李贤平 《概率论与数理统计 第三章》答案.doc

1、第 3 章 随机变量与分布函数1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率 或 向右或向左移动一格，p1若该质点在时刻 0 从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以 表示时间 n 时质点的位置） 。nS2、设 为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求 的概率分布。 3、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1） （2）;,1,)(Nkcf。,21,!)(kf0(类似 5)、证明函数 是一个密度函数。)()(| xexfx（类似 6） 、若 的分布函数为 N（10，4） ，求 落在下列范围的概率：（1） （6，9） ；（2） （7，12）

2、；（3） （13，15） 。（类似 7） 、若 的分布函数为 N（5，4） ，求 a 使：（1） ；（2）0.aP。01.|5|aP10、设随机变量 取值于0，1，若 只与长度 有关（对一切yxPx） ，试证 服从 0，1均匀分布。0yx11、若存在 上的实值函数 及 以及 及 ，使)(QD)(xTS，)()(expf 则称 是一个单参数的指数族。证明（1）正态分布 ，已知 ，,f ),(20mN0关于参数 ；（2）正态分布 ，已知 ，关于参数 ；（3）普阿松分布),(20mN0关于 都是一个单参数的指数族。),(kp但 上的均匀分布，关于 不是一个单参数的指数族。013、试证 为密度函数的充

3、要条件为 )2(),(cybxakeyxf ,0,02acbca。2back14、若 为分布密度，求为使 成为密度函数，)(,21yfx ),()(),(21yxhfxyf必须而且只需满足什么条件。(h15、若 的密度函数为 ，),与,00,),()2(yxAeyxfy试求：（1）常数 A；（2） ；（3） 的边际分布；（ 4）1,2P；P（5） ；（6） 。)|(yxf |17、证明多项分布的边际分布仍是多项分布。18、设二维随机变量 的联合密度为),( ykkexyxp11212)()(,，试求与 的 边际分布。k0,21 19、若 是对应于分布函数 的密度函数，证明对于一)()(3xfx

4、f )(,)(321xFx切 ，下列函数是密度函数，且具有相同的边际密度函数：)(,)(321xfxf )(,)(321xfxf 1)(21)(21),(, 3321 xFxFfx。21、 （1）若 的联合密度函数为 ，问 与 是),(与,00,4),( yxyf 否相互独立？（2）若 的联合密度函数为 ，问 与 是),(与,010,8),( yxyxf 否相互独立？22、设 的联合密度函数为 ),(与与,020),sini1(8),(3 zyxzyxzyxp试证： 两两独立，但不相互独立。23、设 具有联合密度函数 ，试证 与 不独立，),( 与,01|,|41),(yxyxp但 与 是相互

5、独立的。226、若 与 是独立随变量，均服从普要松分布，参数为 及，试直接证明12 12（1） 具有普承松分布，参数为 ；21（2） 。knkknkP 212121|24、若 相互独立，且皆以概率 取值+1 及 ，令 ，试证 两两独立但, ,不相互独立。27、设 的密度函数为 ，求下列随机变量的分布函数：（1） ，这里)(xp 1；（2） ；（3） 。0Ptg|29、若 为相互独立的分别服从0，1 均匀分布的随机变量，试求 的分布密度, 函数。30、设 相互独立，分别服从 ，试求 的密度函数。, )1,0(N31、若 是独立随机变量，均服从 ，试求 的联合密度函数。, , VU,32、若 相互

6、独立，且皆服从指数分布，参数分别为 ，试求n,21 n,21的分布。)mi(33、在 线段上随机投掷两点，试求两点间距离的分布函数。),0a34、若气体分子的速度是随机向量 ，各分量相互独立，且均服从 ，),(zyxV ),0(2N试证 斑点服从马克斯威尔分布。22zyxS37、设 是两个独立随机变量， 服从 ， 服从自由度为 的 分布(3.14), )1,0(Nn2x令 ，试证 t 的密度函数为 nt/ )1(221)()( nnnxP这分布称为具有自由度 n 的 分布在数理统计中十分重要。t39、若 独立，且均服从 ，试证 与 是独立的。, )1,0(N2UV40、若（ ）服从二元正态分布

7、（2.22） ，试找出 与 相互独立的充要条件。, 41、对二元正态密度函数 ， 6514221exp),( 2yxyyp（1）把它化为标准形式（2.22） ；（2）指出 ；（3）求 ；（4）求rba21,)(pi。)|(yxp42、设 ，试写出分布密度（2.12） ，并求出 的边际密度函21437,01Ba ),(21数。43、设 是相互独立相同分布的随机变量，其密度函数不等于 0，且有二阶导数，试证,若 与 相互独立，则随机变量 均服从正态分布。,解答1、 解：令 表在 n 次移动中向右移动的次数，则 服从二项分布，nkpCkPknn ,10,)1(以 表时刻时质点的位置，则 。nSSn2

