数学金融学第二章远期1.doc

1、长沙理工大学备课纸数学金融学第二章远期第 1 页 共 24 页第二章 远 期2.1 远期及其价格和价值一、基本概念(P13)1. 远期合约定义 1.1 甲乙双方在 (目前)时刻 签订一份合约: 在将来给定时刻以(当前)设定价格成交t一种物品,这样一份合约称为 上的一个远期(合约) (forward(contract).合约中成交的物品,tT称为标的资产(underlying asset)或标的物品(underlying commodity),所设定的成交价格称为交割价格(delivery price),也称为远期价格(forward price),记为 (只依赖于 和 ).时刻 称为到,qtT

2、tT期时刻(maturity).在到期时刻 将成为标的资产的买方与卖方分别称为多头(long position)与空头(short position). 例 1.2 (P13) 甲乙签订了一份在 3 个月以后以交割价格为 8.23 人民币元/ 美元(汇率为8.23:1),标的资产为美元,其数量为 10 万元的买卖合约 (远期).其中,甲方为买方(多头),乙方为卖方(空头 ).假如在到期日,美元的价格涨到了 8.30 元,则甲方获利 10000008.3010000008.23=7000(人民币 ,元), 乙方损失为 7000(人民币,元);假如在到期日,美元的价格跌到了 8.30 元,则乙方获

3、利 10000008.2310000008.20=3000(人民币 ,元), 甲方损失为 3000(人民币,元). 2. 远期合约的价值从例 2.1 看出,当双方敲定交割价格后,标的资产到期价格上涨对多头有利,而对空头不利; 标的资产到期价格下跌对空头有利,对多头不利.所以,多空双方如何敲定交割价格对双方损益(payoff,也称为收益或回报)至关重要.假设签约双方均是理性的(不愿意吃亏)、对称的(资产、能力等均对等), 那么,得到远期价格确定原则为:在签约时刻,远期本身的(期望)价值为 0.设 为标的资产在时刻 处即期价格.由远期价格确定原则可知,PstTs, (1.3),qt由于确定远期价格

4、 时,双方可利用的信息是到时刻 为止的所有市场信息,但没有时刻qt t t后的信息,那么,上述远期价格确定原则对如何确定远期价格 不方便.于是我们需要从所qT谓“远期的价值”来考虑如何确定远期价格.定义 1.1.1 称(1.4);,fstT ,rTs rTsPqtTPqsete 为当无风险利率 为常数时,时间 上远期合约在时刻 的价值,其中 表rt,Pq示远期的多头在时刻 的损益.,st当利率 (常数)时,由第一章(1.17.1)知,时间 上远期合约在时刻 的价tc,t ,st值为. (1.5);,fstT,Tsrdqste说明:长沙理工大学备课纸数学金融学第二章远期第 2 页 共 24 页

5、(1.4)和(1.5)式实际含义表示 : 时间 上远期合约在时刻 的价值 等,tT,stT;,fstT于时间 上远期的多头的损益 与时间 上远期的多头的损益 ,tTPq即 , P即之差的按无风险利率 (常数或非常数)贴现值;qsr 时间 上远期合约在时刻 的价值 不是标的资产即期价格 ;,t ,st;,fst s 当标的资产价格上涨时,有 ,则 ;当标的资产价格下跌时,有T0T,则 .sTt;,0fst 由(1.4)和 (1.5)式可得,多头在 处价值为s, (1.6);,ftPqt即为多头在到期时刻 的损益;多头在 处价值为t, (1.7);,ft0即时间 上远期合约的价值为 0,这恰好就是

6、远期价格确定原则.T下面,我们在市场无套利(套利是指人们可以通过某种方式在 内获得无本钱且无风险,tT的利润,那么无套利是指要获得利润就得有本钱或冒风险)的基本假设下,考虑几种有用的特殊情况.二、无收益证券(P15)设一份时间 上远期合约中,标的资产是不支付收益的证券(例如,在时间 内不付红tT ,tT利的股票、贴现债券,即到期时刻的价值的债券).又设无风险利率 为常数,且以连续复利计算r投资所获得资金或贴现值.1. 在市场无套利假设下,无收益证券的远期价格定理 1.1 假设市场无套利,则无收益证券的远期价格. (1.8),rTtqtPe证明 1) 假设 ,则投资者可以以无风险利率 借入 ,期

