、及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出 ，由第一层中间变量 的函数结构设出 ，由第二层中间变量的函数结构设出 ，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量 为自变量 x 的简单函数 为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条：；题型 3：导数的基本运算例 5求下列函数的导数：（1） ； （2） ； （3） ；)1(2xy )1(xy 1xy（4） ； （5）xeyln2cosinxxy- 6 -练习：（1） ； （2） ； （3） ； 24xyeyx23 xxysinco（4） ； （5）y= ； （6）y ；)1(32xyxsin2 x9532点拨：为避免

11、直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算，首先对函数式进行化简或化整为零，而后再实施求导运算，特别是积、商的形式可以变为代数和的形式，或根式可转化为方幂的形式时，“先变后求”的手法显然更为灵巧。例 6写出由下列函数复合而成的函数并求复合函数的导数：（1） ； （2） ； （3） ， ； 1,cos2xuy xuyln,l5uy32x解析：（1）y=cos(1+ )； （2）y=ln(lnx)； （3） ； X )(x点评：运用上述法则求复合函数导数的解题思路分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运

12、用上述求导法则和基本公式求；还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。练习：1. 求下列复合函数的导数：（1） ； （2） ； （3） ； （4）xy1log2 )2sin(xykxey；ex2)3(- 7 -2. 设 ， ， ， ， ，则xfsin)(0)(01xff)(12xff)(1xffnnN（ ）A. B. C. D. 导数的概念与运算一、选择题(每小题 5 分，共 30 分)1设函数 f(x)(x1) 2(x2)，则 等于limx 1f(x)x 1( )A6 B2C0 D6解析：因为 3x3，所以 6，故选 D.f(x)x 1 (x 1)2 2

13、(x 1)(x 2)x 1 lim x 1f(x)x 1答案：D2若曲线 yx 4 的一条切线 l 与直线 x4y80 互相垂直，则 l 的方程为( )A4xy30 Bx 4y50C4x y30 Dx4y30解析：因为 l 与直线 x4y80 互相垂直，所以 l 的斜率为 4.因为 y4x 3，所以由切 线 l 的斜率是4 得 4x34，所以 x1，所以切点坐 标为(1,1)所以切线方程为 y14(x1) ，即 4xy30，故 选 A.答案：A3若函数 f(x)e xsinx，则此函数图象在点(4，f (4)处的切线的倾斜角为( )A. B02C钝角 D锐角解析：f(x) e xsinxe x

14、cosxe x(sinxcosx) exsin(x )f(4) e4sin(4 )0，b0 Ba0 Da0 ，bx2时 f(x)0，则 a0，又比 较系数得a( x1x 2)b，又因为 x1x 20，故选 A.答案：A5(2009全国卷)已知直线 yx1 与曲线 yln(xa) 相切，则 a 的值为( )A1 B2C1 D2解析：对 yln(x a)求导得 y ，设切点为(m， n)，则切线斜率为1x a- 8 -1，ma1，nln(m a)ln1 0，再由(m ，n)在直 线 yx1 上得 m1，从而得 a2.故选 B.1m a答案：B6函数 y ，x ( ，0) (0，) 的图象可能是下图

15、中的xsinx( )解析：y ，x( ，0) (0，)为偶函数，y ，xsinx sinx xcosxsin2x当 x(0 ， )时，y 0；2 cosx(tanx x)sin2x当 x ，)时，y 0.则 x(0，) 时， y0，函数为增函数，2 sinx xcosxsin2x同时，x(，0)时，函数为减函数，又当 x(0 ， )时，sinx 1.故选 C.2 xsinx答案：C二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)7已知曲线 yx ，则 y| x1 _.1x解析：y(xx )1 x 1 ，12 12 32 12xxy| x1 .12答案：128(2009湖北高考)已知函数 f(x)f

16、( )cosxsinx ，则 f( )的值为_4 4解析：f(x) f cosxsin x，(4)f(x )f sinxcosx，(4)f f sin cos ，(4) (4) 4 4f 1，从而有 f ( 1)cos sin 1.(4) 2 (4) 2 4 4答案：1- 9 -9(2009北京高考)设 f(x)是偶函数若曲线 yf(x) 在点(1，f(1) 处的切线的斜率为 1，则该曲线在点(1，f (1)处的切线的斜率为 _解析：依题知 f(1) 1，limx 0f(1 x) f(1)xf(x)是偶函数，f(1) limx 0f( 1 x) f( 1)x limx 0f(1 x) f(1)

17、x lim x 0f(1 x) f(1) xf(1)1.答案：110半径为 r 的圆的面积 S(r)r 2，周长 C(r)2r，若将 r 看作(0 ，)上的变量，则(r 2)2r ，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于半径 R 的球，若将 R 看作(0， ) 上的变量，请你写出类似于的式子：_ ，式可以用语言叙述为：_.答案：( R3) 4R 243球的体积函数的导数等于球的表面积函数三、解答题(共 50 分)11(15 分) 求下列各函数的导数：12(15 分) 设有抛物线 C： ，通过原点 O 作 C 的切线 ykx，使切点 P 在第一象限(1)求 k 的值；(2)过

18、点 P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点 Q 的坐标- 10 -13(20 分) 设函数 f(x)ax (a，bZ)，曲线 yf(x)在点(2 ，f (2)处的切线方程为 y3.1x b(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：函数 yf(x )的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线 yf(x )上任一点处的切线与直线 x1 和直线 yx 所围三角形的面积为定值，并求出此定值解：(1)f(x) a ，于是 Error!1(x b)2解得Error! 或Error!；因 a，bZ，故 f(x)x .1x 1(2)已知函数 y1x，y 2 都是奇函数，所以函数 g(x)x

19、也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心1x 1x对称图形而函数 f(x)x1 1.1x 1可知，函数 g(x)的图象按向量 a(1,1)平移，即得到函数 f(x)的图象，故函数 f(x)的图象是以点(1,1) 为中心的中心对称图形(3)在曲线上任取一点(x 0，x0 )1x0 1由 f(x 0)1 知，过此点的切线方程为 y 1 (xx 0)1(x0 1)2 x20 x0 1x0 1 1(x0 1)2令 x1，得 y ，切线与直线 x1 的交点为(1， )x0 1x0 1 x0 1x0 1令 yx，得 x2x 01，切线与直线 yx 的交点为(2x 01,2x 01)直线 x1 与直线 yx 的交点 为(1,1) 从而所 围三角形的面 积为