数学金融学第九章未定权益的定价理论1.doc

1、长沙理工大学备课纸数学金融学第九章未定权益的定价理论第 1 页 共 28 页第九章未定权益的定价理论对于未定权益,我们已经不陌生了.在第 4,5,7 和 8 章中分别讨论过一些情形.本章中,我们将建立连续时间市场中的未定权益定价理论.9.1 欧式未定权益定价问题在第 8 章第 4 节中,我们出于引入市场(广义或者内蕴)完备性定义的需要,提到了欧式未定权益的可复制性.在这里,我们将专门讨论欧式未定权益的可复制性以及可定价性.为了避免叙述的繁琐和可能的喧宾夺主,假定市场是无磨擦的.我们将在0,T 上的市场 重写于下:M(,)rb(1.1)010()(),0;(),0,1;()1,(),.diiii

2、jjjiidPtrtTbtwtTinpn假定条件 成立,对于初始财富 及证券组合过程 ,财富过程满足下述方程：My()tT(1.2)()(),(),0dYttrtrtdsdsybw一、问题现在考虑 上的欧式未定权益 ,即持有都到到期时刻 能够获得收益0,T2()TRFLT的一个未定权益.我们的问题可以叙述如下:问题 1.1 寻找和 ,使 ,使得yR()t(1.3)(;,)YyA如果满足上述(1.3) 的 和 存在,则称 在 上是可复制的,称 是 在 0T()上的一个复制策略,称 为 在时刻 0 的一个准价格.当 可复制且准价格 惟一时（这0T y里不要求 的惟一性）,称 在 上是可定价的,并称

3、 为在时刻 0 的一个价格.() Ty易见,问题 1.1 等价于求解下述倒向随机微分方程：(1.4)(),()1(),(),;().dYttrtrtdtdtTTbw此时,我们也称 为未定权益 的价格过程.()A由上面的定义可见,在 上可复制的(欧式)未定权益似乎未必是在 上可定价的.我0,T 0,们回忆:在单时段市场情形,存在可复制的但不可定价的未定权益 ;而当市场成立单一价格定律时(特别的，当市场无套利时),可复制的未定权益必是可定价的.对于连续时间市场情形,我们也容易构造在 上可复制的但不可定价的未定权益.事实上,对于比较极端的情形 ,(1.2)0T ()0变成一个常微分方程.此时,我们很

4、容易构造在 上可复制的但不可定价的未定权益,对于0T,人们也可以造出这样的例子.我们把细节留给了读者.()我们注意到,问题 1.1 考虑的是 上是欧式未定权益.类似地,对任何 ,我们可以tT长沙理工大学备课纸数学金融学第九章未定权益的定价理论第 2 页 共 28 页考虑 上的欧式未定权益.不过,对此情形,复制策略 ,而时刻 的价格 应该是tT ()tTtt一个 可测的随机变量。我们把相应于 的问题 1.1 的提法以及有关概念的定义留给读t F,tT者自选完成.我们知道,方程(1.2) 的解满足下述的所谓半群性质:(1.5)0,;,();|()|()0,ttTYTyYTtytAA其中 和 分别为

5、 在 和 上的限制.因此,当未定权益 在 上也0,|t,|()t ,tT是可复制的,并且 是它的一个复制策略, 是它在时刻 的一个准价格.但,tT 0,;|()tYyAt是,仅凭上面的所述,我们似乎无法保证当未定权益 在 上可定价时,它是否在 上也是T,可定价，因为此时尽管 在时刻 的价格 是惟一的,但它在 上的复制策略未必惟一,从而,时0y刻 的准价格 似乎就未必惟一了.不过,我们将会看到,在一定条件下,当0,t,;|()tYyA未定权益 在 上可定价时,它在 上也是可定价的.TT二、欧式未定权益的鞅定价现在,我们假定并且 (1.6) dn1()0,;nRALF在条件(1.6)下 ,市场的风