7、限为 ,用,rTtqPerPtTt于买进标的证券;同时,签订卖出标的证券的远期合约 (在时刻 并无资金流动).在到期时刻 ,按t合约价格卖出证券获得 ,同时连本带息归还借款 ,这样他获得(无风险)利润为t rTPe.,0rTtqtPe2) 假设 ,投资者可以在时刻 卖空证券获得 ,用于以无风险利率 投,rTttt r资,期限为 ;同时,签订买入该证券的远期合约(在时刻 并无资金流动).在到期时刻 ,他用t T投资所获得 按合约价格 买入证券,以冲抵原空头, 这样他获得(无风险)利润为rTteqt.,0rtPq所以,综合 1)、2) 知(1.8) 在市场无套利假设下成立 .例 1.3(P16)

8、假定某种股票目前价格为 50 元,且在未来 6 个月内不付红利.假定 6 个月期无风险年利率为 5%,现在我们签订一个 6 个月期的以此股票为标的资产的远期合约,那么在市场无套利情况下,求该远期价格(远期合约中将来标的资产的交割价格) .,qtT解 =0.5, ,由(1.8)知 .(元).Tt6120.5,0rPt,qtT0.5127e2. 在市场无套利假设下,无收益证券的远期合约的价值长沙理工大学备课纸数学金融学第二章远期第 3 页 共 24 页定理 1.2 假设市场无套利,则时间 上无收益证券的远期合约在时刻 的价值为,tT,stT(1.9);fstT,rTsPsqte证明 , 1.8(1

9、.4),rTsrTsrTtrstePee.s证券组合价值相等原则相等: 如果在时间 ( 为初始时刻)上的两个证券组合在到时,t刻 的价值相等,那么,在市场无套利条件下,这两个证券组合在时刻 的价值也应该相T ,st等.下面我 们从这个角度出发来讨论时间 上远期合约在时刻 的价值 .,tTT;,fstT假定在(初始)时刻 有两个重要证券组合:0,tT组合 1: 多头有一份在时间 上远期合约 ,外加数额为 的现,t;,0ft,rtqte金,其中 为该远期的价格.,qtT组合 2: 价值为 的一股标的证券.Pt讨论:在 时刻,假定组合 1 中现金以无风险利率 投资,则多头将拥有资金 ,恰好可以按远r

10、qtT期合约购买一股标的证券(此时,市价为 ),故此时组合 1 的价值(不是远期合约的价值)为PT.于是在 时刻, 组合 1 价值等于组合 2 价值( );PT 在任何时刻 ,组合 1 的价值为stT在 时刻,远期合约的价值在时间 上,现金以无风险利率 投资收益tsr,;ft, ;rtrst rTsqtefTqte 组合 2 的价值为 .在市场无套利条件下, 时刻,这两个组合的价值应该相等,即Ps. (1.10);,fstTrTst显然, (1.10)与 (1.9)是等价的 .当 时,由 知(1.10)就可化为(1.8).t;,ft0例 1.4(P17) 假定一个还有 9 个月将到期的远期合约

11、,标的资产是一年期的贴现债券,远期合约的交割价格为 1000 元.假设 9 个月期的无风险(连续复利)年利率为 6%,债券的现价为 960元.求在市场无套利条件下,在当前时刻 远期(多头)的价值.s解 =0.75, , .,Ts9120.6,0rP10qtT由(1.9)知当前时刻 ,在市场无套利条件下,远期(多头)的价值元,;,ftrTsPqte.67594e从而,在当前时刻 空头的价值为 元.s4三、己知现金收益的证券(P17)设一份时间 ( 为初始时刻)上远期合约中,标的资产是在时间 内在,t ,tT1n个时刻有已知收益的证券(例如,在时间 内有附息的债券).又设无风险利率 为常数,且以连

12、,tTr续复利计算投资所获得资金或贴现值.又假定 为远期合约有效期内的现金收益总额的现值It(贴现率为无风险利率 ).在此假定:持有标的资产者在时间 内将所有分红以无风险利率r ,t长沙理工大学备课纸数学金融学第二章远期第 4 页 共 24 页即时投资.r1. 关于 的讨论It(1) 设投资者持有的证券在时间 内的在 个时刻,tT1n1212,nsts 有红利的收入分别为 ,nsT12a1) 由定义知. (1.10.1)It12nrstrstrstaee2) 投资者将证券在时间 上红利的总收入以无风险利率 投资收益 为,Tr,RtT,12()()(), nrTsrTsrsRtea 1212 n

