第二届华杯赛复赛试题.doc

1、 第二届华杯赛复赛试题1.计算：(0.50.250.125)(0.50.250.125)2有三张卡片，在它们上面各写有一个数字（下图）。从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数。请你将其中的素数都写出来。3有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是 6 米、3 米、2 米。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了 6 厘米和 4 厘米。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？4 在一个圆圈上有几十个孔（不到 100 个），如图。小明像玩跳棋那样，从 A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以

2、后能跳回到 A 孔。他先试着每 隔 2 孔跳一步，结果只能跳到 B 孔。他又试着每隔 4 孔跳一步，也只能跳到 B 孔。最后他每隔 6 孔跳一步，正好跳回到 A 孔。你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？5试将 1，2，3，4，5，6，7 分别填入下图的方框中，每个数字只用一次：使得这三个数中任意两个都互质。其中一个三位数已填好，它是 714。6下图是一张道路图，每段路上的数字是小王走这段路所需的分钟数。请问小王从 A 出发走到 B，最快需要几分钟？7梯形 ABCD 的中位线 EF 长 15 厘米（见图）， ABC =AEF =90， G 是 EF 上的一点。如果三角形 ABG 的面积是梯形 ABC

3、D 面积的 1/5，那么 EG 的长是几厘米？8有三堆砝码，第一堆中每个法码重 3 克，第二堆中每个砝码重 5 克，第三堆中每个砝码重 7 克。请你取最少个数的砝码，使它们的总重量为 130 克写出的取法：需要多少个砝码？其中 3 克、5 克和 7 克的砝码各有几个？9有 5 块圆形的花圃，它们的直径分别是 3 米、4 米、5 米、8 米、9 米；请将这 5 块花圃分成两组，分别交给两个班管理，使两班所管理的面积尽可能接近。10一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是 1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是：1，2，3，5，8，13，21，34，55，问：这串数的前 10

4、0 个数中（包括第 100 个数）有多少个偶数？11王师傅驾车从甲地开乙地交货。如果他往返都以每小时 60 公里的速度行驶，正好可以按时返回甲地。可是，当到达乙地时、他发现他从甲地到乙地的速度只有每小时 55 公里，如果他想按时返回甲地，他应以多大的速度往回开？12如图，大圈是 400 米跑道，由 A 到 B 的跑道长是 200 米，直线距离是 50 米。父子俩同时从 A 点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿于跑大圈，父亲每跑到 B 点便沿各直线跑。父亲每 100 米用 20 秒，儿子每 100 米用 19 秒。如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲再相遇？ 参考答案1 2共

5、有五个质数：2，3，13，23，31 3 491 个 5（见下）648 分钟 76 厘米 8（见下） 9（见下） 10（见下） 1166千米/小时12儿子在跑第 3 圈时,第一次与父亲再相遇1.【解】原式（ ）248（421）24724 7 2.【解】因为三张卡片上的数字和为 6，能被 3 整除，所以用这三个数字任意排成的三位数都能被 3 整除，因此不可能是质数再看二张卡片的情形。因为 123，根据同样的道理，用 12，组成的二位数也能被 3整除，因此也不是质数这样剩下要讨论的二位数只有 13、31、23、32 这四个了，其中13，31 和 23 都是质数，而 32 不是质数最后，一位数有三个

6、：1，2，3。1 不是质数，2 和3 都是质数所以，本题中的质数共有五个：2，3，13，23，31答：共有五个质数：2，3，13，23，31。3.【解】把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积就等于所沉入的碎石的体积.因此，沉入在水池中的碎石的体积是:330.060.54(米 3)，而沉入小水池中的碎石的体积是:220.040.16(米 3)，这两堆碎石的体积一共是:0.540.160.7(米 3)把它们都沉入大水池里，大水池的水面升高所增加的体积也就是 0.7 米 3，而大水池的底面积是:6636(米 3)，所以大水池的水面升高了:0.736 (米) (厘米) (厘米)答：大水池的水面升高了

7、厘米。4.【解】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A 孔编号为 1，然后沿逆时针方向顺次编号为 2，3，4，B 孔的编号就是圆圈上的孔数,每隔 2 孔跳一步，跳在 1，4，7，10，上。最后跳到 B 孔，因此总孔数是 3 的倍数加 1,同样道理，每隔 4 孔跳一步最后跳到 B 孔，就意味着总孔数是 5 的倍数加 1；而每隔 6 孔跳一步最后跳回到 A，就意味着总孔数是 7 的倍数。如果将孔数减 1，那么得数既是 3 的倍数也是 5 的倍数，因而是 15 的倍数。这个 15 的倍数加上 1 就等于孔数，而且能被 7 整除。注意：15 被 7 除余 1，所以 156 被 7 除余 6，15的 6

