数学竞赛讲义2.doc

1、高中数学精神讲义（二）二次函数与命题一、基础知识1二次函数：当 0 时，y= ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数，其对称轴为直线 x=- ，另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中 x0=- ，下同。2二次函数的性质：当 a0 时，f(x )的图象开口向上，在区间（ -，x 0上随自变量 x 增大函数值减小（简称递减），在x 0, -）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当 a0 时，方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0和不等式 ax2+bx+c0及ax2+bx+c0 时，方程 有两个不等实根，设 x1,x2(x1x2和 x|

2、x10，当 x=x0 时，f(x )取最小值 f(x0)= ,若 a0)，当 x0m, n时，f(x)在m, n上的最小值为 f(x0); 当x0n 时，f(x)在m, n上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。定义 1 能判断真假的语句叫命题，如“35”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。注 1 “p 或 q”复合命题只有当 p，q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p且 q”复合命题只有当 p，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非p”即“p”恰好一真一假。定义 2 原命

3、题：若 p 则 q（p 为条件，q 为结论）；逆命题：若 q 则 p；否命题：若非 p 则 q；逆否命题：若非 q 则非 p。注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真，则记为 p q 否则记作 p q.在命题“若 p则 q”中，如果已知 p q,则 p 是 q 的充分条件；如果 q p，则称 p 是 q 的必要条件；如果 p q 但 q 不 p，则称 p 是 q 的充分非必要条件；如果 p 不 q但 p q，则 p 称为 q 的必要非充分条件；若 p q 且

4、q p，则 p 是 q 的充要条件。二、方法与例题1待定系数法。例 1 设方程 x2-x+1=0 的两根是 ，求满足 f()=,f( )=,f(1)=1 的二次函数 f(x).【解】 设 f(x)=ax2+bx+c(a 0),则由已知 f()=,f()= 相减并整理得（-） （+）a+b+1=0，因为方程 x2-x+1=0 中 0，所以 ，所以(+) a+b+1=0.又 +=1, 所以 a+b+1=0.又因为 f(1)=a+b+c=1，所以 c-1=1，所以 c=2.又 b=-(a+1)，所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2.再由 f()= 得 a 2-(a+1)+2= ,所以 a 2-a

5、+2= + =1，所以 a 2-a+1=0.即 a( 2-+1)+1-a=0, 即 1-a=0，所以 a=1,所以 f(x)=x2-2x+2.2方程的思想。例 2 已知 f(x)=ax2-c 满足-4f(1)-1, -1f(2) 5，求 f(3)的取值范围。【解】 因为-4f(1)= a-c-1,所以 1-f (1)=c-a4.又-1 f(2)=4a-c5, f(3)= f(2)- f(1),所以 (-1)+ f(3) 5+ 4,所以-1 f (3)20.3利用二次函数的性质。例 3 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR, a 0)，若方程 f(x)=x 无实根，求证：方程

6、f(f(x)=x 也无实根。【证明】若 a0，因为 f(x)=x 无实根，所以二次函数 g(x)=f(x)-x 图象与 x 轴无公共点且开口向上，所以对任意的 xR,f(x )-x0 即 f(x)x，从而 f(f(x)f(x)。所以 f(f(x)x，所以方程 f(f(x)=x 无实根。注：请读者思考例 3 的逆命题是否正确。4利用二次函数表达式解题。例 4 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程 f(x)=x 的两根 x1, x2 满足 00，所以 f(x)x.其次 f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+ 1，求证：方程的正根比 1 小，负根比-

7、1 大。【证明】 方程化为 2a2x2+2ax+1-a2=0.构造 f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,f(1)=(a+1)20, f(-1)=(a-1)20, f(0)=1-a20 ，所以 f(x)在区间（-1,0）和（ 0，1）上各有一根。即方程的正根比 1 小，负根比-1 大。6定义在区间上的二次函数的最值。例 6 当 x 取何值时，函数 y= 取最小值？求出这个最小值。【解】 y=1- ,令 u,则 0-(b+1)，即 b-2 时，x 2+bx 在0，-(b+1)上是减函数，所以 x2+bx 的最小值为 b+1,b+1=- ,b=- .综上，b=- .7.一元二次不等式问题的解法。

8、例 8 已知不等式组 的整数解恰好有两个，求 a 的取值范围。【解】 因为方程 x2-x+a-a2=0 的两根为 x1=a, x2=1-a,若 a0，则 x11-2a.因为 1-2a1-a，所以 a0,所以不等式组无解。若 a0，）当 0 时， a1-a，由得 x1-2a，所以不等式组的解集为 1-a1 且 a-(1-a)3，所以 10，=( B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)20 恒成立，所以(B-A-C) 2-4AC0，即 A2+B2+C22(AB+BC+ CA)同理有 B0，C0，所以必要性成立。再证充分性，若 A0，B0，C0 且 A2+B2+C22( AB+BC+CA)，1

9、）若 A=0，则由 B2+C22BC 得(B-C) 20，所以 B=C，所以=0，所以成立，成立。2）若 A0，则由知 0，所以成立，所以 成立。综上，充分性得证。9常用结论。定理 1 若 a, bR, |a|-|b| |a+b|a|+|b|.【证明】 因为-|a|a|a|,-| b|b| b|，所以-(|a|+|b|)a+b| a|+|b|,所以|a+ b|a|+|b|（注：若 m0，则-mx m 等价于 |x|m ）.又|a|=| a+b-b|a+b|+|-b|,即|a|-|b|a+b|.综上定理 1 得证。定理 2 若 a,bR, 则 a2+b22ab；若 x,yR +,则 x+y(证略)注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。