13、rtstrTtstTtstneaeae于是由(1.10.1) 知. (1.10.2),rttI(2) 设 ,投资者将证券在时间 上红利的总收入以无风险利率 投资收益为s,ts r. (1.10.3),RtrsteI事实上, 设投资者持有的证券在时间 内的在 个时刻,tT1n1122,nsts有红利的收入分别为 ,在时间 内的在 个时刻 1n12a ,sT1,n, 有红利的收入分别为 , ,则12ns21122nnss 1na212na,Rt1nrsrrsaee又 rstII 111 121 121.0 ()()()()nn nrstrst rstrstrstaaeae = .1 121 12(

14、)()n ns saee 21nrse ,R所以 (1.10.3)成立.2. 在市场无套利假设下, 有己知现金收益证券的远期价格定理 1.3 在市场无套利条件下,. (1.11), rTtqtTPtIe类似于定理 1.1 可证定理 1.3 成立,证明见 P17.例 1.5(P18) 设一个现价为 100 元的股票的 10 个月期的远期合约.又设无风险利率(连续复利)的年利率为 8%,且假定在 3 个月、6 个月和 9 个月后都会有红利为每股 1.5 元的.求在市场无套利条件下,在初始时刻 的交割价格 .t,qtT解 而 , ,Ts10/2.80.,60rP则, 红利的总现值为: 元,3910.

15、8.80.81212125543Itee则 元.1. .8,43qt3. 在市场无套利假设下,有己知现金收益证券的远期合约的价值定理 1.4 假设市场无套利,则时间 上有己知现金收益证券的远期合约在时刻,tT ,stT长沙理工大学备课纸数学金融学第二章远期第 5 页 共 24 页的价值为 . (1.11.1);,fstT,rTsPsIqte证明 (1.4)1. ,rTsrTsPsIeqte.,rTssIt现在,我们用另一种方式来讨论时间 上远期合约在时刻 的价值 .,t ,t;,fst假定在(初始)时刻 有两个证券组合:0,t组合 1: 一份在时间 内的多头远期合约 ,外加数额为 的现T;,0

16、ftT,rTtqte金,其中 为该远期的价格.,qtT组合 2: 价值为 的一股标的证券和以无风险利率 借得数额为 的现金.Pt rIt讨论: 假定组合 1 中现金以无风险利率 投资,则在在 时刻,将拥有资金 ,恰好可以按rTqtT远期合约购买一股标的证券(此时,市价为 ),故此时组合 1 的价值为 .PP在 时刻,组合 2 价值为T 在时间 上,现金 以无风险利率 投资收益 时刻,连本带息的借PtTItr款 ,rtrTtIee所以,在 时刻, 组合 1 价值等于组合 2 价值. 在任何时刻 ,st组合 1 的价值为,;,fstT, ;,rTtrst rTsqteftTqte 组合 2 的价值

17、为证券在时间 上红利的总收入以无风险利率 投资收益 P,t ,Rts 时刻,连本带息的借款 srstIerst rPIeIe,1.03Is于是由上述讨论知,在市场无套利条件下, 时刻,这两个组合的价值应该相等,即s. (1.12);fstT,rTsqteI显然, (1.12)与 (1.11.1)是等价的 .当 时,由 知(1.12)就可化为(1.11).t;,ftT0例 1.6(P18) 考虑一种三年期国债,目前价格为 91 元.考虑还有一年将到期的这种的国债远期合约.假定远期价格为 91 元,在 6 个月和 12 个月后,预计都将收到 6 元利息,而第二次付息日正好在远期交割日之前,假定 6

18、 个月和 12 个月的无风险利率分别为 9%和 10%.求目前(时刻 )s的远期价值.解 =90,=91, , =1,且 (元), PsqtTs0.950.167Ite所以,目前(时刻 )该远期的(多头) 价值为(元).;,ftT,3.1rTsIte长沙理工大学备课纸数学金融学第二章远期第 6 页 共 24 页四、己知红利率的证券(P18)设一份时间 ( 为初始时刻)上远期合约中,标的资产是时间 中每一时刻具有红利,tT ,tT为 (一股 )证券 (例如,股票指数), 假定该证券的红利收益率以按年利率 (连续复利)支付的.下 面讨论这样的远期合约在时刻 的价值 .,stT;,fstT在讨论 之

19、前,我们作如下假定:;fst持有标的证券者在时间 上一直将所有分红即时购买该证券.在 时刻,持有者所,t stT拥有的该证券的股数记为 .bs1. 的计算公式bs记在时刻 ,持有标的证券者在分红总收入为 ,则tTas= , (1.13.1)a由第一章(1.16) 式和 定义知,1.30limhsasbs求解得. (1.13.2)stbse2. 具有己知红利率的证券的远期价值 和 的计算公式;,fstT,qt假定在(初始)时刻 有两个证券组合:0,tT组合 1: 一份多头在时间 上远期合约 ,外加数额为 的现金,t;,0ft,rTtqte其中 为该远期的价格.,qtT组合 2: 持有股价为 ,股