6、险市价存在,并有下述表达式:, (1.7) ()(),ttrtTb对任何的证券组合过程 ，定义(1.8) 10,AZ由于条件(1.6), 映照 是 到其自身的同构，所以为了方便起见，我们也将()AZ,t称为证券组合过程,这样对应初始财富 及 ，财富过程 就() y()0,TAZ();,()YyAAZ满足下述方程：(1.9)()(),;(0.dYttrtdtwty我们有下述的基本结果。定理 1.2 假定条件 和(1.6) 成立,则任何欧式未定权益 均在任何的(M1) 2(,)TRFL上可定价,并且价格过程 由下式给出;tTYA(1.10)()|,0TtrdtpYEeTF其中 为第八章(3.6)

7、所定义的等价鞅测度.P证明: 由条件 、(1.6) 和第八章定理 4.3 证明知.倒向随机微分方程(1)0()(),0;.Trtddt tYew对任何 存在惟一的适应解 .又上述倒向随机微分方程的解为2,TRFL(),Y长沙理工大学备课纸数学金融学第九章未定权益的定价理论第 3 页 共 28 页()(),(),0TtYttdtTw又由第八章(1.0.7)知 ,()|0,TtptEdtT F故, ,0 0() ()| |,trd rdt t tppetYEeT F所以, .()|,0TtrdtpYt TF上面的定理给出了在条件 和(1.6)上任何欧式未定权益的可定价性。表达式(1.10)称作(M

8、1)(现行框架下的) 的未定权益的风险中性定价原则(比较第 5 章和第 7 章中的离散时间情形),上面证明定理 1.2 的方法称为倒向随机微分方程方法,也称鞅方法.我们不难注意到,上面定理 1.2 本质上仅仅给出了未定权益的可定价性,公式(1.10)其实不是太好用,因为条件数学期望的计算并不容易,因此,定理 1.2 在使用时不太方便.下面,我们将探求未定权益的更容易计算的公式.为此,我们进一步假定(M2)成立(即市场 的系数均是确M(,)rb定性的), 并且未定权益具有形式 ,其中, 为一个连续子函数,最典型的例子()gPT:ngR是 ,1n(1.16) ()max,0gpqpq和(1.17)

9、它们分别对应于欧式看涨期权和欧式看跌期权。三、运用 公式进行的欧式未定权益的定价方程 - Black-Scholes 方程Ito现在，我们来寻找形如 欧式未定权益的定价公式各复制策略过程.由上面的定()gTP理 1.2,在(M1)和(1.6) 满足时 ,下述倒向随机微分方程存在惟一的适应解 :(),Y(1.18)()()(,),0;.dYttrtdttTTgZZwP假定存在一个光滑的待定函数 使得,A(1.19)(),()0,ttT则对(1.19)运用 公式,由(1.1) 可得Io()1(),()()(,)YtrtrtdtdtYtdtbwP (1.),(3.) 1 ,1,(), ,()2i i

10、jn nt Pii ihjiji ijbtdt 附 录(1.20),1,(),0iniji jij tdwtT 比较上面两端的扩散项系数(即 的系数) (j(1.21)1()(),inijiiPtttt对于固定的 ,(1.21),是一个关于 的齐次线性方程组.因0,T()(,)(1)iiiPttin长沙理工大学备课纸数学金融学第九章未定权益的定价理论第 4 页 共 28 页此,由条件(1.6) 可知，(1.22)(),()0,(1)iiiPtttTin现在,我们再来比较(1.20) 两端的漂移项系数(即 项的系数),并注意(1.22),可得dt,1 1, ),(),()(,()02ij in

11、nt ihjijP iPijttrtrtt P(1.23)从而,我们可见,待定函数 应该满足下述方程(,A(1.24),1 1)()()0,),;2()(.ij in n ntihjiPPij itprtprttpTRTpg 这是一个抛物型偏微分方程的终值问题.我们有下述命题:命题 1.3 如果方程(1.24)存在一个经典解 ,则由(1.19)和(1.2)给出的 是倒()A,YA向随机微分方程(1.18) 的一个适应解,从而,它们分别给出了未定权益 的一个价格过程和()gPT一个复制策略.进一步,如果(1.24)的经典解 惟一,则价格过程 必惟一,从而,未定权益YA可定价.()gPT我们可以证