8、倍加 1 正好被 7 整除。我们还可以看出，15 的其他(小于 7 的)倍数加 1 都不能被 7 整除，而 157105 已经大于 1007 以上的倍数都不必考虑，因此，圆圈上总孔数是 156十 191答：圆圈上共有 91 个孔。5.【解】71423717由此可以看出，要使最下面方框中的数与 714 互质，在剩下未填的数字 2，3，5，6 中只能选 5，也就是说，第三行的一位数只能填 5。现在来讨论第二行的三个方框中应该怎样填 2，3，6 这三个数字。因为任意两个偶数都有公约数 2，而 714 是偶数，所以第二行的三位数不能是偶数，因此个位数字只能是 3这样一来，第二行的三位数只能是 263

9、或 623但是 623 能被 7 整除，所以 623 与 714 不互质.最后来看 263 这个数通过检验可知：714 的质因数 2，3，7 和 17 都不是 263 的因数，所以714 与 263 这两个数互质,显然，263 与 5 也互质.因此 714，263 和 5 这三个数两两互质。于是填法是：6【解】为叙述方便，我们把每个路口都标上字母，如图 a、图 b 所示首先我们将道路图逐步简化。从 A 出发经过 C 到 B 的路线都要经过 DC 和 GC。面从 A 到 C 有两条路线可走： ADC 需时间141327（分钟）； AGC 需时间 151126（分钟）。我们不会走前一条路线，所以可

10、将 DC 这段路抹去。但要注意， AD 不能抹去，因为从 A 到 B 还有别的路线（例如 AHB）经过AD，需要进一步分析。由 G 到 E 也有两条路线可走： CCE 需 16 分钟， GIE 也是 16 分钟。我们可以选择其中的任一条路线，例如选择前一条，抹掉 GIE。（也可以选择后一条而抹掉 CE。但不能抹掉 GC，因为还有别的路线经过它。）这样，道路图被简化成图 49 的形状。在图 b 中，从 A 到 F 有两条路线，经过 H 的一条需 1461737（分钟），经过 G 的一条需 15111036（分钟），我们又可以将前一条路线抹掉（图 c）。图 c 中，从 C 到 B 也有两条路线，比

11、较它们需要的时间，又可将经过 E 的一条路线抹掉。最后，剩下一条最省时间的路线（图 d），它需要 1511101248（分钟）。【又解】要抓住关键点 C。从 A 到 B 的道路如果经过 C 点，那么，从 A 到 C 的道路中选一条最省时间的，即 AGC；从 C 到 B 的道路中也选一条最省时间的，即 CFB。因而从 A 到 B 经过C 的所有道路中最省时间的就是这两条道路接起来的，即 AGCFB。它的总时间是 48 分钟。剩下的只要比较从 A 到 B 而不经过 C 点的道路与道路 AGCFB，看那个更省时间。不经过 C 点的道路只有两条 ： ADHFB ，它需要 49 分钟； AGIEB ，它

12、也需要 49 分钟。所以，从 A 到 B 最快需要 48 分钟。答：最快需要 48 分钟。7【解】梯形 ABCD 的面积等于 EFAB，而三角彤 ABG 的面积等于 EGAB，因此三角形ABG 和梯形 ABCD 的面积比等于 EG 与 EF 的比由题目的条件，三角形 ABG 的面积是梯形ABCD 的面积的 ，即 EG 是 EF 的 因为 EF 长 15 厘米，EG 的长就是：15 6(厘米).答： EG 长 6 厘米8.【解】为了使问题简化，我们首先分析一下这三堆砝码之间的关系。很明显，一个 3 克的砝码加上一个 7 克的砝码正好等于两个 5 克的砝码(都是 10 克)，因此，如果用一个 3

13、克的砝码和一个 7 克的砝码去替换两个 5 克的砝码，砝码的个数及总重量都保持不变这样一来，我们就可以把 5 克砝码两个两个地换掉，直到只剩下一个 5 克的砝码或者没有 5 克砝码为止。问题归结为下面两种情形：(1)所取的砝码中没有 5 克砝码。很明显，为了使所取的砝码个数尽量少，应该尽可能少取3 克砝码而 130 克减去 3 克砝码的总重量应该是 7 克的倍数。计算一下就可以知道，取 0个、1 个、2 个、3 个、4 个、5 个 3 克砝码，所余下的重量都不是 7 克的倍数。如果取 6个 3 克砝码，那么 130 克3 克6112 克7 克16。于是可以取 16 个 7 克砝码和 6 个3