20、数为 标的证券.PtTte讨论: 假定组合 1 中现金以无风险利率 投资,则在在 时刻,将拥有资金 ,恰好可以按rTqtT远期合约购买一股标的证券(此时,市价为 ),故此时组合 1 的价值为 .PP由在 时刻,因为组合 2 中持有标的证券者在时间 上一直将所有分红即时购买该证券,T t那么由(1.13.1) 知, 持有者所拥有该证券数量为 ,故组合 2 中价值为 .Ttbe所以, 在 时刻, 组合 1 价值等于组合 2 价值. 在任何时刻 ,stT组合 1 的价值为;,fstT, ;,rtrst rTsqteftTqte 组合 2 的价值为,1.32st tstTsbPbPeP于是,在市场无套

21、利条件下, 时刻,这两个组合的价值应该相等,即. (1.14);,fstT,rTsTsqte由(1.14)式可得出以下定理 1.5长沙理工大学备课纸数学金融学第二章远期第 7 页 共 24 页定理 1.5 假设市场无套利,则时间 上具有己知红利率的远期合约在时刻,tT ,stT的价值为, (1.15);,fstT,TsrsPeqte时间 上具有己知红利率的远期合约价格为 . (1.16);,0,ftrTtqt例 1.7(P19) 设一个还有 6 个月的到期的远期, 标的资产的连续红利收益率为 6%.假定无风险利率( 连续复利) 为每年 10%,远期价格为 54 元,目前该标的资产的价格为 50

22、 元,求目前(时刻)的远期价值和远期价格.s解 =50, , =54, =0.5, =0.1, =0.04PsqtTsr所以,目前(时刻 )该远期( 多头) 的价值为=-2.36 (元),;,ft,srTsete时间 上具有己知红利率的该远期合约远期的价格为sT=51.23(元). ,rTsqP五、采用定期复利计算远期的价格和价值的公式请读者自行讨论.2.2 远期汇率一、引例(P20)假定某个公司需要在一年后偿还一笔数额为 110 万欧元的债务,该公司有足够的美元,但没有欧元,它需要向银行购买.由于汇率的变化, 公司希望当前能与银行锁定一个一年后双方能接受的汇率以便购买欧元还债务,.假定目前的

23、即期汇率为 1 美元:1.10 欧元,一年定期美元利率为3%,一年定期欧元利率为 4%,为了满足该公司的要求, 银行交易员需要根据已有信息报出一年后的美元/欧元的汇率,我们称这样的汇率为远期汇率 .下面我们给出更明确的定义.二、 远期汇率(P20)1. 概念定义 2.1 远期汇率是指在当前时刻确定的将来某个时刻买卖双方都能接受的汇率,它是以汇率作为标的资产的远期合约的交割价格.下面我们讨论上述引例中远期汇率的交割价格 /1,0hta欧 元 美 元 为 当 前 时 刻 ,t为 交.割 时 刻讨论: 在引例中,银行是远期汇率的空头,而那家公司是远期汇率的多头.那么银行将在一年后按交割价格 售出 1

24、10 万元欧元, 公司按交割价格 购入 110 万元欧元.ht ht 目前,银行可以贷出一笔数额为 110/1.04105.77 万欧元,那么,银行在一年后连本带息拥有了 110 万元欧元,从而按合约卖给公司. 105.77 万欧元按当前汇率可折算为 105.77/1.196.15 万美元,而目前的 96.15 万美元一年后连本带息为 96.151.0399.04 万美元.于是远期汇率(交割价格)应该至少为:长沙理工大学备课纸数学金融学第二章远期第 8 页 共 24 页1.11(远期汇率:1 美元1.11 欧元),ht109.4这样银行才不会亏本.值得注意的是, 一年后的真实汇率未必是 1(美

25、元): (1.11 欧元),但这种交割价格是买卖双方能够接受的.2.一般情况下的远期汇率的计算在远期汇率中,我们仍以美元作为所谓“基础货币”,以欧元作为所谓“报价货币”.假定当前时刻为 0,在任何时刻 ,远期汇率为:0t1(美元 )= (欧元), (2.1)ht假定欧元当前的(年) 利率为 ,美元当前的(年) 利率为 .下面我们用两种方式计算 .r0r ht(1) 我们假定年为 天, 为天数.采用年定期复利的方式进行计算 .nt设现在贷出 欧元, 天后得到 1 欧元.则x. (2.7.1)11tntrr目前 欧元= 美元,而目前 美元 天后连本带息变为x0h0xht(美元), (2.7.2)0

