热力学与统计物理——第01章热力学的基本规律习题解ok.doc

1、第一章 热力学的基本规律习题 1.11.1*作业试求理想气体的体胀系数 ,压强系数 和等温压缩系数。T解：由 得 ：nRTPVVnRTP;所以, P1)(1TVRnT/)(PP/11)(12习题 1.2 1.2*作业试证明任何一种具有两个独立参量的物质 ,其物态方pT程可由实验测得的体胀系数 及等温压缩系数 ,根据下述积分求得:T如果 , ,试求物态方程。)(lndpTVT1P解：1. 因为 ,所以,我们可写成 ,由此,0,f )(pVddVTp)(因为 TTpV)(1,)(1所以, dpTVdpdT,所以, (1)ln即物态方程可由实验测得的体胀系数 及等温压缩系数 ,根据(1)积分求得.T

2、证毕2. 当 时,由(1)pT/1,/CpVTpdTVlnlnlln所以 C根据阿伏伽得罗定律,对于具有相同”物质的量”的各种理想气体, 的数值Tp/是相等的,我们用 R 表示对 1mol 气体该常量的值,名为摩尔气体常量.由 1mol 理想气体在冰点( )及 1 下的体积 得到KT5.2730nP130041.2molV130 5.84.2KJlVCn对 n 摩尔理想气体有 nRTp习题 1.3 测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为 和150*8.4， 可近似看作常量，今使铜块加热至 10 。问:（1）压170*8.nTpT, C强要增加多少 才能使铜块体积不变？（2）若压强增加 ，铜

3、块的体积改np多少?解：分别设为 ，由定义得：Vxpn;744 10*8.10*85.;10*85. VT所以， 7,62pxn习题 1.4(略) 1.4*作业习题 1.4 描述金属丝的几何参量是长度 ，力学参量是张力 ，物态方程是L实验通常在 下进行，其体积变化可忽略。线胀系数定义为0,(TLfn1等杨氏摸量定义为 其中 是金属丝的截面积，一般说)1TAY)(来， 和 是 的函数，对 仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范不大，可YT看作常数。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由 降 2T时，其张力的增加1为 )(12A证： ),(,0),(LTf所以， dTdL因 AYLLTT)(;1)(dT

4、AYdAYdL,;0所 以所以, )(12T习题 1.7 在 下，压强在 0 至 1000 之间，测得水的体积C25np如果保持温度不变，将的13263)14.17.06.18( molcpV水从加压至，求外界所做的功。解：外界对水做功: JmolPmolcP dppdpVdVWan1.310032527 )2106.41075.0( 1366101 310习题 1.8解：外界所作的功： LdJW0 dLbTL020LbT02008560T习题 1.9解：（1）定容时，V 为常数，外界做功 W=0,所以并且QWU12 )(1221 TCdTUVT;)( PPVPPP VcCVccMC 000

5、从而有521.29762() 4.911.4VQT J （2）同理，定压时，P 为常数，吸热 Q 与定压热容量有关 ,所以 521().927620.380C（）仍然是定压，P 为常数，但注意压热容量是温度的函数 )(TCP（）2121 )()(TPTP dVcdQ当 时， 1 10010 RTMRpV当 时， TPVT以上两式相除得 ，代入（）得01)()(lnl )ln(l120121 12101021 TVcTdcQPTP习题 1.101.7*作业抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体充入。当压强达到外界压强 p0时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能 与原

6、来大气中的 之差为 ，其中 是它原U0U00Vp0来在大气中的体积。若气体是理想气体，求它的温度和体积。解：假设先前的气体状态是（P 0,V0,T0）内能是 U0，当把这些气体充入一个盒子时，状态为（P 0,V,T）这时的内能为 U，压缩气体所做的功为： ,依绝热0P过程的热力学第一定律，得 （1）000VPQ对于理想气体，有 且 代入（1）得)(0TCUVnRT00故有 0VCTnRT所以 0VP由于压强相同，所以有 0T习题 1.11 1.8*作业解：取一摩尔理想气体有(1),(1)pVVVHURTCRCC又 (常量) (2)n0npd对理想气体 (常量) (3)RdT(2)-(3)并且利