12、明,当系数有界,连续可微且(1.6)成立时,方程(1.24)存在惟一的经典解.上面采用的方法被称为“ 四步法”, 它在正倒向随机微分方程理论中具有重要的地位.我们称为 Black-Scholes 方程 .由于(1.19)决定了未定权益 的价格过程,我们称 为未定权益()gPT(,)A的价格函数.()g需要指出的是,在(1.24) 中系数 不出现! 这表明,在上面的框架下,欧式未定权益的价格)bA过程和复制过程独立于股票的平均回报率！这是一个非常有意思的结果。另外,我们指出,当(1.6) 未必成立时, 和 未必相等,市场可能不完备且可能有套利.不过,按nd照上面的“四步法 ”,我们仍然可以得到下

13、述方程 (比较 (1.24):(1.25),1 1()0,(),;2(),0,.ij ind nt ikjiPPij itprtprttpTRTpg 并且只要(1.25) 存在一个经典解 ,则相应的未定权益就是可复制的(但未必可定价).而我们)A可以证明当(1.25) 中的系数光滑时,它的确存在经典解,这个内容超出了本书的范围,故在此就不展开了.有兴趣的读者可以参阅文献 J.Yong(1999).此外,我们特别对 的情形感兴趣,并将在下一节中对此情形进行集中讨论.易见,此1nd时的(1.24)变为(1.26)21()()()0,),;,.t pptrtttpTRTg另一方面,由于人们仅仅关心

14、(因为它们对应于股票的价格,事实上 ,只要,则由 (0)PR(1.1)确定的股票价格过程 总是取正值的),所以(1.26)应该修改 )PA长沙理工大学备课纸数学金融学第九章未定权益的定价理论第 5 页 共 28 页(1.27)2()1()()0,),;,0,;,(,0,.Ttt pprsdrttpTRgeTg上面(1.27)中的边界条件是通过求解下述常微分方程得到的:(1.28)(,)(,)0,;tttT因为形式地将 代入(1.26),则应该有(1.28). 现在我们引入下述定义.p定义 1.4 函数 称为(1.27)的一个经典解,若对任何 在 上一阶(,)A ,(,)npRtp0,T连续可微

15、,对任何 , 在 上二阶连续可微, 满足(1.26) 中的微分方程,且0tT()tpnR()A, (1.29)()0lim(,).trsdpgea0T. (1.30),.tTpn9.2 Black-Scholes 定价公式在上一节,我们粗略地讨论了欧式未定权益的定价问题.在本节中,我们首先将基于上节的定理 1.2 和命题 1.3 给出若干欧式未定权益的定价公式,这一类公式统称为 Black-Scholes 定价公式.一、欧式看涨期权的 Black-Scholes 定价公式我们先考虑敲定价格为 ,到期时刻为 T 的某种股票的欧式看涨期权.我们假定 ，0q 1nd该股票价格过程的波动率 ,且债券利

16、率 亦为常数,于是相应的未定权益为 ,从r ()PTq而,方程(1.27) 变为:(2.1) 2()1()(),)0,;,00,;(.t pprTttrttpqeTq 命题 2.1 方程(2.1) 存在惟一的经典解 ,且它有显式表达式)A(2.2)()(,)(,),0,(,)rTttNdtNdtpT其中 (2.3)221;ln()(,) .xxezpqrTtdt t由(1.9)和(1.22)知,此时,到期时刻为 T,敲定价格为 的欧式看涨期权在任何时刻 的价格q0,tT以及 上的复制策略分别为tT(2.4)(),();,.pYtPsst为了证明上述命题 2.1 及后面结果的叙述及其证明,我们先

17、来证明一个引理.长沙理工大学备课纸数学金融学第九章未定权益的定价理论第 6 页 共 28 页引理 2.2 (1) 函数 是下述方程的惟一的经典解:(,)tp(2.5)21()0,(),0,;,0,;(,).t ptrtTT(2) 函数 是下述方程的惟一经典解:()rtte(2.6)2()10,(),0,;(,0),;1.tpprTt tTp(3) 定义(2.7),(,),Ndt则 是下述方程的经典解:()A(2.8)21(0,(),0,;,0),;(,).t pppqtrtTTI(4) 定义(2.9)()(,rteNdt则是下述方程的经典解:(2.10)21()0,(),0,;,0,;(,).