26、02.710011 tntn ttrrtrrt 故 天后, 1(欧元)应该等于这笔美元,即t1(欧元 )= (美元), (2.7.3)001tnttrrht故 天后,t(欧元 )=1(美元) (欧元). (2.8)ht2.73001tnttrrht当 时,有tn. (2.5)01trht在实际中, ,则由(2.5)知 ,也就是说远期汇率 和即期汇率 常常trn0htht0h差不多同步变化,这样远期汇率的报价一般变动较大.我们称长沙理工大学备课纸数学金融学第二章远期第 9 页 共 24 页(2.6)001trndthh为远期汇差(forward margin).如果在(2.5)、 (2.6)式中

27、,将 与 看成为变量,则t0. (2.7)2.52.601,1trhtdhn(2) 采用连续复利的方式进行计算 .t1) 当无风险利率 和 均为常数时r0设现在贷出 欧元, 天后得到 1 欧元.则 , 故xt /rtnxe, (2.8.1)/rtnxe目前 欧元= 美元,而目前 美元 天后连本带息变为0h0xht(美元), (2.8.2)02.81/ rtnrtnee故 天后, 1(欧元)应该等于这笔美元,即 1(欧元)= (美元),所以t 0/1rtneh= . (2.9)h0/1rtne2) 当无风险利率 和 分别为函数 和 时0rt0t= . (2.9.1)t0trsdse2.3 远期利

28、率一、引例(P22)例 4.1 某个公司需要在 6 个月后得到一笔数额为 100 万元的 6 个月期限的贷款,它希望与银行签订远期合约,其中标的资产为贷款利率,敲定一个双方都能接受的远期利率 (交割价格).r银行是远期利率的空头,而那家公司是远期利率的多头.在例 1 中,假定目前 6 个月的现金(年)利率为 5%,12 个月的现金(年)利率为 5.5%.下面讨论的计算.r讨论: 银行为了 6 个月后能够有 100 万元贷出,由于银行不知道 6 个月后的 6 个月期限的利率,故需要在目前(时刻 0)以 5.5%利率借入期限为 12 个月的(待定数额) 万元.x 该公司需要贷款的日期是 6 个月后

29、,所以,银行会将以 5%利率贷出 6 个月,并期望这万元在 6 个月后连本带息变为 100 万元,则x(万元) (2.9.2)0.51017.512.2x 银行在公司需要贷款的时刻,以年利率 将 100 万元贷给该公司,期限为 6 个月.那么,到r长沙理工大学备课纸数学金融学第二章远期第 10 页 共 24 页期后银行连本带息收回公司还款 万元.但在此时刻,银行需要还借款 万10/2r 10.5x元,所以,银行确定的远期利率 ,必然会满足 ,故 r1/r2.90.56x,5.834%r从而,银行在具体操作时,会以略高于 5.834%的年利率报价(因为银行要赢利,但银行又考虑借方又能够接受的利率

30、),尽管 6 个月后的 6 个月期限的真实利率未必就是 5.834%,但这是借贷双方都能接受的远期利率.二、一般远期利率的计算公式(P22)设借贷双方在当前时刻(时刻 0)签订了一份时间 后,贷款期限为时间 的远1T02T10期利率 ( 时刻 ,期限为时间 的贷款利率)合约. r1T2T1设 和 为月数,在时刻 0,期限为 和期限为 的现金利率分别为 和 .又假定借款方在2 21r2时刻,所需贷款数额为 .1 a 当 和 均为即期利率(未必是年利率) 1r2类似于引例的讨论可知(证明见 P23). (3.3)1r 当 、 和 均为年利率,采用年定期复利的方式进行计算 .2 r银行在时刻 0,以

31、利率为 借入期限为 的 元;然后将以利率为 贷出( 期限为 ),使得在2r2Tx11T时刻 获得借款方所需要的贷款额 ,则1Ta,1121Txr从而,. (3.3.1)1121/ 2Tarr又银行在时刻 ,需连本带息归还借款数额为,22121Txrr银行为了不亏本,那么,银行在到期时刻 ,连本带息收回贷款不小于连本带息归还借款的2T数额,所以,远期利率 必然满足r,212121Tar r22121Txrr由(3.3.1)式知, (3.3.2)212121TTr r21/22/11/TTr(3.3.2)式的解 就是借贷双方都能接受的远期利率.在引例中, =12, =6, =0.05, =0.055.那么(3.3.2)式为21r2