7、用(1) 得 (4)/1)(1)/VpdVRTnC由 得dUQ/(1)VdUpdT即 1()/()nnd从而有 证毕()/(1n VVCnCC习题 1.15 热泵的作用是通过一个循环过程将热量从温度较低的环境传送扫温度较高的物体上去。如果以理想气体的逆卡诺循环作为热泵的循环过程，热泵的效率可以定义为传送到高温物体的热量与外界所作的功的比值。试求热泵的效率。如果将功直接转化为热量而令高温物体吸收，则“效率”为何？解：AB 等温过程 BAVRTMQln11BC 绝热过程CD 等温吸热 CDVRTMQln22DA 绝热， 21ACDBAVRTMTlnlnl21由绝热过程泊松方程： ；21rCrBV1

8、12rAr ； DACBVCDB 212121 TTT将功 A 直接转化为热量 ，令高温物体吸收。有 A=Q1 1Q 。1Q习题 1.161.12*作业假设理想气体的 Cp 和 CV 之比 是温度的函数，试求在准静态绝热过程中 T 和 V 的关系。该关系试中要用到一个函数 F(T)，其表达式为： TdF1ln解：准静态绝热过程中： ， (1)0dQpVU对于理想气体，由焦耳定律知内能的全微分为(2)dTCv物态方程 (3)VnRPnRpV(2)，(3)代入(1)得： （其中 ）dTdCV1CdTdTnRdV1积分得 关系式1（4）CdTVln1ln1为 T 的函数 令（5）F)(l代入（4）得

9、 （6）CVT)(习题 1.17 1.13*作业解：从高温热源吸热为 121 ln21 VRTPdQV从低温热源放热为 3422 l43V热机效率 （1）22121413lnlTQV对绝热过程 1（左）： )()(231TFVT对绝热过程 2（右）： 42两式相除得 代入（1）有 证毕3412V12T习题 1.191.15*作业解：在吸热 中，将大于零的吸热 记为 ，热源温度记为 ，而将小于零iQiQmm的吸热 记为 ，相应的热源温度记为 ，则有il lT0lllmiiiT表示吸热， 就是表示放热，上式就是lQl lllmTQ依题意， 是 中的最大值， 是 中的最小值，显然有1Tm2Tl221

10、1 TQTQTQlllllllmmm 令 表示总的吸热，以 表示总的放热，有l2证毕。121221 TQT1.16*作业 证：理想气体的熵的表达式是（1）0lnVCSdTRS或（2）0lP由于 是常数，故 和 皆为常数，这样， （1）和（2）就变为PCV（3）0lnlSTRVS（4）pp对于等容过程，由（3）知温度从 升至 时的熵增为12（5）1()ln(/)VSCT同样，对于等压过程，由（4）知温度从 升至 时的熵增为2（6）1()l(/)p由此不难得到证毕()/pVpSC1.17*作业 解：1 水的熵增将水与温度处于 0至 100的一系列热源相接触，使水温从 0等压地升至 100时的熵增为

11、37 1123737ln104.8ln04.622PCSdTJK2 热源的熵增水的总吸热，即热源的总放热为 104.801PQJ让热源向某一温度处于 100的恒温热源放热，热源的熵增为 12/37/372.6SK3整个系统的总熵增 11204.61.84J4如何使整个系统的总熵增为零将2中的热源换成温度处于 0至 100的一系列热源，这一系列热源放热的熵增是 ，因此整个系统的总熵增是21S 120S习题 1.231.19*作业解 ： 取 杆 的 一 端 为 原 点 ， 温 度 ， 沿 杆 方 向 为 轴 ， 杆 长 为 ， 在 处 ，1Txllx温 度 为 。2T此 时 在 杆 上 任 取 一 点 ， 坐 标 为 ， 则 它 的 初 温 ，xxlTTx121先 研 究 这 一 段 ， 它 的 末 态 温 度 为 ， 设 杆 的dxx21线 密 度 为 ， 质 量 为 ， 比 热 ， 杆 的 热 容 为 ， 则 这lmPcPmcCdx一 段 升 温 的 熵 增 为 ：dTTdxccQPPlOxdx