18、t pppqtrtTTI证明: (1)和 (2)是显然的 ,现证(3).我们计算(2.11)()(,)(,)dttpNt 2(),)(,)2(rdtpNtTt(2.12),(,)(,)(,)tttptpp (,),)NdptTt(2.13)2 ,()dtNdtTt2(,()Tpt从而, 21(,)(,)(,)(,)t ppptrtrt 2(),)(,)2(rdtpNtTt22()(,)(,)TtdtNt (,)(,)(,)0trdtprNt (2.14)长沙理工大学备课纸数学金融学第九章未定权益的定价理论第 7 页 共 28 页显然, .最后.我们注意到(,0)t(2.15)2ln(),;li

19、m,i .tTtTpqrTtpqdt如 果如 果而 (2.16)()0,N()1因此(2.17)li,pqtTI所以(3)得证.(4)类似于上述 ,我们可知 是(2.8)中第一式的解 ,且(,)tp,() ()0(,)lim0rTt rTtpteNdeN由(2.16)可得(2.23) li,.qtTIa0,(4)得证.我们指出,(2.24)2ln()lim(,)i 0tTtTrTtdqt所以，(2.25)1li(,)(02tTqN也就是说(2.8) 和(2.10) 中的终值在 处不是成立的.由于函数 和 在 处是不ppqIpq连续的,因此我们不应该期望 连续到边界,这也是我们定义 1.4 中不

20、要求边界和终值条件A点点成立的原因(见(1.29) 和(1.30). 现在,我们来证明命题 2.1 的存在性部分,惟一性部分的证明在此略去.证明: 由于. (2.26)pqpqpqpqII由引理 2.2(3)知, 是(2.1) 中第一式 B-S 方程的解,且 ,1(,)(,)tNdt 1(,)pqTI;由引理 2.2(4)知 , 是(2.1)中第一式 B-S 方程的解,且1(,0)t(2(,)rTtedtp, ,则由方程(2.1)的线性性及(2.26)知, 2pqTI20t(2.27) ()1,()()()(,)rTttptqNt为(2.1)中第一式 B-S 方程的经典解,且 .,0,q二、欧

21、式看跌期权的 Black-Scholes 定价公式现在，我们来考虑某股票的欧式看跌期权，其框架与上面的看涨期权相同。由于相应的未定权益为 ,从而,方程(1.27)变为(注意 ):qpTq长沙理工大学备课纸数学金融学第九章未定权益的定价理论第 8 页 共 28 页(2.28)21()0,(),0,;,0,; .t pprTtPrtTqeTqp类似于命题 2.1，我们有下述关于欧式看跌期权的结果。命题 2.3 方程(2.28) 存在惟一的经典解 ,且它有显式表达式:Ay(2.29)(),(,)()rTttpNdtpeNdty 0,tT其中, 和 由(2.3)给出.此时,到期时刻为,，敲定价格为 的

22、欧式看跌期权在任何时刻A, q的价格以及 上的复制策略由下式给出：0tTt(2.30)(),;,.pYtsPstTy证明: 我们注意到(2.31),qqpR另一方面,由引理 2.2 的(1)和(2) 以及 BlackScholes 方程的线性性,可知下述方程(2.32)21()0,()0;,0,;,.t pprTttrtTqepq惟一经典解是(2.33)()(,),rttR从而,若记方程(2.1) 的经典解为 (由(2.2) 给出 ),则再由 BlackScholes 方程的线性性,我们A可得下式给出了(2.28) 的一个经典解:(,)(,),tpttpy () (),)(,)rTt rTtN