8、的分布列为 。n nnnn ppCp2211 )()()(0的分布列为 。nS nnnn 2211 )()()( 42、 解： ，qpPP1与与 ,2 2pq所以 的概率分布为 。,1,2kkp3、 解： （1） ， 。Nkcf1)(c（2） ， 。1)1(!ke 1)(e4.（类似 5）证： ，且 0)(xf 0|21)( xxxededxf是一个密度函数。（类似 6）解：（1） )109(2)(1)06(2)96( P2857.0)(21)10(2P（2） )()()7()17(P74538.0)21(1)0(2P（3） )5(2)()13()15(P06597.)21()0(2P6.（自

9、解） （1）P260300=1-(3)=0.00135（类似 7）解：（1） ，而90.3，令 解得 。 )5(21)5(21)( aaPa 3.1)5(2a6.7a（2）由 得 ，从而 0.|0.P P21)5(=0.995，而 所以 。95.)6(2.5,6.21a7.10、证法一：定义 则 是 的分布函数。由题设),1(,10,0,)(xPxF)(xF得，对任意 有 ，即有22。由此得 。逐一类推可得，若00xxP )(x，则 ，或者 。从而对有理数 ，若 与1,n)(nF)1nFnmx都属于0,1，则有 。再由 的左连续性可得，对任意无理数xxm(x，若 与 都属于0,1，则 。a )

10、(a因为区间 与0,1 的长度相等，由题设得)1,0.1010)( PF由此及上段证明得，对任意 有 ，即 为,xxFx)()(1,0)(x 服从 0,1上均匀分布。证法二：如同证法一中定义 的分布函数 ，由 单调知它对0,1 上的)(xF)(L测试几乎处处可微。设 ，当 时，由题设得)1,0(,21x2,1,01i)(1 xPFx )(222 xFx等式两端都除以 ，再令 可得，由 存在可推得 也存在，而且0)1xF2。从而对任意 有 。当 时显然有)(2xF)(1),(xc( 1,0。一点的长度为 0，由题设得 。由上所述可知 是0 P连续型随机变量， 是其密度函数，从而定出 。至此得证

11、服从0,1均匀分)(xFc布。11、证：（1） 221)mx(ep)x(f 1ln)(2022ln)mx(ep若令 ， ，则有ln_(,)(),(1) 202 DmxTQ 2ln)(xS)epxTQf 这就证明了正态分布 是单参数 的指数族。),(20M0(（2） 200exp21)(mxfm20x0202020 1lnexpx若令 ，则0202020 1ln)(,)(,)(,)( xSmDxTmQepxTQf 所以正态分布 是单参数 的指数族。),(20N)(（3） 。!lnlexp!); kkkp若令 ，则l)(,)(,)(,ln( SDTQ，所以 是单参数 的指数族。exp); kkk)

12、;kp)0(（4）关于 上的均匀分布，其密度函数为,0,0/1)(xxf与是定义在 的函数，由于它是 的分段表示的函数，所以无法写成形)(xfxx式 ， 故 关于 不是一个单参数的指)()(epSDTQ)(f数族。13、证：必要性： dxyekdxyf abcyabx22)(),(令 ，得 。设vyabxu, 1,Jvuvdvedkdxyf abca22),(要积分收敛，必须 ，由此得应有 以及 。利0/)(,02bac 02bcc用 可得due2 11222 backdvekabcau 2bc从而题中所列条件全部满足。以上诸步可逆推，充分性显然。14、解：设 是密度函数，则由 得),()()

13、,(21yxhfxyf0),(yxf。又),(1xh， dxyhdxyhdyfxfdxyf ),(1),()()(),(21所以应有 。0h反之，若 ， 可积且 ，显然有)(2),(1yfxyh),xh0),(dxyh且 ，即 是密度函数。0),(yxf dff所以为使 是密度函数， 必须而且只需满足 且),(),(yx )(2),(1yfxy。,dxyh15、解：（1） 002dyexA2,|2100AeAyx（2） 。0021,Pyx )1(| 4102 eyx（3） 的边际分布，当 时 ，当 时有)(f.xyxedex202（4） deP2200)2(2)(1xexxx.2444 )112)( eee（5）当 时 ；当 时有0,yx|yxf,yx.xyxeff 2)2()(,)|( （6） ,dxedyPy0)2(1 1100)2(10 edeyyx利用（2）的结果可得.14)(1,1, eP 4