14、克砝码，总共 22 个砝码(2)所取的砝码中有一个 5 克的。那么 3 克和 7 克砝码的总重量是 130 克5 克125克和第一种情形类似，可以算出应取 2 个 3 克砝码和 17 个 7 克砝码，这样总共有172120 个砝码比较上面两种情形，我们得知最少要取 20 个砝码。取法可以就像后一种情形那样：2 个 3克的，1 个 5 克的，17 个 7 克的，当然也可以用两个 5 克砝码换掉一个 3 克和 1 个 7 克的砝码，例如可以取 5 个 5 克的和 15 个 7 克的.9.【解】我们知道，每个圆的面积等于直径的平方乘以（/4）。现在要把 5 个圆分组，两组的总面积要尽可能接近，或者说

15、；两组总面积的比尽可能接近 1.由于每个圆面积都有因子（/ 4）。而我们关心的只是面积的比，所以可把这个共同的因子都去掉，使问题简化为：将 5 个圆公成两组，使两组圆的直径的平方和尽可能接近。5 个圆的直径的平方分别是 9，16，25,64，81.这 5 个数的和是 195.由于 195 是奇数，所以不可能把这 5 个数分成两组，使它们的和相等.另一方面，81 十 1697，9256498，二者仅相差 1.因此，应该把直径 4 米和 9 米的两个花圃交给一个班管理，其余三个花圃交给另一个班管理.答：应该把直径 4 米和 9 米的两个花圃交给一个班管理，其余三个花圃交给另一个班管理。10.【解】

16、观察一下已经写出的数就会发现，每隔两个奇数就有一个偶数。这个规律是不难解释的：因为两个奇数的和是偶数，所以两个奇数后面一定是偶数。另一方面，一个奇数和一个偶数的和是奇数，所以偶数后面一个是奇数，再后面一个还是奇数。这样，一个偶数后面一定有连续两个奇数，而这两个奇数后面一定又是偶数，等等。因此，偶数出现在第三、第六、第九第九十九个位子上。所以偶数的个数等于 100 以内3 的倍数的个数，即等于 99333，于是，这串数的前 100 个数中共有 33 个偶数。本题给出的这串数叫做“菲波那西数列”，又叫“兔子数列”。答：这串数的前 100 个数中共有 33 个偶数。11.【解】王师傅每两千米应行 2

17、(小时) ，现来时每 1 千米行 小时，所以返回时每 1 千米应行： 2 (小时)即应以每小时 66 千米的速度往回开【又解】根据题意，如果王师傅往返都以每小时 60 公里的速度行驶，正好按时返回甲地.也就是说,按计划行驶 1 公里的时间是 小时.而王师傅从甲地到乙地的实际行驶速度只有55 公里/小时，这样一来、实际行驶 1 公里所花费的时间是 小时,比计划多用 小时，为了能按时返回甲地，王师傅从乙地返回甲地时，行驶 1 公里所花的时间必须比原计划时间少 小时.也就是说,只能花 （小时）。因此王师傅往回开的速度应是 66 公/小时。答：王师傅应以 66 公里/小时的速度往回开。12.【解】首先

18、我们要注意到：父亲和儿子只能在由 A 沿逆时针方向到 B 这一段跑道上相遇，而且儿子比父亲跑得快，所以相遇时一定是儿子从后面追上父亲.儿子跑一圈所用的时间是 19(400100)76(秒)，也就是说，儿子每过 76 秒到达 A 点一次。同样道理，父亲每过 50 秒到达 A 点一次。在从 A 到 B 逆时针方向的一段跑道上，儿子要跑 19(200100)38(秒)，父亲要跑 20(200100)40(秒)。因此，只要在父亲到达 A 点后的 2 秒之内，儿子也到达 A 点，儿子就能从后面追上父亲。于是，我们需要找 76的一个整数倍(这个倍数是父子相遇时儿子跑完的圈数)，它比 50 的一个整数倍大，但至多大 2。即要找 76 的一个倍数，它除以 50 的余数在 0 到 2 之间，这试一下就可以了：7650余 26，76250 余 2正合我们的要求。（在一般情况下，应该先看看 76 的倍数除以 50的余数有什么规律）因此，在父子第一次相遇时，儿子已跑完 2 圈，也就是正在跑第 3 圈答：儿子在跑第 3 圈时，第一次再与父亲相遇。