23、dtpqeNdtpqe(2.34)(),rTdqe此处,我们用如下事实：(2.35)2 211()zzdNde22111zzddee剰下的结论是很容易的.证毕.我们注意到,假如分别记欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格函数分别为 和(,)ecYtp(,)et(见第四章 ),则由(2.2) 和(2.29), (2.36)(),)(,)(,);.e rTtc tpYtdtpqeNdpNt于是， ()(,)(,)(,)(,)(,)(,)ee rTtcpttttqeNdtpdtp(2.37)rTqe这恰好就是欧式看涨期权和看跌期权之间的平价关系(见第 4 章). 三、欧式看涨期权的鞅定价我们再用鞅方法来计

24、算欧式看涨期权的价格.由(1.10)可知未定权益 的价格为:gPT长沙理工大学备课纸数学金融学第九章未定权益的定价理论第 9 页 共 28 页(),0TtrdtipYtEegPtTF则, 00 00x()exp()()T TytErtdgP 另一方面,由(1.1) 和(1.13) 可知 ,股票价格过程 满足下述方程A(2.38)()()();.dPtrtdPtwtp因此, (2.39)2000 01()()() ()TTT Trttdtwrtdrtdp pyEegEegpe 特别地,当 时，,(ttq(2.40)2 2) ()rTwTTwrT rTp pye eqe 因为在 下, 服从 ,所以

25、P()(0N221zTzrTyePqedz222lnzrTpzrTTqez 2 22 2ln() ln()p prTrq qz zTTpedd (2.41)(0,)(0,)rTNdeN这恰好是(2.2) 给出的函数 在 时的值.tp四、一些类型的欧式期权定价上面,我们看到欧式看涨看跌期权的价格有显式公式,这在应用中是很方便的.在第 4 章中我们曾经介绍过一系列其他类型的欧式期权.下面,我们对在那里曾经介绍过的一些其他类型欧式期权给出其定价公式.为此,我们引入下述记号:(2.42)2ln(,)rTtpqdtpq以强调对 q 的依赖性.(1) 领子期权 (collar option):设 固定,其

26、到期时刻 的价值定义为210KT(2.43)1()minax(),gPTPT 1122(),PKT容易验证长沙理工大学备课纸数学金融学第九章未定权益的定价理论第 10 页 共 28 页(2.44)12112minax(),()()PTKPTKT因些,我们应取(2.45)112g() ,0,pp于是,我们利用由命题 2.1 及引理 2.2(2)以及 Black-Scholes 方程的线性性,我们易知上述领子期权的价格函数为, () ()11 1, (,)()rTt rTttKeNdtKeNdtpK (2.46)(2 2, ,rTtp (2) 数字期权 (digital option,亦称 bin

27、ary option):这类期权又分两种:第一种叫 cash-or-nothing,它在到期时刻 的价值为:(2.47)(),PTqI， 看 涨 期 权看 跌 期 权其中, 和 为给定的两个正常数,它们可以相等,也可以不等.持有这种看涨数字期权都当标的资产的市价高于 时可以获得预先给定的现金 ,否则将无进账,持有看跌数字期权者,其情0q形恰好相反.此时,我们应该分别取(2.48)pqgI和(2.49)pqI利用引理 2.2 (3)(4),我们可知相应期权的价格函数分别为:(2.50)(),(,)rTttpqeNdt和(2.51)(),1,rtt tpq第二种数字期权叫做 asset-or-nothing，它在到期时刻 T 的价值为：(2.52)(),pTqPI， 看 涨 期 权看 跌 期 权持有这种看涨数字期权都当标的资产的市价高于 q 时可以获得相当于标的资产的市价 现()PT金,否则将无进帐,持有看跌数字期权者,其情形恰好相反.此时,我们应该分别取(2.53)pqgI和 (2.54)pqI因此,利用引理 2.2,我们可知相应期权的价格函数分别为:(2.55),(,)tpNdt和(2.56),1,ttpq现在,我们再来看一下与上述期权有联系的所谓的差额期权(gap option).它在到期时刻的价值为